16講定積分及簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí),第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,第19講,定積分及簡(jiǎn)單應(yīng)用,1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念. 2.了解微積分基本定理的含義.,1.下列積分的值為1的是( ),C,A. B. C. D.,=x =1.,2.曲線y=cosx(0 x )與坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積是( ),B,A.2 B.3 C. D.4,由曲線y=cosx(0 x )的圖象及面積意義知，所求面積為 S= |cosx|dx=3 cosxdx= 3sinx =3.,3. |x|dx等于 ( ),C,xdx (-x)dx (-x)dx+ xdx xdx+ (-x)dx,因?yàn)閨x|= x (x

2、0) -x (x0), 所以 |x|dx= (-x)dx+ xdx.,4.一物體在力F(x)=4x-1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向,從x=1運(yùn)動(dòng)到x=3處(單位:m),則力F所做的功為( ),D,A.8 J B.10 J C.12 J D.14 J,由變力做功公式有 W= (4x-1)dx=(2x2-x) =14 J.,5.做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，初速度為30 m/s,t s后的速度v=30-1.5t-4 ，則該物體停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的路程是 m.,設(shè)物體經(jīng)過(guò)t s后停止.由30-1.5t-4 =0,得t= ,所以運(yùn)動(dòng)路程為 s= (30-1.5t-4 )dt=(30t- t2-

3、) =30 - ( )2- = (m).,1.定積分的概念 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0x1xi-1xixn=b將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上任取一點(diǎn)i(i=1,2,n),作和式 f(i)x= .當(dāng)n時(shí)，上述和無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，,記作： f(x)dx,即 f(x)dx= .a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做積式. (1)定積分 f(x)dx是一個(gè)常數(shù)；,(2)定積分的幾何意義： ()當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上恒為正

4、時(shí),定積分 f(x)dx的幾何意義是由曲線 和直線 所圍成的曲邊梯形的面積(如圖中陰影部分).,y=f(x),x=a, x=b(ab), y=0,()一般情況下定積分 f(x)dx的幾何意義是介于x軸，函數(shù)y=f(x)的圖象以及直線 , 之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(如圖)，其中在x軸上方的面積取正號(hào),在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).,x=a,x=b,(3)定積分的性質(zhì). kf(x)dx=k f(x)dx(k為常數(shù))； f(x)g(x)dx= f(x)dx g(x)dx; f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb). 2.微積分基本定理 如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且 ,則

5、f(x)dx=F(x) = F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù).,F(x)=f(x),3.求定積分的方法 (1)定義法： ()分割：n等分區(qū)間a,b； ()近似代替：取點(diǎn)ixi-1,xi，用f(i)近似地代替f(x)在xi-1,xi上的函數(shù)值; ()求和 f(i); ()取極限: f(x)dx= f(i).,(2)利用微積分基本定理求定積分 f(x)dx. ()求f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x); ()計(jì)算F(b)-F(a). (3)利用定積分的幾何意義求定積分. 4.定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 (1)定積分在幾何中的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積.,(2)定積分在物理中的應(yīng)用： 求變速直線運(yùn)動(dòng)

6、的路程:s= (v(t)為速度函數(shù)). 求變力所做的功:W= .,v(t)dt,F(x)dx,題型一 定積分的概念及幾何意義,例1,求下列定積分： （1） dx； （2） (4-x-|x-2|)dx.,（1）因?yàn)?dx表示曲線y= 與直線x=，x=1及x軸所圍成的面積（如圖）， 所以 dx= .,(2) (4-x-|x-2|)dx= (4-x)dx- |x-2|dx表示OBD的面積與OAE及ABC和的差(如圖), 故 (4-x-|x-2|)dx= 44-2 22=4.,解定積分的概念，利用定積分的幾何意義求定積分是常用技巧之一.,(2010廣東潮州調(diào)研)已知f(x)為偶函數(shù)且 f(x)dx=8

7、，則 f(x)dx等于( ),D,A.0 B.4 C.8 D.16,原式= f(x)dx+ f(x)dx， 因?yàn)樵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在y軸兩側(cè)的圖象對(duì)稱，所以對(duì)應(yīng)的面積相等， 則 f(x)dx=2 f(x)dx=16.,計(jì)算下列定積分: (1) (2sinx-3ex+2)dx; (2) (sinx-sin2x)dx； (3) dx.,題型二 定積分的計(jì)算,例2,(1) (2sinx-3ex+2)dx =2 sinxdx-3 exdx+2 dx =2(-cosx) -3ex +2x =-2(cos-cos0)-3(e-e0)+2(-0)=7-3e+2. (2)函數(shù)y=sinx-sin2x的一個(gè)原

8、函數(shù)為 y=-cosx+ cos2x, 所以 (sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x) =(- - )-(-1+ )=- .,(3)原式= dx = |sinx-cosx|dx = |sinx-cosx|dx+ |sinx-cosx|dx = |cosx-sinx|dx+ |sinx-cosx|dx = sinx+cosx) -(cosx+sinx) =2( -1).,利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積分函數(shù)的原函數(shù).求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算,因此應(yīng)熟練掌握一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).此外,如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分的性質(zhì)

9、f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx，根據(jù)函數(shù)的定義域,將積分區(qū)間分解為若干部分,代入相應(yīng)的解析式,分別求出積分值，相加即可.,題型三 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用,例3,求由曲線y2=x,y=x2所圍成的圖形的面積.,如圖所示. 由 y2=x y=x2，得出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0及x=1. 因此所圍成圖形的面積 S= dx- x2dx=( - ) = - = .,求平面圖形的面積，關(guān)鍵是弄清該圖形的生成函數(shù)關(guān)系及其位置.,例4,一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t=0(s)開始以速度v=t2-4t+3(m/s)運(yùn)動(dòng)，求： (1)在t=4 s時(shí)的位置； (2)在t=4 s時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程.,(1)在時(shí)刻t=4 s時(shí)該

10、點(diǎn)的位置為 (t2-4t+3)dt=( t3-2t2+3t) = (m), 即在t=4 s時(shí)刻該點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) m.,(2)因?yàn)関(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3)， 所以在區(qū)間0,1及3,4上，v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0, 所以在t=4 s時(shí)的路程為 s= (t2-4t+3)dt+| (t2-4t+3)dt|+ (t2-4t+3)dt = (t2-4t+3)dt- (t2-4t+3)dt+ (t2-4t+3)dt =4(m). 即在t=4 s時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m.,因?yàn)槲恢脹Q定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定積分，而路程是位移的絕對(duì)值之和，因此需判斷在0,4上，哪些時(shí)

11、間段的位移為負(fù)值.,若直線l:y=t2-t(0t ,t為常數(shù))與函數(shù)f(x)=x2-x的圖象以及y軸所成的封閉圖形的面積為S1(t)，若直線l與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為S2(t),已知g(t)=S1(t)+S2(t),當(dāng)g(t)取最小值時(shí)，求t的值.,先確定出封閉圖形S1(t),S2(t)的面積,建立面積的函數(shù)關(guān)系式，最后求最值.,由y= x2-x y=t2-t,得交點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t2-t)和(1-t,t2-t), 又因?yàn)?t ， 所以t2-t=(t- )2- (- ,0)， 而函數(shù)y=x2-x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ,- )，,由定積分的幾何意義，得 g(t)=S1(t)+S2(t

12、) = (x2-x)-(t2-t)dx+2 (t2-t)-(x2-x)dx =( x3- x2)-(t2-t)x +2(t2-t)x-( x3- x2) = t3- t2-t3+t2+2(t2-t) -( - )- (t2-t)t+ t3- t2 =-2t3+ t2-t+ .,故g(t)=-6t2+5t-1=-(3t-1)(2t-1). 令g(t)=0，解得t= 或t= (舍去). 當(dāng)t(0, )時(shí)，g(t)0， 函數(shù)g(t)在區(qū)間( , )上單調(diào)遞增. 故當(dāng)t= 時(shí)，函數(shù)g(t)有最小值.,解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是正確的確定圖形的位置，再利用定積分的幾何意義求得圖形面積函數(shù)的解析式.,1.定積分的

13、概念. (1)定積分的定義是由實(shí)際問(wèn)題抽象概括出來(lái)的，它的解決過(guò)程充分體現(xiàn)了“由直到曲”、由“有限到無(wú)限”的極限的思想. (2)利用定積分的定義求定積分可以分為四步：分割、近似代替、求和、取極限. 注意：定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，它只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量無(wú)關(guān),即 f(x)dx= f(t)dt= f(u)du., f(x)dx, |f(x)|dx,| f(x)dx|三者在幾何意義上的不同. 當(dāng)f(x)0,即函數(shù)f(x)的圖象全部在x軸上方時(shí)， f(x)dx= |f(x)|dx=| f(x)dx|，都表示界于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊形的面積； 當(dāng)

14、f(x)0，即函數(shù)f(x)的圖象全部在x軸下方時(shí)， |f(x)|dx=| f(x)dx|表示界于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊形的面積，而 f(x)dx0,其結(jié)果是面積的相反數(shù)；,當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在x軸上方和下方都有時(shí), |f(x)|dx表示界于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間各部分面積,如圖陰影部分所示.,2.微積分基本定理使我們找到了求定積分的一般方法，不需要根據(jù)定義求和式的極限，只要求出積函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，再計(jì)算原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量即可.分段函數(shù)的定積分及絕對(duì)值函數(shù)的定積分問(wèn)題，都可以實(shí)施分段求解的方法.

15、 3.定積分的應(yīng)用主要有求平面圖形面積、變速運(yùn)動(dòng)路程及變力做功三個(gè)方面. (1)利用定積分求平面圖形面積的關(guān)鍵是畫出幾何圖形，結(jié)合圖形位置，,確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的表達(dá)式，再利用微積分基本定理求出積分值.對(duì)于由兩條曲線所圍成的圖形面積計(jì)算問(wèn)題，一定要注意結(jié)合圖形特征，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分段處理，要善于進(jìn)行分解. (2)利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題，關(guān)鍵是求出物體作變速運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求.,(2009廣東卷)已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為v甲、v乙(如圖所示)，那么對(duì)于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是( ),A,A.在t1時(shí)刻,甲車在乙車前面 B.t1時(shí)刻后,甲車在乙車后面 C.在t0時(shí)刻,兩車的位置相同 D.t0時(shí)刻后,乙車在甲車前面,在t0時(shí)刻之前，因?yàn)関甲v乙，所以甲車一直在乙車前面.在t0時(shí)刻以后，因?yàn)関乙v甲,所以乙車會(huì)