2020版高考數(shù)學一輪復習課時作業(yè)47《 空間幾何體的結構特征及三視圖與直觀圖》(含解析).doc

1、課時作業(yè)47立體幾何中的向量方法第一次作業(yè)基礎鞏固練1.(2018全國卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.解：(1)證明：由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足為H.由(1)得，PH平面ABFD.以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2

2、，故PEPF.可得PH，EH.則H(0,0,0)，P(0,0，)，D(1，0)，(1，)，(0,0，)為平面ABFD的法向量.設DP與平面ABFD所成角為，則sin.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.2.(2019遼寧五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐EABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中CDAB，BCAB，側面ABE平面ABCD，且ABAEBE2BC2CD2，動點F在棱AE上，且EFFA.(1)試探究的值，使CE平面BDF，并給予證明；(2)當1時，求直線CE與平面BDF所成角的正弦值.解：(1)當時，CE平面BDF.證明如下：連接AC交BD于點G，連接GF，CDAB，AB2CD，EFFA，

3、GFCE，又CE平面BDF，GF平面BDF，CE平面BDF.(2)取AB的中點O，連接EO，則EOAB，平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCDAB，且EOAB，EO平面ABCD，連接DO，BOCD，且BOCD1，四邊形BODC為平行四邊形，BCDO，又BCAB，ABOD，則OD，OA，OE兩兩垂直，以OD，OA，OE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，則O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，1,0)，D(1,0,0)，C(1，1,0)，E(0,0，).當1時，有，F(xiàn)(0，)，(1,1,0)，(1,1，)，(0，).設平面BDF的法向量為n(x，y，z)，則有即

4、令z，得y1，x1，則n(1，1，)為平面BDF的一個法向量，設直線CE與平面BDF所成的角為，則sin|cos，n|，故直線CE與平面BDF所成角的正弦值為.3.(2019南昌摸底調研)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.設M，N分別為PD，AD的中點.(1)求證：平面CMN平面PAB；(2)求二面角NPCA的平面角的余弦值.解：(1)證明：M，N分別為PD，AD的中點，MNPA.又MN平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB.在RtACD中，CAD60，CNAN，ACN60.又BAC60，CNAB.CN平面PAB，AB平面PA

5、B，CN平面PAB.又CNMNN，平面CMN平面PAB.(2)PA平面ABCD，平面PAC平面ACD，又DCAC，平面PAC平面ACDAC，DC平面PAC.如圖，以點A為原點，AC所在直線為x軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，A(0,0,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，D(2，2，0)，N(1，0)，(1，0)，(1，2)，設n(x，y，z)是平面PCN的法向量，則即可取n(，1，)又平面PAC的一個法向量為(0，2，0)，cos，n，由圖可知，二面角NPCA的平面角為銳角，二面角NPCA的平面角的余弦值為.4.(2019昆明調研測試)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD

6、是直角梯形，ADC90，ABCD，AB2CD.平面PAD平面ABCD，PAPD，點E在PC上，DE平面PAC.(1)證明：PA平面PCD；(2)設AD2，若平面PBC與平面PAD所成的二面角為45，求DE的長.解：(1)證明：由DE平面PAC，得DEPA，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA，又CDDED，所以PA平面PCD.(2)取AD的中點O，連接PO，因為PAPD，所以POAD，則PO平面ABCD，以O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz，如圖.由(1)得PAPD，由AD2得PAPD，OP1，設CDa，則P(0,0,1)，D(0

7、,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，1,0)，則(a,2,0)，(a,1，1)，設m(x，y，z)為平面PBC的法向量，由得令x2，則ya，z3a，故m(2，a,3a)為平面PBC的一個法向量，由(1)知n(a,0,0)為平面PAD的一個法向量，由|cosm，n|，解得a，即CD，所以在RtPCD中，PC，由等面積法可得DE.5.(2019鄭州第一次質量預測)如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D，E分別為線段AB，BC上的點，且AD2DB，CE2EB，PDAC.(1)求證：PD平面ABC；(2)若直線PA與平面ABC所成的角為，求平面PAC與平面PDE

8、所成的銳二面角.解：(1)證明：由題意知AC2，BC2，AB6，AC2BC2AB2，ACB，cosABC.又易知BD2，CD222(2)2222cosABC8，CD2，又AD4，CD2AD2AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，CD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB兩兩互相垂直，可建立如圖所示的直角坐標系Dxyz，直線PA與平面ABC所成的角為，即PAD，PDAD4，則A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，(2，2,0)，(2，4,0)，(0，4，4).AD2DB，CE2EB，DEAC，由(1)知AC

9、BC，DEBC，又PD平面ABC，PDBC，PDDED，CB平面PDE，(2，2,0)為平面PDE的一個法向量.設平面PAC的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得x，y1，n(，1,1)為平面PAC的一個法向量.cosn，平面PAC與平面PDE所成的銳二面角的余弦值為，故平面PAC與平面PDE所成的銳二面角為30.第二次作業(yè)高考模擬解答題體驗1.(2018江蘇卷)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，點P，Q分別為A1B1，BC的中點.(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.解：如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設AC，A

10、1C1的中點分別為O，O1，連接OB，OO1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以，為基底，建立空間直角坐標系Oxyz.因為ABAA12，所以A(0，1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2).(1)因為P為A1B1的中點，所以P(，2)，從而(，2)，(0,2,2)，故|cos，|.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因為Q為BC的中點，所以Q(，0)，因此(，0)，(0,2,2)，(0,0,2).設n(x，y，z)為平面AQC1的法向量，則即不妨取n(，1,1).設直線CC1與平面AQC1所成角為，則sin|cos，

11、n|，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.2.(2018北京卷)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，ABBC，ACAA12.(1)求證：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)證明：直線FG與平面BCD相交.解：(1)證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因為CC1平面ABC，所以四邊形A1ACC1為矩形.又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點，所以ACEF.因為ABBC，所以ACBE.所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC.因為B

12、E平面ABC，所以EFBE.如圖建立空間直角坐標系Exyz.由題意得E(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,0,0)，D(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,2)，G(0,2,1).所以(1，2,0)，(1，2,1).設平面BCD的法向量為n(x0，y0，z0)，則即令y01，則x02，z04.于是n(2，1，4).又因為平面CC1D的法向量為(0,2,0)，所以cosn，.由題知二面角BCDC1為鈍角，所以其余弦值為.(3)證明：由(2)知平面BCD的法向量為n(2，1，4)，(0,2，1).因為n20(1)2(4)(1)20，所以直線FG與平面BCD相交.3.(2019河北衡水模擬)如圖所示，四

13、棱錐PABCD的底面為矩形，已知PAPBPCBC1，AB，過底面對角線AC作與PB平行的平面交PD于E.(1)試判定點E的位置，并加以證明；(2)求二面角EACD的余弦值.解：(1)E為PD的中點.證明如下：如圖，連接OE，因為PB平面AEC，平面PBD平面AECOE，PB平面AEC，所以PBOE.又O為BD的中點，所以E為PD的中點.(2)連接PO，因為四邊形ABCD為矩形，所以OAOC.因為PAPC，所以POAC.同理，得POBD，所以PO平面ABCD.以O為原點，OP所在直線為z軸，過O平行于AD的直線為x軸，過O平行于CD的直線為y軸建立空間直角坐標系(如圖所示).易得A，B，C，D，

14、P，E，則，.顯然是平面ACD的一個法向量.設n1(x，y，z)是平面ACE的法向量，則即取y1，則n1(，1,2)，所以cosn1，所以二面角EACD的余弦值為.4.(2019遼寧沈陽二模)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA12，D為棱CC1的中點，AB1A1BO.(1)證明：C1O平面ABD；(2)設二面角DABC的正切值為，ACBC，E為線段A1B上一點，且CE與平面ABD所成角的正弦值為，求的值.解：(1)證明：如圖，取AB的中點F，連接OF，DF.側面ABB1A1為平行四邊形，O為AB1的中點，OFBB1，OFBB1.又C1DBB1，C1DBB1，OFC1D，OFC1D，

15、四邊形OFDC1為平行四邊形，C1ODF.C1O平面ABD，DF平面ABD，C1O平面ABD.(2)如圖，過C作CHAB于H，連接DH，則DHC即為二面角DABC的平面角.DC1，tanDHC，CH.又AC2，ACBC，BC2.以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz，如圖所示.則A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)，(2,2,0)，(0，2,1).設平面ABD的法向量為n(x，y，z)，則取y1，可得n(1,1,2).設(01).(2，2,2)，(2，22，2)，CE與平面ABD所成角的正弦值為|cos，n|，整理，得36244130，解得或，即或.5.(2

16、019天津模擬)如圖，底面ABCD是邊長為3的正方形，平面ADEF平面ABCD，AFDE，ADDE，AF2，DE3.(1)求證：平面ACE平面BED；(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值；(3)在線段AF上是否存在點M，使得二面角MBED的大小為60？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：(1)證明：因為平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，DE平面ADEF，DEAD，所以DE平面ABCD.因為AC平面ABCD，所以DEAC.又因為四邊形ABCD是正方形，所以ACBD.因為DEBDD，DE平面BED，BD平面BED，所以AC平面BED.又因為AC平面ACE，所以平面ACE平面BED.(2)因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz，如圖所示.則A(3,0,0)，F(xiàn)(3,0,2)，E(0,0