導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶模型

1、.5-6 導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶模型盡管所有的固體都包含大量有電子，但有些固體具有很好的電子導(dǎo)電性能，而另一些固體則觀察不到任何電子的導(dǎo)電性。對于固體為什么分為導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體呢？這一基礎(chǔ)事實(shí)曾長期得不到解釋，能帶論對這一問題給出了一個(gè)理論說明，并由此逐步發(fā)展成為有關(guān)導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的現(xiàn)代理論。晶體中電子有能量本征值分裂成一系列能帶，每個(gè)能帶均由N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能級組成（N為晶體原胞數(shù)），所以，每個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子。晶體電子從最低能級開始填充，被電子填滿的能帶稱作滿帶，被電子部分填充的能帶稱為不滿帶，沒有電子填充的能帶稱為空帶。能帶論解釋固體導(dǎo)電的基本觀點(diǎn)是：滿帶電子不導(dǎo)電，而不滿帶

2、中的電子對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)。5. 6. 1 滿帶電子不導(dǎo)電從前面的知識中，已經(jīng)知道，晶體中電子能量本征值E(k)是k的偶函數(shù)，則利用（5-5-11），可以證明v(-k)=-v(k)，即v(k)是k的奇函數(shù)。一個(gè)完全填滿的電子能帶，電子在能帶上的分布，在k空間具有中心對稱性，即一個(gè)電子處于k態(tài)，其能量為E(k)，則必有另一個(gè)與其能量相同的E(-k)=E(k)電子處于-k態(tài)。當(dāng)不存在外電場時(shí)，盡管對于每一個(gè)電子來證，都帶有一定的電流-ev，但是k態(tài)和-k態(tài)的電子電流-ev(k)和-ev(-k)正好一對對相互抵消，所以說沒有宏觀電流。當(dāng)存在外電場或外磁場時(shí)，電子在能帶中分布具有k空間中心對稱性的情況仍不會(huì)

3、改變。以一維能帶為例，圖5-6-1中k軸上的點(diǎn)子表示簡約布里淵區(qū)內(nèi)均勻分布的各量子態(tài)的電子。如上所述，在外電場E的作用下，所有電子所處的狀態(tài)都以速度(5-6-1)圖5-6-1 外場下滿帶電子的運(yùn)動(dòng)F沿k軸移動(dòng)。由于布里淵區(qū)邊界A和兩點(diǎn)實(shí)際上代表同一狀態(tài)，在電子填滿布里淵區(qū)所有狀態(tài)即滿帶情況下，從A點(diǎn)稱動(dòng)出去的電子同時(shí)就從點(diǎn)流進(jìn)來，因而整個(gè)能帶仍處于均勻分布填滿狀態(tài)，并不產(chǎn)生電流。5. 6. 2 不滿帶的電子導(dǎo)電圖5-6-2給出不滿帶電子填充的情況，沒有外電場時(shí)，電子從最低能級開始填充，而且k態(tài)和-k態(tài)總是成對地被電子填充的，所以總電流為零。存在外電場時(shí)，整個(gè)電子分布將向著電場反方向移動(dòng)，由于電

4、子受到聲子或晶格不完整性的散射作用，電子的狀態(tài)代表點(diǎn)不會(huì)無限地稱動(dòng)下去，而是稍稍偏離原來的分布，如圖5-6-2 (b)所示。當(dāng)電子分布偏離中心對稱狀況時(shí)，各電了所荷載的電流中將只有一部分被抵消，因而總電流不為零。外加電場增強(qiáng)，電子分布更加偏離中心對稱分布，未被抵消的電子電流就愈大，晶體總電流也就愈大。由于不滿帶電子可以導(dǎo)電，因而將不滿帶稱作導(dǎo)帶。 （a）無外電場（b）有外電場圖5-6-2 不滿帶電子在k空間的分布5. 6. 3 導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體的能帶模型我們可以通過考察晶體電子填充能帶的狀況來判斷晶體的導(dǎo)電性能。如果晶體電子恰好填滿了最低的一系列能帶，能量再高的能帶都是空的，而且最高的滿帶

5、與最低的空帶之間存在一個(gè)很寬的禁帶（如），那么，這種晶體就是絕緣體。圖5-6-3（c）給出了這種晶體電子填充能帶的狀況。如果晶體的能帶中，除了滿帶外，還有不滿帶，那么，這種晶體就是金屬。半導(dǎo)體晶體電子填充能帶的狀況與絕緣體的沒有本質(zhì)不同，只是最高滿帶與最低空帶之間的帶隙較窄（為），這樣，在T=0K時(shí)，晶體是不導(dǎo)電的，在T0K時(shí)，將有部分電子從滿帶頂部被激發(fā)到空帶的底部，使最高的滿帶及最低的空帶都變成部分填充電子的不滿帶，晶體因而具有一定的導(dǎo)電能力。圖5-6-3畫出導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體電子填充能帶的模型。堿金屬（如鋰、鈉、鉀等）及貴金屬（如金、銀等）每個(gè)原胞只含一個(gè)價(jià)電子。當(dāng)N個(gè)這類原子結(jié)合成固

6、體時(shí)，N個(gè)電子就占據(jù)著能帶中N個(gè)最低的量子態(tài)。其余N個(gè)能量較高的量子態(tài)則是空的，即能帶是半滿的（每個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子）。因此，所有堿金屬、貴金屬晶體都是導(dǎo)體。惰性氣體原子的電子殼層是閉合的，電子數(shù)是偶數(shù)，所以總是將最低能帶填滿，而較高的能帶空著。這些元素形成的固體是絕緣體的典型例子。金剛石、硅和鍺的原胞含有兩個(gè)四價(jià)原子，故每個(gè)原胞含有八個(gè)價(jià)電子，正好填滿價(jià)電子所形成的能帶。所以，這些純凈的晶體在T=0K時(shí)是絕緣體。堿土金屬（如鈣、鍶、鋇等）的每個(gè)原胞含有兩個(gè)s電子，正好填滿s帶，堿土金屬晶體似乎應(yīng)該是絕緣體，實(shí)際上卻是良導(dǎo)體。原因在于s帶與上面的能帶發(fā)生交疊（如圖5-6-3（b）的情況），

7、2N個(gè)s電子在未完全填滿s帶時(shí)，就開始填充上面那個(gè)能帶，造成兩個(gè)不滿帶。因此，堿土金屬晶體是導(dǎo)體。五族元素鉍、銻、砷等的晶體，每個(gè)原胞內(nèi)含有兩個(gè)電子，所以原胞內(nèi)含有偶數(shù)個(gè)電子。這些晶體也應(yīng)該是絕緣體，但它們卻有一定的導(dǎo)電性。原因在于這些晶體的能帶有交疊，只是交疊部分較少，使能對與導(dǎo)電的電子濃度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于正常金屬中的電子濃度，電阻率比正常金屬大約倍，因而被稱作半金屬。由此可見，若晶體的原胞含有奇數(shù)個(gè)價(jià)電子，這種晶體必是導(dǎo)體；原胞含有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子的晶體，如果 能帶交疊，則晶體是導(dǎo)體或半金屬，如果能帶沒有交疊，禁帶窄的晶體就是半導(dǎo)體，禁帶寬的則是絕緣體。5. 6. 4 空穴滿帶中如缺了少數(shù)電子就會(huì)產(chǎn)生

8、一定的導(dǎo)電性，這種近滿帶的情形在半導(dǎo)體的問題中特別重要。要描述近滿帶中電子的運(yùn)動(dòng)，由于涉及到數(shù)目很大的電子集體運(yùn)動(dòng)，因而在表述上十分不便。為此，我們引入空穴的概念，將大量電子的集體運(yùn)動(dòng)等價(jià)地變?yōu)槊枋錾贁?shù)空穴的概念，從而大大簡化了有關(guān)近滿帶的問題。 為了說明空穴的概念并證明用電子和空穴兩種描述方法的等價(jià)性，我們不妨假設(shè)滿帶中只有某一個(gè)狀態(tài)k未被電子占據(jù)，此時(shí)能帶是不滿的，因而應(yīng)有電流產(chǎn)生，以j (k)表示。為計(jì)算j (k)，我們假想在空的k態(tài)中放入一個(gè)電子，這個(gè)電子的電流等于-ev (k)。但是k態(tài)加入這個(gè)電子后，能帶又成為滿帶，所以，總的電流應(yīng)為零，從而有：(5-6-2)即(5-6-3)上式表

9、明，當(dāng)k態(tài)缺少一個(gè)電子時(shí)，近滿帶的總電流就如同一個(gè)具有正電荷e的粒子，以空狀態(tài)k的電子速度v (k)所產(chǎn)生的。在電場E的作用下，近滿帶中所有電子的狀態(tài)都以式（5-5-14）的規(guī)律變化，空狀態(tài)也按同樣規(guī)律變化。因而空狀態(tài)的加速度為(5-6-4)考慮球形等能面的簡單情況，上式變?yōu)椋?5-6-5)由于滿帶頂?shù)碾娮颖容^容易受熱而激發(fā)到導(dǎo)帶，因此空狀態(tài)多位于能帶頂附近。在能帶頂附近為負(fù)值，為此我們定義空穴有效質(zhì)量為：(5-6-6)則有(5-6-7)由上面的討論我們得到下列結(jié)論：當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時(shí)，整個(gè)能帶中的電子運(yùn)動(dòng)，以及電流在外場作用下的變化，完全如同存在一個(gè)帶正電荷e，具有正有效質(zhì)量、速度v(k)的粒子情況一樣，這樣一個(gè)假想的粒子稱為空穴?？昭ǜ拍畹囊?，使得滿帶頂附近缺少一些電子的問題和導(dǎo)帶底有少數(shù)電子的問題十分相似。然而應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，我們雖然賦于空穴有效質(zhì)量、電荷等屬性，