量子力學(xué)第四版卷一(曾謹(jǐn)言著)習(xí)題答案第4章

1、4.296.14.29證明在的本征態(tài)下，。（提示：利用，求平均。）證：設(shè)是的本征態(tài)，本征值為，即，同理有：。附帶指出，雖然，在本征態(tài)中平均值是零，但乘積的平均值不為零，能夠證明：說明不是厄密的。，的平均值見下題。4.30 設(shè)粒子處于狀態(tài)下，求和解：記本征態(tài)為，滿足本征方程，利用基本對易式 ，可得算符關(guān)系 將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后兩項(xiàng)對平均值的貢獻(xiàn)互相抵消，因此 又上題已證 。同理 。（補(bǔ)白）若需要嚴(yán)格論證與的相等關(guān)系，可設(shè) 于是有 求其符的平方，用來表示： 再求它們在態(tài)中的平均值，在表示式中用標(biāo)乘積符號時是 （1） （2）或都改寫成積分形式如下，積分是對空間立體角取

2、范圍的： （3） （4）按角動量理論： （5） 和正交歸一化條件： （6）將運(yùn)算公式（5）使用于（3）式的各項(xiàng)，得結(jié)果如下：注意上述每一個積分的被積函數(shù)都要使用（5）的兩個式子作重復(fù)運(yùn)算，再代進(jìn)積分式中，如： 將它們代入（3）就得到前一法（考慮對稱）得到相同的結(jié)果。 又從（4）式看出，由于沒有貢獻(xiàn)，（3）（4）應(yīng)有相同的結(jié)果。第二種方法運(yùn)用角動量一般理論，這在第四章中并沒有準(zhǔn)備知識，所以用本法解題不符合要求，只作為一種參考材料。4.306.24.316.5，6.9，6.144.31設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化，即），求（a）的可能測值及平均值;（b）的可能測值及相應(yīng)的幾率；（c）的可能測值及相應(yīng)的

3、幾率。解：，；，。（a）由于已歸一化，故的可能測值為，0，相應(yīng)的幾率為，。平均值。（b）的可能測值為，相應(yīng)的幾率為，。（c）若，不為0，則（及）的可能測值為：，0，。1）在的空間，對角化的表象中的矩陣是求本征矢并令，則，得，。）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。）取，得，歸一化后可得本征矢為。在態(tài)下 ：取的振幅為，取的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為。總幾率為2）在的空間，對角化表象中的矩陣?yán)?，。，本征方程，。），本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；），本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為，幾率為。），本征矢為，在態(tài)下

4、，測得幾率為。），本征矢為，在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；），本征矢為，在態(tài)下，測得的幾率為。在態(tài)中，測（和）的可能值及幾率分別為：4.32求證在的本征態(tài)下，角動量沿著與軸成的角度的方向上的分量的平均值是：。（解）角動量沿著與成解的方向（此方向用單位矢表示，它不是唯一的，因由方位角給定），有一投影，它的解析式是： （1）計算在的本征態(tài)中角動量投影的平均值： （2）式中 根據(jù)（29）題的結(jié)論，本征態(tài)下，故前一式第一，二兩個積分無貢獻(xiàn)，由于：，因而 （3）4.33設(shè)屬于能級有三個簡并態(tài)，和，彼此線形獨(dú)立，但不正交，試?yán)盟鼈儤?gòu)成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。解： ，。是歸一化的。，。它們是正交歸一的，

5、但仍然是簡并的（可驗(yàn)證：它們?nèi)詫?yīng)于同一能級）。4.33設(shè)屬于某能級的三個簡并態(tài)彼此線性無關(guān)但不正交，試找出三個正交歸一化的波函數(shù)，它們是否仍為簡并？（解）用Schmidt法選 （）則被歸一化了。選 （）則 故正交。使 則為正交歸一組。設(shè) （）則故與都能正交。選 這樣選的是正交歸一化組。將算符作用于（）式：同理作用于（）式：，同理有，因而仍有共同的能量本征值，簡并不消失。4.34設(shè)任何一個厄密矩陣能被一個么正矩陣對角化，由此證明兩個矩陣被同一個么正矩陣對角化的條件是它們彼此對易。證明： 充分性：設(shè)，又設(shè)是一個足以使對角化的么正算符，則 再求的變換矩陣元 由于此式左方不論為何值都為零，右方可利用

6、矩陣積的元素的展開法則： 利用式于，則可以寫成不為零的項(xiàng)是：（因?yàn)榫仃囋菙?shù)，可以對易）即： 此式成立的條件是：時， 時，故是對角矩陣的元素，是對角矩陣，而是能同時將對角化的么正變換算符。對易關(guān)系必要性的證明：設(shè)能同時將對角化，則有： 試對進(jìn)行變換，有： 寫成展開式，再將代入：后面不論取或其它值，這個矩陣元永遠(yuǎn)是零，這說明矩陣的一切元素是零，這必需是。4.35證明（1）若一個N階矩陣與所有N級對角矩陣對易，則必為對角矩陣。（2）若它與所有N階矩陣對易則必為常數(shù)矩陣。（證明）若矩陣與一切具有相同階的對角矩陣對易，則有：（1） B（B A，因B是對角矩陣，所以它的不為0的元是形式，前一式為 移項(xiàng)

7、但即（A）的非對角矩陣元為0,其對角矩陣可以不是零，因而（A）也是對角矩陣。 （2） 設(shè)與一切同階矩陣對易，則也應(yīng)與一切對角矩陣對易，按前一小題，必然是對角矩陣，其對角元素是形式。又另一方面又與一切非對角矩陣對易而，我們又有: 即 移項(xiàng)得 但的各個對角矩陣元彼此相等，所以又是常數(shù)矩陣（對角位置元素相等的特殊對角矩陣）。4.363.144.36厄密算符與，滿足求（1） 在表象中，與的矩陣形式，并求的本征函數(shù)表示式。（2） 在表象中，的矩陣形式，并求的本征函數(shù)表示式。（3） 從表象到表象的么正變換矩陣。 （證明） （1）按題給的三個條件，設(shè)算符A的本征矢量是本征值是，則有： 重復(fù)運(yùn)算得： 可見算符

8、的本征值是，并與有共同本征矢。按題意，而。此外，又因?yàn)?，所以的本征值只會有兩個，即。 在表象中，用的本征矢作基矢，而的矩陣為對角的，對角矩陣元是本征值，因而： A= (1) 在表象中的矩陣不能直接設(shè)定，可假設(shè)它是： B= （2）利用，代入（1）（2）得到： 由此得到而（2）式得到簡化： B= （3）再利用條件有： =，得 B= （4）此外因?yàn)锽是厄密算符，它還需滿足條件： B= 即=得到 （5）所以滿足（4）（5）的最后的解是：B= （6）這里的是任何實(shí)數(shù)，代表一個不確定的相位因子。最后求在表象中的本征矢和本征值，本征矢單列矩陣：寫下本征方程式（矩陣形式）有： = 即 （7）將（7）的兩式等號

9、左右方相乘，立刻得到本征值： 將本征值代入（7）式，得 這兩式不獨(dú)立，因而取最簡單的解，即取，加歸一化條件對于另一本征值，代入（7）得到： 也取，與前一情形相同，加歸一化條件所求的兩個B的本征矢是： 和 ；與相應(yīng)的矩陣是： （8）相位因子可取0以外的的值，但這時，B以及相應(yīng)的本征矢隨著更改，例如取時， 本征矢 ， （2）在表象中，是對角矩陣，而則是反對角矩陣，的本征值也是本征矢和前一情形一樣，只是互換角色而已。（3）表象變換：尋求一個從表達(dá)到表象的變換s=.對算符來說，在自身表象中矩陣是而在表象中成為，按照表象變換理論假設(shè)算符在A表象中表示為，在表象中為，變換算符為，則=，或=。因此對算符來說

10、有： （9）因?yàn)镾是么正算符，它的矩陣之間要受到限制：，即 即： =任何二階的么正矩陣的元素之間要有這種限制，它等效于三個獨(dú)立方程式： 式（10）的通解是式（11）的通解是：將以上的解代入（12）又發(fā)現(xiàn)因此得到二階么正矩陣元素的通解： （11）將（11）式用于（9）式，得： = 將等號左方簡化，并與右方對比各矩陣元： （12）它的合乎要求的普遍解答是 （13）第二個解僅僅是將未定的相位因子之間定下一個關(guān)系，將（14）代入（11）到下述的變換矩陣，保留兩個未定相因子：式中的值仍可以取任意值，要驗(yàn)證這矩陣是否符合變換的要求，可將它代入（9）式等號右方。4.37設(shè)的本征矢，即為本征值，試證明也是K的

11、本征矢，相應(yīng)的本征值分別為（證明） （1）左乘M，利用對易式： 將前式作用于： 即 （2）將（1）左乘，利用對易式 將前式作用于： 即 利用本征方程式得 證畢附帶指出：如果將本題中關(guān)于，的對易條件要改成反對易條件，其它條件不變，我們也能證明或仍是的本征矢，但相應(yīng)的本征值則是和。證明以下諸式：（）（證明）設(shè)是階數(shù)的矩陣，由它們形成的行列式記作和。設(shè)的矩陣元記作，的矩陣元記作，按行列式理論，的行列式的值是：（）式中是排列中的逆序數(shù)（逆序數(shù)指這種排列相對于正常排列發(fā)生的編號逆轉(zhuǎn)），（）式可改寫為下式：（）但是的逆序數(shù)。如果將（）的每一指標(biāo)加以變更，可得（）（）的結(jié)合形式：（）同理另一行列式寫作（）但

12、分別是排列和的逆序數(shù)，取二者乘積：（）若在求和式中選取則（）式成為（）再計算，它是矩陣積的行列式的值，按矩陣乘法設(shè)是的矩陣元是：（）的行列式的值是：（）是排列，是排列的逆序數(shù)，（）與（）的形式結(jié)構(gòu)是相同的，這證明（）證（證明）本題是一個么正變換后的算符的矩陣的行列式，與原來算符的矩陣的行列式之間的相等關(guān)系。本題利用前一題的結(jié)論加以推廣；先將積的行列化成行列的積：因?yàn)榈榷际菙?shù)值而不是算符或矩陣，因而遵守對易律再將行列式積化成積的行列，進(jìn)注意單位矩陣的行列式恒等于1，有 （3）證（證明）是Trace (或Spur)即“徑跡”的符號，按定義它等于矩陣的對角線矩陣元的和數(shù)： 但是矩陣的積，的矩陣元是因

13、而 (4)證證明三個矩陣的積（三個算符）的徑跡具有一般表示式矩陣（）的對角線元素要求各個組成矩陣元最前一個指標(biāo)（足碼）與最后一個指標(biāo)相同，其余的指標(biāo)則需要銜接，滿足這兩條件的矩陣元都屬于對角線矩陣元，但發(fā)現(xiàn)矩陣輪換時，以上二條件能滿足： 式子得證。（5）證 證明 ，將矩陣元組成因子輪換。 有問題（補(bǔ)白）以上的（2）題表示矩陣么正變換（表象變換屬此）后，行列式值不變。（5）則表示么正變換不變更徑跡。徑跡在對角表象中代表本征值總和，這兩小題表示么正變換的兩項(xiàng)性質(zhì)。4.38設(shè)有矩陣等，證明，表示矩陣相應(yīng)的行列式得值，代表矩陣的對角元素之和。證：（1）由定義，故上式可寫成：，其中是的任意一個置換。（2

14、）（3）（4）（5）4.393.114.40設(shè)是一個小量，算符的逆存在，求證： （證明）如果將看作普通的數(shù)并設(shè)則上述式子是容易證明的，但事實(shí)上為算符，故不能直接用級數(shù)處理，一種簡單的證法是將算符（左乘該式左方得I，再右乘該式右方得： = （n-1個） = . 得證。 （n個B） （n個B）另一種更明白的書寫方式是將待證一式等號右方寫成算符冪級數(shù)。在遍乘以所得展開式中，相鄰的同冪項(xiàng)互相抵消： 右乘以 =4.40 證明(證明)第一法（二項(xiàng)式定理法）：首先對被證一式等號右方的通項(xiàng)導(dǎo)出一個表示式，其形式類似于二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)： （ =從這里看出這種展開式的運(yùn)算是和二項(xiàng)式定理的展開相同的，它的通項(xiàng)是： 。這個通項(xiàng)展成的級數(shù)的每一項(xiàng)形式上是的齊次冪，將通項(xiàng)除以n! (1)再將原式左方展開： =（2）這個級數(shù)的通項(xiàng)是指的齊次式，共有（n+1）項(xiàng)，對此展開式（1）（2）發(fā)現(xiàn)二者相同，因而公式得證。第二法（泰勒級數(shù)法）：我們先設(shè)然后對它求對的各階導(dǎo)數(shù)，并注意算符與是對易的，與也對易，于是有： = = =可循此類推，假定n階導(dǎo)數(shù)是： （含有n個，一個 （3）將此式再求導(dǎo)一次： =