ch06記憶特性隨機(jī)過程.ppt

1、2020/11/11,1,隨機(jī)過程教程第6講 記憶特性隨機(jī)過程,2020/11/11,2,記憶特性隨機(jī)過程,純粹獨(dú)立隨機(jī)過程 設(shè)有時(shí)間連續(xù)（時(shí)間離散隨機(jī) ）過程 ，任 意時(shí)刻 ， 相互獨(dú)立，稱為純 粹獨(dú)立隨機(jī)過程。,N維時(shí)，,2020/11/11,3,純粹獨(dú)立隨機(jī)過程,時(shí)間連續(xù) 客觀上難以存在 但可以作為理想白噪聲的模型 時(shí)間離散 客觀上是存在的 常作為時(shí)間離散白噪聲的模型 特例：獨(dú)立同分布序列：離散純粹獨(dú)立隨機(jī)過程的每個(gè)隨機(jī)變量都具有相同的概率分布函數(shù)。,2020/11/11,4,獨(dú)立增量過程,設(shè)有時(shí)間連續(xù)（時(shí)間離散隨機(jī) ）過程 ，任 意時(shí)刻 ， 相互 獨(dú)立，稱為獨(dú)立增量隨機(jī)過程。,獨(dú)立增量

2、過程,2020/11/11,5,獨(dú)立增量過程,pmf和cdf的表示,記,概率密度函數(shù)為,2020/11/11,6,離散時(shí)間獨(dú)立增量過程的例子：和過程,定義： 為一個(gè)獨(dú)立同分布序列， 為和過程。,2020/11/11,7,性質(zhì) pmf性質(zhì) 和過程的例子 二項(xiàng)計(jì)數(shù)過程 一維隨機(jī)游走過程,離散獨(dú)立增量過程,2020/11/11,8,醉漢開始從一根電線桿的位置出發(fā)（其坐標(biāo)為x=0 ， x坐標(biāo)向右為正，向左為負(fù)），假定醉漢的步長為l，他走的每一步的取向是隨機(jī)的，與前一步的方向無關(guān)。如果醉漢在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)向右行走一步的幾率為p，則向左走一步的幾率為q=1-p，記錄醉漢向右走了R步， 向左走了L步， 即總

3、共走了N步。那末醉漢在行走了 N步以后，離電線桿的距離為 x，其中 x=(R-L)l。然而我們更感興趣的是醉漢在行走N 步以后，離電線桿的距離x的概率P 。,一維隨機(jī)游走過程和二項(xiàng)計(jì)數(shù)過程,2020/11/11,9,參數(shù)為p的bernoulli獨(dú)立同分布序列Xn，其和過程Yn稱為二項(xiàng)計(jì)數(shù)過程。,離散獨(dú)立增量過程,2020/11/11,10,離散獨(dú)立增量過程,2020/11/11,11,離散獨(dú)立增量過程,2020/11/11,12,離散獨(dú)立增量過程,以均值和方差為例,2020/11/11,13,離散獨(dú)立增量過程,2020/11/11,14,連續(xù)時(shí)間獨(dú)立增量過程,Poisson過程 Poisson

4、過程的導(dǎo)出過程 Wiener過程,2020/11/11,15,定義 稱一個(gè)隨機(jī)過程 是一個(gè)計(jì)數(shù)過程 (point process),若N(t) 滿足:,1) N(t)取非負(fù)整數(shù)值；,2）若st,則 N(t)-N(s)等于區(qū)間(s,t 中“事件”發(fā) 生的次數(shù).,Poission過程,2020/11/11,16,背景:考慮在時(shí)間間隔(0,t中某保險(xiǎn)公司收到的某類保險(xiǎn)的理賠次數(shù)N(t),它是一個(gè)計(jì)數(shù)過程.此類過程有如下特點(diǎn): (1)零初值性：N（0）=0； (2)獨(dú)立增量性：在不同的時(shí)間區(qū)段內(nèi)的理賠次數(shù)彼此獨(dú)立； (3)平穩(wěn)增量性:在同樣長的時(shí)間區(qū)段內(nèi)理賠次數(shù)的概率規(guī)律是一樣的; (4)普通性:在非

5、常短的時(shí)間區(qū)段t內(nèi)的理賠次數(shù)幾乎不可能超過1次,且發(fā)生1次理賠的概率近似與 t成正比.,Poission過程的定義,2020/11/11,17,定義:計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t),t0稱為具有參數(shù)(或強(qiáng)度) 的Poission過程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有獨(dú)立增量性; 3）滿足增量平穩(wěn)性; 4）對(duì)于任意t0和充分小的 ，有 其中 為 的高階無窮小。又稱 為Poission過程的強(qiáng)度系數(shù),Poission過程的定義,發(fā)生的概事件率和 時(shí)間近似成正比,2020/11/11,18,定理 若N(t),t0為Poission過程，則,可得到Poission過程的等價(jià)定義:,1）

6、N(0)=0 ， 2）獨(dú)立增量過程; 3）發(fā)生的概事件率和時(shí)間近似成正比,此即,Poission過程,2020/11/11,19,一階概率質(zhì)量函數(shù),Poission過程,2020/11/11,20,Poisson過程的一階概率密度函數(shù),極值點(diǎn) K=3, 黃線 K=5, 綠線 K=7, 紅線,2020/11/11,21,Poisson過程的數(shù)字特征,2020/11/11,22,例 設(shè)N(t)表示0,t時(shí)段內(nèi)事件A的發(fā)生次數(shù),且N(t),t0 形成強(qiáng)度為的Poisson過程. 如果每次事件A發(fā)生時(shí)以概率p能夠被記錄下來, 并以M(t)表示到t時(shí)刻記錄下來的事件總數(shù), 試證明M(t),t0 形成強(qiáng)度

7、為p 的Poisson流.,解：對(duì)照Poisson過程的定義 1) M(t),t0是一計(jì)數(shù)過程,且M(0)=0 ; 2) 每次事件發(fā)生時(shí)，對(duì)它的記錄與對(duì)其它事件的記錄獨(dú)立，故M(t),t0具有獨(dú)立增量性； 只需驗(yàn)證 3),2020/11/11,23,由全概率公式，,2020/11/11,24,設(shè)首次地震發(fā)生(t=0)后的一段時(shí)間內(nèi)，破壞性余震發(fā)生序列是一個(gè)強(qiáng)度為(次/小時(shí))的泊松過程.任意時(shí)刻t0,以V(t)表示t時(shí)刻之前最后一次破壞性余震直到t時(shí)刻所經(jīng)歷的時(shí)間;以W(t)表示t時(shí)刻之后直到下一次破壞性余震發(fā)生的剩余時(shí)間. (1)求V(t)與W(t)的分布函數(shù); V(t)與W(t)獨(dú)立嗎? (

8、2)已知在此之前最后一次破壞性余震發(fā)生到現(xiàn)在已過了s小時(shí),求未來t小時(shí)內(nèi)沒有破壞性余震發(fā)生的概率.,2020/11/11,25,解: (1),2020/11/11,26,因?yàn)椴此蛇^程是獨(dú)立增量過程,故V(t)與W(t)獨(dú)立.,(2),2020/11/11,27,設(shè)N(t),t0為泊松過程，N(t)表示在0,t內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)，令 ， 表示第k個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻; 表示第k-1個(gè)事件與第k個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，即,先討論到達(dá)時(shí)間間隔 的Tk分布.,泊松過程的性質(zhì):Poisson間隔,2020/11/11,28,定理 到達(dá)時(shí)間間隔序列 相互獨(dú)立同分布，且服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,定理 提供了Pois

9、son過程的參數(shù)估計(jì)方法.,Poisson過程停留于某個(gè)狀態(tài)的時(shí)間 Poisson間隔是指數(shù)分布隨機(jī)變量,總結(jié):,泊松過程的性質(zhì):Poisson間隔,2020/11/11,29,參數(shù)的極大似然估計(jì): 一般地, 若從0時(shí)刻開始, 觀察到Poisson過程N(yùn)(t),t0的一段樣本軌道:1, n的取值: t1t2,tn , 由于, 1 , 2- 1, n- n-1獨(dú)立同指數(shù)分布, 于是似然函數(shù)為,令,得的極大似然估計(jì)為:,2020/11/11,30,定理 到達(dá)時(shí)間 的概率密度函數(shù)為,定理 提供了Poisson過程的參數(shù)的區(qū)間估計(jì)法: 根據(jù)定理, 的概率密度函數(shù)為,備查：1） 的特征函數(shù)為,分布函數(shù)為

10、：,2020/11/11,31,2020/11/11,32,定理 若計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t),t0的到達(dá)時(shí)間間隔序列 是相互獨(dú)立同參數(shù)為的指數(shù)分布，則 N(t),t0是參數(shù)為的泊松過程.,定理 提供了對(duì)泊松過程進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬及其統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)與方法，只需產(chǎn)生n個(gè)同指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù), 將其作為Ti, i=1, 即可得到Poisson過程的一條樣本軌道.,2020/11/11,33,設(shè)有n位顧客在0時(shí)刻排隊(duì)進(jìn)入僅有一個(gè)服務(wù)員的系統(tǒng).假定每位顧客的服務(wù)時(shí)間獨(dú)立,均服從參數(shù)為的指數(shù)分布.以N(t)表示到t時(shí)刻為止已被服務(wù)過的顧客人數(shù).求 （1）EN(t); （2）第n位顧客等候服務(wù)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望; (3)

11、第n位顧客能在t時(shí)刻之前完成服務(wù)的概率.,提示: 的分布函數(shù)是,例,2020/11/11,34,解:（1）, N(t),t0為強(qiáng)度possion 過程，故 EN(t)=t ； （2）記第n位顧客完成服務(wù)的時(shí)間為 ，第n位顧客等候服務(wù)時(shí)間為,(3)根據(jù)定理,或,2020/11/11,35,Poisson過程性質(zhì):事件發(fā)生時(shí)刻的均勻性,設(shè)Poisson過程在 內(nèi)事件只發(fā)生了一次，x為在 內(nèi)事件發(fā)生的時(shí)刻 （證明略） 說明了Poisson過程事件發(fā)生的時(shí)刻具有均勻性,2020/11/11,36,Wiener過程 一維Wiener過程,一維隨機(jī)游走過程的推廣 均值 方差 一階概率密度函數(shù) 高階概率密度函數(shù),X(t)是一個(gè)粒子在時(shí)刻t