福建省廈門市外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

1、福建省廈門市外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）第卷 （本卷共計60分）一、選擇題：（1-11題只有一個選項，12題是多選題，每小題5分，共計60分）1.若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合，然后利用交集的定義可求出集合.【詳解】，則，則，又，因此，.故選：C.【點睛】本題考查交集的運算，解出集合是解本題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. 已知冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(9，3)，則f(2)f(1)()A. 3B. 1C. 1D. 1【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)為f(x)x，由f(9)93，即323，可得21，.所以f(x)，

2、故f(2)f(1)1.3.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)判斷各選項中函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，即可得出合乎題意的選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)且為增函數(shù)；對于B選項，函數(shù)是奇函數(shù)且為增函數(shù)；對于C選項，函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間和上都是減函數(shù)，但在定義域上不單調(diào)；對于D選項，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，此函數(shù)為奇函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間和上都是減函數(shù)，且在上連續(xù)，則函數(shù)在上為減函數(shù).故選：D.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考

3、查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4.函數(shù)的一個零點所在區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求函數(shù)零點所在的區(qū)間，利用零點存在性定理。故先判斷在定義域連續(xù)。再求得 ，。進而可得?？傻煤瘮?shù)的一個零點所在區(qū)間為。詳解：因為在定義域連續(xù)。 所以， 所以函數(shù)的一個零點所在區(qū)間為。故選B。點睛：求函數(shù)零點所在的區(qū)間，利用零點存在性定理。函數(shù)在區(qū)間上為連續(xù)函數(shù)，若，則函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個零點。若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，若，則函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點。5.已知且則的值是（ ）A. B. C. 5D. 7【答案】A【解析】，故選A.6.已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系是()A. m

4、npB. mpnC. pmnD. pnm【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可比較大小.【詳解】設(shè)函數(shù)f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x則f（x）單調(diào)遞減，g（x）單調(diào)遞增，h（x）單調(diào)遞減0f（5.1）=0.95.10.90=1，即0m1g（0.9）=5.10.95.10=1，即n1h（5.1）=log0.95.1log0.91=0，即p0pmn故選：C【點睛】本題考查對數(shù)值比較大小，可先從范圍上比較大小，當(dāng)從范圍上不能比較大小時，可借助函數(shù)的單調(diào)性數(shù)形結(jié)合比較大小屬基礎(chǔ)題7.已知函數(shù)（其中），若的圖像如右圖所示，則函數(shù)的圖像大致為（ ）A.

5、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的圖像，得到，進而可得出結(jié)果.【詳解】由的圖像可知，觀察圖像可知，答案選A【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像，指數(shù)函數(shù)圖像，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.8.已知函數(shù)，則不等式的解集為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：若，則，得；若，則；綜上可得.考點：解不等式9.一元二次方程的兩根均大于，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】設(shè)，分析二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、判別式以及的函數(shù)值符號，可得出關(guān)于的不等式組，解出即可.【詳解】設(shè)，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.由于一元二次方

6、程的兩根均大于，則，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查二次函數(shù)的零點分布問題，一般要結(jié)合二次函數(shù)圖象得出開口方向、對稱軸、判別式以及端點函數(shù)值符號（此端點指的是與方程的根比較大小的數(shù)），由此列出不等式組進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10.已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)法可得知內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，且在上恒成立，由此列出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，且外層函數(shù)為增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，得，且在上恒成立，則，

7、解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)合型對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題，在利用復(fù)合函數(shù)法判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性時，還應(yīng)注意真數(shù)在定義域上要恒為正數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，且，如果對任意的、，都有，那么不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】計算出，并由可得出函數(shù)在上為減函數(shù)，再由，可得出，再由函數(shù)在上的單調(diào)性可得出，解出該不等式即可.【詳解】由于對任意的實數(shù)、，且.令，可得，且，解得.令，則，.設(shè)，則，由，得.所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，由，可得.所以，即，解得.因此，不等式的解集為.故選：B.

8、【點睛】本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是將不等式左右兩邊轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩個函數(shù)值，并利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12.（多選題）已知函數(shù)與（且）的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值可以是下列數(shù)據(jù)中的（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意得出，可得出，于是將問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域，并利用單調(diào)性求出函數(shù)在上的值域，可得出實數(shù)的取值范圍，由此可得出正確選項.【詳解】由題意可得，則，得，構(gòu)造函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.又，因此，符合條件的選項有A、B、C.

9、故選：ABC.【點睛】本題考查函數(shù)方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，另外就是利用參變量分離法將參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.第卷（本卷共計90分）二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分)13.設(shè)集合，若，則_【答案】【解析】因為，所以為方程的解，則，解得，所以，集合14.計算：_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算律、對數(shù)恒等式以及指數(shù)冪的運算律可計算出結(jié)果.【詳解】由題意可得，原式.故答案為：.【點睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)的運算律以及對數(shù)恒等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍

10、是_.【答案】【解析】試題分析：由題意得，函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知：使得成立，則，解得.考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì).【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性及其簡單的應(yīng)用，解答中根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，結(jié)合函數(shù)的圖象，把不等式成立，轉(zhuǎn)化為，即可求解，其中得出函數(shù)的單調(diào)性是解答問題的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想和推理與運算能力，屬于中檔試題.16.已知函數(shù)在內(nèi)恒小于零，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由題意得出對任意的恒成立，然后對底數(shù)分和兩種情況討論，結(jié)合圖象找出關(guān)鍵點得出

11、關(guān)于的不等式（組）求解，可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，則不等式對任意的恒成立.當(dāng)時，則，此時，則不等式對任意的不成立；當(dāng)時，如下圖所示：由圖象可知，若不等式對任意的恒成立，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)不等式恒成立問題，解題時要注意對底數(shù)的取值范圍進行分類討論，并利用數(shù)形結(jié)合思想得出一些關(guān)鍵點列不等式（組）求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.三、解答題（共6題，70分）17.已知，.（1）求； （2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）利用偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)中真數(shù)大于零列出關(guān)于的不等式組，解出即可得出集合；（2）

12、由可得出，然后分和兩種情況分類討論，結(jié)合列出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）對于函數(shù)，有，即，解得.因此，；（2），.當(dāng)時，即當(dāng)時，即當(dāng)時，成立；當(dāng)時，即當(dāng)時，即當(dāng)時，由，可得，解得，此時.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)定義域的求解，同時也考查了利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，在解題時要對含參集合是否為空集進行分類討論，結(jié)合包含關(guān)系列出不等式（組）進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.18.已知函數(shù).（1）若，畫出函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）圖象見解析；增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）見解析.【解析】【分析】

13、（1）將代入函數(shù)的表達式，并將該函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用翻折變換可得出函數(shù)的圖象，并利用圖象得出該函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）令，得，則函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的交點個數(shù)，結(jié)合（1）中的圖象，可得出實數(shù)在不同取值下函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，.令，即，得；令，即，得.，函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）令，得，則函數(shù)的零點個數(shù)等價于直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù).如上圖所示，當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為；當(dāng)或時，函數(shù)的零點個數(shù)為；當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為.【點睛】本題考查函數(shù)圖象變換以及函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查函數(shù)零點個數(shù)問題的求解，利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線

14、與函數(shù)的交點個數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.19.已知函數(shù)（1）用定義法證明：是上的減函數(shù)；（2）若對于區(qū)間上的每一個值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，從而得出函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）由參變量分離法得出對任意的上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出該函數(shù)的最大值，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）任取，則，則，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）對任意的，即，得.構(gòu)造函數(shù)，其中，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，.因此，實數(shù)的取值范圍是.

15、【點睛】本題考查利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，同時也考查了函數(shù)不等式恒成立問題，利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.20.已知二次函數(shù)對一切實數(shù)，都有成立，且，.（1）求的解析式；（2）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，若，當(dāng)時，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得出二次函數(shù)的對稱軸為直線，結(jié)合可得出該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，可設(shè)，再由求出實數(shù)的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）求出函數(shù)的解析式，分析該二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出和，然后解不等式，求出實數(shù)的取值范圍，即可得出實數(shù)的

16、最大值.【詳解】（1）對一切實數(shù)，都有成立，則二次函數(shù)的對稱軸為直線，又，則二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，設(shè)，則，因此，；（2），對稱軸為直線，則.當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則，得，此時；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且，則，整理得，解得，此時，.因此，則實數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查二次函數(shù)解析式求法，同時也考查了二次函數(shù)在定區(qū)間上最值的求法，當(dāng)對稱軸位置不確定時，需要分析對稱軸與定義域的位置關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性得出二次函數(shù)的最值，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.21.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得萬元萬元的投資收益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一

17、個對科研課題組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過萬元，同時獎金不超過投資收益的（即：設(shè)獎勵方案函數(shù)模型為時，則公司對函數(shù)模型的基本要求是:當(dāng)時，是增函數(shù)；恒成立；恒成立）（1）判斷函數(shù)是否符合公司獎勵方案函數(shù)模型的要求，并說明理由；（2）已知函數(shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求，求實數(shù)的取值范圍【參考結(jié)論：函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、】【答案】（1）函數(shù)模型，不符合公司要求；詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）研究函數(shù)的單調(diào)性與值域，驗證該函數(shù)是否滿足題中三個要求，即可得出結(jié)論；（2）先求出函數(shù)的最大值，由求出實數(shù)的范圍，在利用參變量分離法求出滿足恒

18、成立時實數(shù)的取值范圍，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）對于函數(shù)模型，當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則顯然恒成立，若函數(shù)恒成立，即，解得，則不恒成立，綜上所述，函數(shù)模型，滿足基本要求，但是不滿足，故函數(shù)模型，不符合公司要求；（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值為，由題意可得，解得.設(shè)恒成立，恒成立，即，對于函數(shù)，由題意可知，該函數(shù)在處取得最小值，即，.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，本質(zhì)上就是考查函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時也考查了函數(shù)不等式恒成立問題，在求解含單參數(shù)的不等式恒成立問題，可充分利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.22.設(shè)函數(shù)（1）若是偶函數(shù)，求的值；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若在有零點，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義，作差變形后可求出實數(shù)的值；（2）由已知代入可得，不等式兩邊同時除以可得出，換元，可得出，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍；（3）求出，換元