北師大版初中數(shù)學(xué)各冊(cè)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) (超強(qiáng)總結(jié))

1、新版北師大版初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總新版北師大版初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總 目目 錄錄 七年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總七年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總1 第一章第一章 豐富的圖形世界豐富的圖形世界1 第二章第二章 有理數(shù)及其運(yùn)算有理數(shù)及其運(yùn)算1 第三章第三章 字母表示數(shù)字母表示數(shù)3 第四章第四章 平面圖形及位置關(guān)系平面圖形及位置關(guān)系4 第五章第五章 一元一次方程一元一次方程6 第六章第六章 生活中的數(shù)據(jù)生活中的數(shù)據(jù)6 七年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)七年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)7 第一章第一章 整式的運(yùn)算整式的運(yùn)算7 第二章第二章 平行線與相交線平行線與相交線9 第三章第三章 生活中的數(shù)據(jù)生活中的數(shù)據(jù)10 第四章第四章 概率概率10 第五章第五章

2、三角形三角形10 第六章第六章 變量之間的關(guān)系變量之間的關(guān)系12 第七章第七章 生活中的軸對(duì)稱生活中的軸對(duì)稱14 八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總15 第一章第一章 勾股定理勾股定理15 第二章第二章 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)15 第三章第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)15 第四章第四章 四平邊形性質(zhì)探索四平邊形性質(zhì)探索16 第五章第五章 位置的確定位置的確定17 第六章第六章 一次函數(shù)一次函數(shù)18 第七章第七章 二元一次方程組二元一次方程組18 第八章第八章 數(shù)據(jù)的代表數(shù)據(jù)的代表18 八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總20 第一章第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組一元一次不等式和

3、一元一次不等式組20 第二章第二章 分解因式分解因式22 第三章第三章 分式分式24 第四章第四章 相似圖形相似圖形25 第五章第五章 數(shù)據(jù)的收集與處理數(shù)據(jù)的收集與處理26 第六章第六章 證明證明( (一一) )27 九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總28 第一章第一章 證明證明( (二二) )28 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程28 第三章第三章 證明（三）證明（三）30 第四章第四章 視圖與投影視圖與投影31 第五章第五章 反比例函數(shù)反比例函數(shù)32 第六章第六章 頻率與概率頻率與概率33 九年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總九年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總34 第一章第一章 直角三角形邊的關(guān)系直角三角形

4、邊的關(guān)系34 第二章第二章 二次函數(shù)二次函數(shù)36 第三章第三章 圓圓39 第四章第四章 統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)與概率44 側(cè)面是曲面底面是圓面圓柱、: 側(cè)面是正方形或長(zhǎng)方形底面是多邊形棱體 柱體 、: 側(cè)面是曲面底面是圓面圓錐、: 側(cè)面都是三角形底面是多邊形棱錐 錐體 、: 有理數(shù) )3, 2, 1:( )3, 2, 1:( 如負(fù)整數(shù) 如正整數(shù) 整數(shù))0(零 )8 . 4, 3 . 2, 3 1 , 2 1 :(如負(fù)分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù) )8 . 3, 3 . 5, 3 1 , 2 1 :(如正分?jǐn)?shù) 七年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總七年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總 （注：表示重點(diǎn)部分；表示了解部分；表示僅供參閱部 分；） 第一章第一章

5、 豐富的圖形世界豐富的圖形世界 1. 2. 3. 球體：由球面圍成的（球面是曲面） 4. 幾何圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的。 幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面 和曲面；面與面相交得到線；線與線相交得到點(diǎn)。 5. 棱：在棱柱中，任何相鄰兩個(gè)面的交線都叫做棱。 6. 側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等。 7. 棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方形。 8. 根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它們底 面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形 9. 長(zhǎng)方體和正方體都是四棱柱。 10. 圓柱的表面展開(kāi)圖是

6、由兩個(gè)相同的圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形連成。 11. 圓錐的表面展開(kāi)圖是由一個(gè)圓形和一個(gè)扇形連成。 12. 設(shè)一個(gè)多邊形的邊數(shù)為 n(n3，且 n 為整數(shù))，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有(n-3)條； 可以把 n 邊形成(n-2)個(gè)三角形；這個(gè) n 邊形共有條對(duì)角線。 2 )3( nn 13. 圓上兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，弧是一條曲線。 14. 扇形，由一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形。 15. 凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。 第二章第二章 有理數(shù)及其運(yùn)算有理數(shù)及其運(yùn)算 數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（三者缺一不可） 。 任何一個(gè)有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個(gè)

7、點(diǎn)來(lái)表示。 （反過(guò)來(lái)，不能說(shuō)數(shù)軸上所有的點(diǎn)都 表示有理數(shù)） 如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù) 互為相反數(shù)。 （0 的相反數(shù)是 0） 在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。 數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊。 絕對(duì)值的定義：一個(gè)數(shù) a 的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù) a 的絕對(duì) 值記作|a|。 正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的數(shù)；0 的絕對(duì)值是 0。 或 )0( )0(0 )0( | aa a aa a )0( )0( | aa aa a 絕對(duì)值的性質(zhì)：

8、除 0 外，絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)； 互為相反數(shù)的兩數(shù)（除 0 外）的絕對(duì)值相等； 任何數(shù)的絕對(duì)值總是非負(fù)數(shù)，即|a|0 比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，絕對(duì)值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟如下： 先求出兩個(gè)數(shù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；比較兩個(gè)絕對(duì)值的大??； 根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷。 絕對(duì)值的性質(zhì)： 對(duì)任何有理數(shù) a，都有|a|0.若|a|=0，則|a|=0，反之亦然. 若|a|=b，則 a=b.對(duì)任何有理數(shù) a,都有|a|=|-a| 有理數(shù)加法法則： 同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。異號(hào)兩數(shù)相加， 絕對(duì)值相等時(shí)和為 0；絕對(duì)值不等時(shí)取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，

9、并用較大數(shù)的絕對(duì)值減去 較小數(shù)的絕對(duì)值。一個(gè)數(shù)同 0 相加，仍得這個(gè)數(shù)。 加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。 靈活運(yùn)用運(yùn)算律，使用運(yùn)算簡(jiǎn)化，通常有下列規(guī)律：互為相反的兩個(gè)數(shù)，可以先相加； 符號(hào)相同的數(shù)，可以先相加；分母相同的數(shù)，可以先相加；幾個(gè)數(shù)相加能得到整數(shù)， 可以先相加。 有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。 有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意兩“變”：改變運(yùn)算符號(hào)；改變減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（變?yōu)橄喾?數(shù)） 有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意一個(gè)“不變”：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說(shuō)，減法 沒(méi)有交換律。 有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算的步驟： 寫成省略加號(hào)的代數(shù)和。在一個(gè)算式中，若有減法，應(yīng)由有理

10、數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為 加法，然后再省略加號(hào)和括號(hào)；利用加法則，加法交換律、結(jié)合律簡(jiǎn)化計(jì)算。 （注意：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)有減法統(tǒng)一成加法時(shí)，減數(shù)應(yīng)變成它本 身的相反數(shù)。 ） 0-1-2-3123 越來(lái)越大 有理數(shù)乘法法則： 兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。任何數(shù)與 0 相乘， 積仍為 0。 如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為 1。 （如：-2 與 、 等） 2 1 3 5 5 3與 乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。 有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟：先確定積的符號(hào)； 求出各因數(shù)的絕對(duì)值的積。 乘積為 1 的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。注意： 零沒(méi)有倒數(shù)。求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是

11、把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一個(gè)帶分?jǐn)?shù)要先化成 假分?jǐn)?shù)。正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。 有理數(shù)除法法則： 兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。 0 除以任何非 0 的數(shù)都得 0。0 不可作為除數(shù)，否則無(wú)意義。 有理數(shù)的乘方 注意：一個(gè)數(shù)可以看作是本身的一次方，如 5=51； 當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。 乘方的運(yùn)算性質(zhì)： 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)； 任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)；1 的任何次冪都得 1，0 的任何次冪都得 0； -1 的偶次冪得 1；-1 的奇次冪得-1；在運(yùn)算過(guò)程中，首先要確定冪的符號(hào)，

12、然后再計(jì) 算冪的絕對(duì)值。 有理數(shù)混合運(yùn)算法則:先算乘方,再算乘除,最后算加減如果有括號(hào),先算括號(hào)里面的. 第三章第三章 字母表示數(shù)字母表示數(shù) 代數(shù)式的概念： 用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘除、乘方、開(kāi)方等）把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子叫 做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。 注意：代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外，還可以有括號(hào)； 代數(shù)式中不含有“=、”等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等 號(hào)和不等號(hào)兩邊的式子一般都是代數(shù)式； 代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式有意義，是實(shí)際問(wèn)題的要符 合實(shí)際問(wèn)題的意義。 代數(shù)式的書寫格式： 代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)，通常省略不寫，如 vt； 數(shù)字與字

13、母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如 4a； 帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后與字母相乘，如應(yīng)寫作a 3 1 2 ；a 3 7 數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“”號(hào)，即“”號(hào)不省略； an aaaa 個(gè) n a 指數(shù) 底數(shù) 冪 在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來(lái)寫，如 4（a-4）應(yīng)寫作 ；注意：分?jǐn)?shù)線具有“”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。 4 4 a 在表示和（或）差的代差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來(lái)，再將 單位名稱寫在式子的后面，如平方米)( 22 ba 代數(shù)式的系數(shù)： 代數(shù)式中的數(shù)字中的數(shù)字因數(shù)叫做代數(shù)式的系數(shù)。如 3x,4y 的系數(shù)分別為 3，4。 注意：?jiǎn)蝹€(gè)字母的

14、系數(shù)是 1，如 a 的系數(shù)是 1； 只含字母因數(shù)的代數(shù)式的系數(shù)是 1 或-1，如-ab 的系數(shù)是-1。a3b 的系數(shù)是 1 代數(shù)式的項(xiàng)： 代數(shù)式表示 6x2、-2x、-7 的和，6x2、-2x、-7 是它的項(xiàng)，其中把不含字母的726 2 xx 項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng) 注意：在交待某一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)與前面的符號(hào)一起交待。 同類項(xiàng)： 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。 注意：判斷幾個(gè)代數(shù)式是否是同類項(xiàng)有兩個(gè)條件：a.所含字母相同；b.相同字母的指數(shù) 也相同。這兩個(gè)條件缺一不可； 同類項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母的排列順序無(wú)關(guān)；幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。 合差同類項(xiàng)： 把代數(shù)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并

15、同類項(xiàng)。 合并同類項(xiàng)的理論根據(jù)是逆用乘法分配律； 合并同類項(xiàng)的法則是把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。 注意： 如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后結(jié)果為 0； 不是同類項(xiàng)的不能合并，不能合并的項(xiàng)，在每步運(yùn)算中都要寫上； 只要不再有同類項(xiàng)，就是最后結(jié)果，結(jié)果還是代數(shù)式。 根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)： 括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào) 前面是“”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。 根據(jù)分配律去括號(hào)： 括號(hào)前面是“+”號(hào)看成+1，括號(hào)前面是“”號(hào)看成-1，根據(jù)乘法的分配律用+1 或-1 去乘括號(hào)里的每一項(xiàng)以達(dá)到去括號(hào)的目的。 注

16、意： 去括號(hào)時(shí)，要連同括號(hào)前面的符號(hào)一起去掉； 去括號(hào)時(shí)，首先要弄清楚括號(hào)前是“+”號(hào)還是“”號(hào)； 改變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都變號(hào)；不改變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都不變號(hào)。 第四章第四章 平面圖形及位置關(guān)系平面圖形及位置關(guān)系 一. 線段、射線、直線 1. 正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區(qū)別： 名稱圖形表示方法端點(diǎn)長(zhǎng)度 直線 l BA 直線AB(或BA) 直線 l 無(wú)端點(diǎn)無(wú)法度量 射線 MO 射線 OM1 個(gè)無(wú)法度量 線段 l BA 線段AB(或BA) 線段l 2 個(gè)可度量長(zhǎng)度 2. 直線公理:經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線. 二.比較線段的長(zhǎng)短 1. 線段公理:兩點(diǎn)間線段最短;兩之間線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的

17、距離. 2. 比較線段長(zhǎng)短的兩種方法: 圓規(guī)截取比較法;刻度尺度量比較法. 3. 用刻度尺可以畫出線段的中點(diǎn),線段的和、差、倍、分; 用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍. 三.角的度量與表示 1. 角:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角; 這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn);這兩條射線叫做角的邊. 2. 角的表示法：角的符號(hào)為“” 用三個(gè)字母表示，如圖 1 所示AOB 用一個(gè)字母表示，如圖 2 所示b 用一個(gè)數(shù)字表示，如圖 3 所示1 用希臘字母表示，如圖 4 所示 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。 兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。 兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。 1=60 1=60” 角也可以看成

18、是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。如圖 5 所示： 一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)， 所成的角叫做平角。如圖 6 所示： 終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)， 所成的角叫做周角。如圖 7 所示： 從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的 平分線。 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。 A O B 圖 1 b 圖 2 終邊 始邊 圖 5 平角圖 6 周角 圖 7 1 圖 3 圖 4 互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。 平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。 如圖 8

19、 所示，過(guò)點(diǎn) C 作直線 AB 的垂線，垂足為 O 點(diǎn)，線段 CO 的長(zhǎng)度叫做點(diǎn) C 到直線 AB 的距離。 第五章第五章 一元一次方程一元一次方程 在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù) x（元） ，并且未知數(shù)的指數(shù)是 1（次）,這樣的方程叫 做一元一次方程。 等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。 等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)不為 0 的數(shù)） ，所得結(jié)果仍是等式。 解方程的步驟：解一元一次方程，一般要通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、 未知數(shù)的系數(shù)化為 1 等幾個(gè)步驟，把一個(gè)一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成 x=m 的形式。 第六章第六章 生活中的數(shù)據(jù)生活中的數(shù)據(jù) 科學(xué)記數(shù)法

20、：一般地，一個(gè)大于 10 的數(shù)可以表示成 a10n的形式，其中 1an). 2. 在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn): 法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a0. 任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即,如,(-2.50=1),則00無(wú)意義. )0( 1 0 aa 1100 任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的p的次冪的倒數(shù),即 ( p p a a 1 a0,p是正整數(shù)), 而0-1,0-3都是無(wú)意義的;當(dāng)a0時(shí),a-p的值一定是正的; 當(dāng)a0時(shí),a-p的 值可能是正也可能是負(fù)的,如 運(yùn)算要注意運(yùn)算順序. 8 1 2, 4 1 2 32 六六. . 整式的乘法整

21、式的乘法 1. 單項(xiàng)式乘法法則:單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng) 式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。 單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是， 將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆； 相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則； 只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式； 單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用； 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。 2單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過(guò)乘法對(duì)加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng) 式與多項(xiàng)式相乘，就是

22、用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同； 運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)； 在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序。 3多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得 的積相加。 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法是：在沒(méi)有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng) 等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積； 多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項(xiàng)； 對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘 ，其二次項(xiàng)系

23、數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)abxbaxbxax 2 項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積。對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式 和相乘可以得到amx bnxabxmbmamnxbnxamx 2 七平方差公式七平方差公式 1平方差公式:兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于它們的平方差,即. 22 bababa 其結(jié)構(gòu)特征是： 公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù)； 公式右邊是兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方之差。 八完全平方公式八完全平方公式 1.完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的 積的2倍， 即； 22 2 2ba

24、baba 口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央； 2結(jié)構(gòu)特征： 公式左邊是二項(xiàng)式的完全平方； 公式右邊共有三項(xiàng)，是二項(xiàng)式中二項(xiàng)的平方和，再加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍。 3在運(yùn)用完全平方公式時(shí)，要注意公式右邊中間項(xiàng)的符號(hào)，以及避免出現(xiàn) 這樣的錯(cuò)誤。 22 2 baba 九整式的除法九整式的除法 1單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式 單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有 的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式； 2多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加，其 特點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的 項(xiàng)

25、數(shù)相同，另外還要特別注意符號(hào)。 第二章第二章 平行線與相交線平行線與相交線 一臺(tái)球桌面上的角一臺(tái)球桌面上的角 1互為余角和互為補(bǔ)角的有關(guān)概念與性質(zhì) 如果兩個(gè)角的和為90（或直角），那么這兩個(gè)角互為余角； 如果兩個(gè)角的和為180（或平角），那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角； 注意：這兩個(gè)概念都是對(duì)于兩個(gè)角而言的，而且兩個(gè)概念強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與 兩個(gè)角的相互位置沒(méi)有關(guān)系。 它們的主要性質(zhì)：同角或等角的余角相等； 同角或等角的補(bǔ)角相等。 二探索直線平行的條件二探索直線平行的條件 兩條直線互相平行的條件即兩條直線互相平行的判定定理，共有三條： 同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)

26、，兩直線平行。 三平行線的特征三平行線的特征 平行線的特征即平行線的性質(zhì)定理，共有三條： 兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 四用尺規(guī)作線段和角四用尺規(guī)作線段和角 1關(guān)于尺規(guī)作圖 尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺來(lái)作圖。 2關(guān)于尺規(guī)的功能 直尺的功能是：在兩點(diǎn)間連接一條線段；將線段向兩方向延長(zhǎng)。 圓規(guī)的功能是：以任意一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作一個(gè)圓；以任意一點(diǎn)為圓心，任意 長(zhǎng)度為半徑畫一段弧。 第三章第三章 生活中的數(shù)據(jù)生活中的數(shù)據(jù) 1.科學(xué)記數(shù)法：對(duì)任意一個(gè)正數(shù)可能寫成a10n的形式，其中1a10，n是整數(shù)，這種 記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。 2利

27、用四舍五入法取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪 一位；對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都 叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。 3統(tǒng)計(jì)工作包括：設(shè)定目標(biāo)；收集數(shù)據(jù)；整理數(shù)據(jù)；表達(dá)與描述數(shù)據(jù)；分析 結(jié)果。 第四章第四章 概率概率 1.隨機(jī)事件發(fā)生與不發(fā)生的可能性不總是各占一半，都為50%。 2.現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的不確定事件，而概率正是研究不確定事件的一門學(xué)科。 3.了解必然事件和不可能事件發(fā)生的概率。 必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可 能事件）=0；如果A為不確定事件，那么0P(A)1時(shí)，伸

28、長(zhǎng)為原來(lái)的n倍；當(dāng)0n1時(shí)， 伸長(zhǎng)為原來(lái)的n倍；當(dāng)0n0）或向左(a0）或向下(b0） ，所得的圖形與原圖形相比，形狀 不變；當(dāng)n1時(shí)，對(duì)應(yīng)線段大小擴(kuò)大到原來(lái)的n倍；當(dāng)0n0時(shí),y隨x的增大而增大; 當(dāng)k0時(shí),y隨x的增大而減小。 第七章第七章 二元一次方程組二元一次方程組 含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。 兩個(gè)一次 方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組。 解二元一次方程組：代入消元法； 加減消元法（無(wú)論是代入消元法還是加減消元法，其目的都是將 “二元一次方程”變?yōu)椤耙辉淮畏匠獭?，所謂之“消元” ） 在利用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)

29、（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情 況只要設(shè)問(wèn)題為x或y；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮） ；尋找 等量關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其 列出方程） 。 處理問(wèn)題的過(guò)程可以進(jìn)一步概括為： 解答 檢驗(yàn) 求解 組方程 抽象 分析 問(wèn)題)( 第八章第八章 數(shù)據(jù)的代表數(shù)據(jù)的代表 加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的權(quán)分加為，則稱 n xxx, 21n www, 21 為這 n 個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。 （如：對(duì)某同學(xué)的數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、科 n nn www wxwxwx 21 2211 學(xué)三科的考查，成績(jī)分別為 72，50，88，而三項(xiàng)成績(jī)的“權(quán)”分別為 4、3、1，則加權(quán)平 均

30、數(shù)為： 134 188350472 ） 一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平 均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 眾數(shù)著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的考察，中位數(shù)首先要將數(shù)據(jù)按大小順序排列，而且要注 意當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中間的那個(gè)數(shù)據(jù)就是中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，居于中間 的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)才是中位數(shù)，特別要注意一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)是唯一的，但 眾數(shù)則不一定是唯一的。 3 2 1 0 0 0. 0k b b b 八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總 第一章第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組一元一

31、次不等式和一元一次不等式組 一.不等關(guān)系 1. 一般地,用符號(hào)“”(或“”)連接的式子叫做不等式. 2. 要區(qū)別方程與不等式: 方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系. 3. 準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)” 、 “不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ). 非負(fù)數(shù) 大于等于 0(0) 0 和正數(shù) 不小于 0 非正數(shù) 小于等于 0(0) 0 和負(fù)數(shù) 不大于 0 二.不等式的基本性質(zhì) 1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會(huì)靈活運(yùn)用: (1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變,即: 如果 ab,那么 a+cb+c, a-cb-c. (2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)

32、的方向不變,即 如果 ab,并且 c0,那么 acbc, . c b c a (3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,即: 如果 ab,并且 c0,那么 acb,那么 a-b 是正數(shù);反過(guò)來(lái),如果 a-b 是正數(shù),那么 ab; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0;反過(guò)來(lái),如果 a-b 等于 0,那么 a=b; 如果 ab,那么 a-b 是負(fù)數(shù);反過(guò)來(lái),如果 a-b 是正數(shù),那么 ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-bb(或 ax0 時(shí),解為;當(dāng) a=0 時(shí),且 b0,則 x 取一切實(shí)數(shù); a b x 當(dāng) a=0 時(shí),且 b0,則無(wú)解;當(dāng) a0 時(shí), 解為;

33、 a b x 5.不等式應(yīng)用的探索(利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題) 列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似,即: 審: 認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系,要抓住題中的關(guān)鍵字眼,如“大于” 、 “小于” 、 “不大于” 、 “不小于”等含義; 設(shè): 設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù);列: 根據(jù)題中的不等關(guān)系,列出不等式; 解: 解出所列的不等式的解集;答: 寫出答案,并檢驗(yàn)答案是否符合題意. 五. 一元一次不等式與一次函數(shù) 六. 一元一次不等式組 1.定義: 由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不 等式組. 2.一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些

34、不等式 的解集無(wú)公共部分,就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解. 幾個(gè)不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來(lái)確定. 3.解一元一次不等式組的步驟: (1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集; (2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集. 兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b 為實(shí)數(shù),且 ab ba 兩大取較大 bx ax xa b a 兩小取小 bx ax axb b a 大小交叉中間找 bx ax 無(wú)解 b a 在大小分離沒(méi)有 解 (是空集) 第二章第二章 分解因式分解因式 一. 分解因式 1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. 2. 因式分解與

35、整式乘法是互逆關(guān)系. 因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系: (1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式; (2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘. 二. 提公共因式法 1. 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化 成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(cbaacab 2. 概念內(nèi)涵: (1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”; (2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式; (3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即: )(cbammcmbma 3. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng): (1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);(2)公因式是否提“

36、干凈”; (3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉. 三. 運(yùn)用公式法 1. 如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做 運(yùn)用公式法. 2. 主要公式:(1)平方差公式: )( 22 bababa (2)完全平方公式: 222 )(2bababa 222 )(2bababa 3. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):因式分解要分解到底.如就沒(méi)有分解到底.)( 222244 yxyxyx 4. 運(yùn)用公式法: (1)平方差公式: 應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式; 二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;二項(xiàng)是異號(hào). (2)完全平方公式: 應(yīng)是三

37、項(xiàng)式;其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方; 還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的 2 倍. 5. 因式分解的思路與解題步驟: (1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分組分解法,即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的; (4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解; (5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止. 四. 分組分解法: 1. 分組分解法:利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法. 如: )()()(nmbanmbnmabnbmanam 2. 概念內(nèi)涵: 分組分解法的關(guān)鍵是如何

38、分組,要嘗試通過(guò)分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分 組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式. 3. 注意: 分組時(shí)要注意符號(hào)的變化. 五. 十字相乘法: 1.對(duì)于二次三項(xiàng)式,將 a 和 c 分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積, , cbxax 2 21 aaa , 且滿足,往往寫成 c2 a2 c1a1 的形式,將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分 21 ccc 1221 cacab 解. 如: )( 2211 2 cxacxacbxax 2. 二次三項(xiàng)式的分解:qpxx 2 abqbap)( 2 bxaxqpxx 3. 規(guī)律內(nèi)涵: (1)理解:把分解因式時(shí),如果常數(shù)項(xiàng) q 是正數(shù),那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)qpxx 2

39、因數(shù),它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù) p 的符號(hào)相同. (2)如果常數(shù)項(xiàng) q 是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一 次項(xiàng)系數(shù) p 的符號(hào)相同,對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系 數(shù) p. 4. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng): (1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò); (2)分解的結(jié)果與原式不等,這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確. 第三章第三章 分式分式 一.分式 1.兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí),出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地,當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí),就出現(xiàn)了分式. 整式 A 除以整式 B,可以表示成的形式.如果除式 B 中含有字母,那么稱為分式,對(duì) B A B A 于任意一個(gè)分式,分母都

40、不能為零. b a 1 1 2. 整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有: 分式 整式 有理式 3. 進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),常要進(jìn)行約分和通分,其主要依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì): 分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變. )0(, M MB MA B A MB MA B A 4. 一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí),可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì),把這個(gè)分式的分子、分 母同時(shí)除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分. 二. 分式的乘除法 1. 分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分式,把除式 的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘. 即: ,

41、 BD AC D C B A CB DA C D B A D C B A 2. 分式乘方,把分子、分母分別乘方. 即: )( 為正整數(shù)n B A B A n n n 逆向運(yùn)用,當(dāng) n 為整數(shù)時(shí),仍然有成立. n n n B A B A n n n B A B A 3. 分子與分母沒(méi)有公因式的分式,叫做最簡(jiǎn)分式. 三. 分式的加減法 1. 分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與 原來(lái)的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 2. 分式的加減法: 分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減. (1)同分母的分式相加減,分母不變

42、,把分子相加減; 上述法則用式子表示是: C BA C B C A (2)異號(hào)分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減; 上述法則用式子表示是: BD BCAD BD BC BD AD D C B A 3. 概念內(nèi)涵: 通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)分母,其方法如下:最簡(jiǎn)公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公 倍數(shù);最簡(jiǎn)公分母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項(xiàng)式,則首 先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解. 四. 分式方程 1. 解分式方程的一般步驟: 在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母,約去分母,化成整式方程;解這個(gè)整式方程; 把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,看結(jié)果是不是零,使最簡(jiǎn)公母為零的根是

43、原方程的 增根,必須舍去. 2. 列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟: 審清題意;設(shè)未知數(shù);根據(jù)題意找相等關(guān)系,列出(分式)方程; 解方程,并驗(yàn)根;寫出答案. 第四章第四章 相似圖形相似圖形 一. 線段的比 1. 如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段 AB, CD 的長(zhǎng)度分別是 m、n,那么就說(shuō)這兩條 線段的比 AB:CD=m:n ,或?qū)懗? n m B A 2. 四條線段 a、b、c、d 中,如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比,即,那么這四條線 d c b a 段 a、b、c、d 叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段. 3. 注意點(diǎn): a:b=k,說(shuō)明 a 是 b 的 k 倍; 由于線段a、b 的

44、長(zhǎng)度都是正數(shù),所以 k 是正數(shù); 比與所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān),求出時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致; 除了 a=b 之外,a:bb:a, 與互為倒數(shù); b a a b 比例的基本性質(zhì):若, 則 ad=bc; 若 ad=bc, 則 d c b a d c b a 二. 黃金分割 1. 如圖 1,點(diǎn) C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC,如果,那么稱線段 AB 被點(diǎn) C AC BC AB AC 黃金分割,點(diǎn) C 叫做線段 AB 的黃金分割點(diǎn),AC 與 AB 的比叫做黃金比. 1:618 . 0 2 15 : ABAC 2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點(diǎn). 四. 相似多邊形 1. 一般地

45、,形狀相同的圖形稱為相似圖形. 2. 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫 做相似比. 五. 相似三角形 1.在相似多邊形中,最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形. 2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似 比. 3. 全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于 1. 注意:證兩個(gè)相似三角形,與證兩 個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上. 4. 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比. 5. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比. _ 圖 1 _ B_ C_ A 6. 相似三角形面積的比等

46、于相似比的平方. 六.探索三角形相似的條件 1. 相似三角形的判定方法: 一般三角形直角三角形 基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線,所 截得的三角形與原三角形相似. 兩角對(duì)應(yīng)相等; 兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等; 三邊對(duì)應(yīng)成比例. 一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等; 兩條邊對(duì)應(yīng)成比例: a. 兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例; b. 斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例. 2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線, 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 如圖 2, l1 / l2 / l3,則. EF BC DE AB 3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延 長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形

47、相似. 八. 相似的多邊形的性質(zhì) 相似多邊形的周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平 方. 九. 圖形的放大與縮小 1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的 兩個(gè)圖形叫做位似圖形; 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心; 這時(shí)的相似比又稱為位似比. 2. 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比. 3. 位似變換: 變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這 一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心. 一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形. 利用位似的方法,可以把一個(gè)圖

48、形放大或縮小. 第五章第五章 數(shù)據(jù)的收集與處理數(shù)據(jù)的收集與處理 一. 每周干家務(wù)活的時(shí)間 1. 所要考察的對(duì)象的全體叫做總體; 把組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體; 從總體中取出的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本. 2. 為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)象作的全面調(diào)查叫做普查; 為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象作的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查. 二. 數(shù)據(jù)的收集 1. 抽樣調(diào)查的特點(diǎn): 調(diào)查的范圍小、節(jié)省時(shí)間和人力物力優(yōu)點(diǎn).但不如普查得到的調(diào)查 結(jié)果精確,它得到的只是估計(jì)值. 而估計(jì)值是否接近實(shí)際情況還取決于樣本選得是否有代表性. _ 圖 2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l_ 3 _ l_

49、2 _ l_ 1 第六章第六章 證明證明( (一一) ) 二. 定義與命題 1. 一般地,能明確指出概念含義或特征的句子,稱為定義. 定義必須是嚴(yán)密的.一般避免使用含糊不清的術(shù)語(yǔ),例如“一些” 、 “大概” 、 “差不多” 等不能在定義中出現(xiàn). 2. 可以判斷它是正確的或是錯(cuò)誤的句子叫做命題. 正確的命題稱為真命題,錯(cuò)誤的命題稱為假命題. 3. 數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的,并且把它們作為判斷其他 命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫做公理. 4. 有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā),用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,并且可 以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題

50、叫做定理. 5. 根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等,經(jīng)過(guò)邏輯推理,來(lái)判斷一個(gè)命題是否正確,這樣的 推理過(guò)程叫做證明. 三. 為什么它們平行 1. 平行判定公理: 同位角相等,兩直線平行.(并由此得到平行的判定定理) 2. 平行判定定理: 同旁內(nèi)互補(bǔ),兩直線平行. 3. 平行判定定理: 同錯(cuò)角相等,兩直線平行. 四. 如果兩條直線平行 1. 兩條直線平行的性質(zhì)公理: 兩直線平行,同位角相等; 2. 兩條直線平行的性質(zhì)定理: 兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等; 3. 兩條直線平行的性質(zhì)定理: 兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ). 五. 三角形和定理的證明 1. 三角形內(nèi)角和定理: 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180 2.

51、一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)直角 3. 一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)鈍角 4. 一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角 六. 關(guān)注三角形的外角 1. 三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論: 推論 1: 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和; 推論 2: 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角. 九年級(jí)上冊(cè)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)匯總 第一章第一章 證明證明( (二二) ) 等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成 兩個(gè)全等的 直角三角形，其中一個(gè)銳角等于 30，這它所對(duì)的直角邊必然等于斜邊的一半。

52、有一個(gè)角等于 60 的等腰三角形是等邊三角形。 如果知道一個(gè)三角形為直角三角形首先要想的定理有： 勾股定理：（注意區(qū)分斜邊與直角邊） 222 cba 在直角三角形中，如有一個(gè)內(nèi)角等于 30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)） 垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。 （注意著重號(hào)的意義） 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。 線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 （如圖 1 所示， AO=BO=C

53、O） 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。 角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。 角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。 三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。 (如圖 2 所示，OD=OE=OF) 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為（a、b、c 為0 2 cbxax 常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。 把（a、b、c 為常數(shù)，a0）稱為一元二次方程的一般形式，a 為二次0 2 cbxax A C B O 圖 1 圖 2 O A C B D E F 項(xiàng)系數(shù)

54、；b 為一次項(xiàng)系數(shù)；c 為常數(shù)項(xiàng)。 解一元二次方程的方法：配方法 0)( 2 mx 公式法 （注意在找 abc 時(shí)須先把方程化為一般形式） a acbb x 2 4 2 分解因式法 把方程的一邊變成 0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘” ） 配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式； 將二次項(xiàng)系數(shù)化成 1； 把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊； 兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方； 把方程轉(zhuǎn)化成的形式；0)( 2 mx 兩邊開(kāi)方求其根。 根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng) b2-4ac0 時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng) b2-4ac=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

55、實(shí)數(shù)根； 當(dāng) b2-4ac0 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。 如果一元二次方程的兩根分別為 x1、x2，則有：0 2 cbxax 。 a c xx a b xx 2121 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根 x1、x2的對(duì)稱式的值，特別注意以下公式： 21 2 21 2 2 2 1 2)(xxxxxx 21 21 21 11 xx xx xx 21 2 21 2 21 4)()(xxxxxx 21 2 2121 4)(|xxxxxx |22)(|)|(| 2121 2 21 2 21 xxxxxxxx 其他能用或表達(dá)的代數(shù))(3)( 21

56、21 3 21 3 2 3 1 xxxxxxxx 21 xx 21x x 式。 （3）已知方程的兩根 x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：0)( 212 2 1 xxxxxx （4）已知兩數(shù) x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根0)( 212 2 1 xxxxxx 在利用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情 況只要設(shè)問(wèn)題為 x；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮） ；尋找等 量關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列 出方程） 。 處理問(wèn)題的過(guò)程可以進(jìn)一步概括為： 解答 檢驗(yàn) 求解 方程

57、 抽象 分析 問(wèn)題 第三章第三章 證明（三）證明（三） 平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩 頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線。 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等,對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分。 平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的 距離相等。這個(gè)距離稱為平行線之間的距離。 菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 菱形的性質(zhì)：

58、具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條 對(duì)角線平分一組對(duì)角。 菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。 菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 四條邊都相等的四邊形是菱形。 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。 矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。 （矩形是軸對(duì)稱 圖形，有兩條對(duì)稱軸） 矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

59、。 正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。 正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。 （正方形是軸對(duì)稱圖形， 有兩條對(duì)稱軸） 正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì) 角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的菱形關(guān)系(如圖 3 所示)： 梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。 兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。 同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。 夾在兩條