學(xué)案 5 函數(shù)的單調(diào)性與最值題簽

1、學(xué)案 5函數(shù)的單調(diào)性與最值題簽自主梳理1單調(diào)性(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域?yàn)镮 ，如果對(duì)于定義域I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間D 上的任意兩個(gè)自變量 x1，x2，當(dāng) x1x2 時(shí)，都有 f(x1)f( x2)，那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是 _(2) 單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)f x1 f x2x1， x2 a， b，那么 (x1 x2 )(f(x1) f(x2)0 ?0x1 x2? f(x)在 a， b上是 _； ( x1 x2)(f(x1) f(x2)0 ?f x1 f x20) 在 (， a)，(a， )上是單調(diào) _；在 (a，0)，(0，a)上是單調(diào) _；函數(shù) y x ax(a0

2、)在_ 上單調(diào)遞增2最值一般地，設(shè)函數(shù) y f(x)的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù) M 滿足：對(duì)于任意的 x I，都有 f(x) M( f(x) M)；存在 x0 I，使得 f(x0) M.那么，稱 M 是函數(shù) y f(x)的 _自我檢測(cè)b1(2011 杭州模擬 )若函數(shù) y ax 與 y x在(0 ， )上都是減函數(shù)，則 )上是A 增函數(shù)B減函數(shù)C先增后減D先減后增2設(shè) f(x)是 (， )上的增函數(shù)，a 為實(shí)數(shù)，則有A f(a)f(2a)B f(a2)f( a)C f(a2 a) f(a)y ax2bx 在 (0，()()3下列函數(shù)在 (0,1)上是增函數(shù)的是()A y 1 2xB y x

3、 1C y x2 2xD y 54 (2011 合肥月考 )設(shè) (a， b)， (c， d)都是函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間，且x1 (a， b)， x2 (c， d)，x x ，則 f(x )與 f(x )的大小關(guān)系是()1212A f(x1)f( x2)C f(x ) f(x )D不能確定125當(dāng) x 0,5 時(shí)，函數(shù) f(x) 3x2 4x c 的值域?yàn)?)A c,55 cB 4 c，cC 4 c,55 c3D c,20c3自主梳理答案：1 (1) 增函數(shù) (減函數(shù) )(2)增函數(shù)減函數(shù)(3) 單調(diào)區(qū)間(4) 遞增遞減(， 0)， (0， ) 2.最大 ( 小 )值探究點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判定

4、及證明例x a1設(shè)函數(shù) f(x) x b(ab0)，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明 f(x) 在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性變式遷移 1已知 f(x) 是定義在 R 上的增函數(shù)，對(duì)x R 有 f(x)0，且 f(5) 1，設(shè) F(x) f(x) 1 ，討論 F(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論 f x探究點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性與最值例2(2011 煙臺(tái)模擬 )已知函數(shù) f(x)x2 2x a，xx1， )1(1)當(dāng) a 2時(shí)，求函數(shù) f(x)的最小值；(2)若對(duì)任意 x 1， )， f(x)0 恒成立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍變式遷移 2已知函數(shù) f(x) x a a在(1 ， )上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取值范

5、圍x 21 函數(shù)的單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的確定常用方法有：(1)定義法； (2)導(dǎo)數(shù)法； (3)圖象法； (4) 單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)2若函數(shù)f( x)， g( x)在區(qū)間 D 上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D 上具有以下性質(zhì)：(1) f(x)與 f( x) C 具有相同的單調(diào)性(2)f(x)與 af(x)，當(dāng) a0 時(shí)，具有相同的單調(diào)性，當(dāng)a0 時(shí)，具有相反的單調(diào)性(3)1 具有相反的單調(diào)性當(dāng) f(x)恒不等于零時(shí)， f(x)與 f x(4)當(dāng) f(x)， g(x)都是增 (減)函數(shù)時(shí)，則 f(x) g(x)是增 (減 )函數(shù)(5)當(dāng) f(x)， g(x)都是增 (減 )函數(shù)時(shí)，則 f(x) g(x)當(dāng)

6、兩者都恒大于零時(shí)，是增(減) 函數(shù)；當(dāng)兩者都恒小于零時(shí)，是減(增 )函數(shù)一、選擇題1 (2011 泉州模擬 )“ a 1”是“函數(shù)f(x) x2 2ax3 在區(qū)間 1， )上為增函數(shù)的 ()A 充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2 (2009 天津 )已知函數(shù) f(x)x2 4x， x 0，4x x2， xf(a)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是，A (， 1)(2 ， )B ( 1,2)C (2,1)D (， 2) (1， )f(x) min2 x， x3 (2009 寧夏，海南 )用 min a， b， c 表示 a， b， c 三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè) 2,10 x( x

7、 0)，則 f(x)的最大值為()A 4B 5C 6D 74函數(shù) y (x 3)|x|的遞增區(qū)間是 _5設(shè) f(x)是增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是_( 填序號(hào) ) y f(x) 2 是增函數(shù)； y 1是減函數(shù)；f x y f(x)是減函數(shù)； y |f(x)|是增函數(shù)6設(shè) 0x1，則函數(shù)y 11的最小值是 _x1 x三、解答題 (共 38 分)17 (12 分)(2011 湖州模擬 )已知函數(shù)f(x) a |x|.(1)求證：函數(shù)y f(x)在 (0， )上是增函數(shù)；(2)若 f(x)2x 在 (1， )上恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍8 (12 分) 已知 f(x) x2 ax3 a，若 x

8、2,2 時(shí)， f(x) 0 恒成立，求a 的取值范圍答案自主梳理1 (1) 增函數(shù) (減函數(shù) )(2)增函數(shù)減函數(shù)(3) 單調(diào)區(qū)間(4) 遞增遞減 (， 0)， (0， ) 2.最大 ( 小 )值自我檢測(cè)b1 B 由已知得 a0， b0.所以二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x 2aa， f( x)在 R 上單調(diào)遞增， f(a2 1) f(a) 3 C 常數(shù)函數(shù)不具有單調(diào)性 f(x )與 f(x )的大小 4 D 在本題中， x ， x不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故無法比較12125 C f( x) 3(x2)24c， x 0,5 ，當(dāng) x2時(shí)， f(x)min4c；當(dāng) x 5時(shí)， f( x)max3333 55

9、c.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義(基本步驟為：取點(diǎn)，作差或作商，變形，判斷)來求解可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)求解有些函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)基本初等函數(shù)，利用其單調(diào)性可以方便求解解在定義域內(nèi)任取x1， x2，且使 x1 0 ，x2 ax1 ay f( x2) f(x1) x2 bx1 b x2 a x1 b x2 b x1 ax1 b x2 bb a x2 x1 x1 b x2 b . ab0， ba0 ， (b a)(x2 x1)0 ，又 x( ， b) ( b， )，只有當(dāng) x1x2 b，或 bx1x2 時(shí)，函數(shù)才單調(diào)當(dāng) x1

10、x2 b，或 bx1x2 時(shí)， f(x2) f(x1)0 ，即 y0. y f(x)在( ， b)上是單調(diào)減函數(shù)，在 ( b， )上也是單調(diào)減函數(shù)變式遷移 1 解在 R 上任取 x1、x2，設(shè) x1f(x1)，F(xiàn)(x2) F(x1) f(x2)1 f(x1)211f x f x1 f(x2) f(x1)1 f x1 f x2 ， f(x)是 R 上的增函數(shù)，且 f(5) 1，當(dāng) x5 時(shí)， 0f(x)5 時(shí) f(x)1 ；若 x1x25，則 0 f(x1)f(x2)1 ，1 0f(x1 )f(x2 )1， 1 f x1 f x2 0， F(x2)x15，則 f(x2)f(x1)1，1 f(x1

11、) f(x2)1， 1 f x1 f x2 0 ， F(x2)F(x1)綜上， F(x)在( ， 5)為減函數(shù)，在(5， )為增函數(shù)例2解1時(shí)， f(x) x 1 2，(1)當(dāng) a22x設(shè) x1， x2 1， )且 x1x2，f(x1) f(x2) x1 1 x2 12x12x21 (x1 x2)(1 ) x1x2， x1 x20 ，又 1x10，2x1x2 f(x1) f(x2)0 ， f(x1)0 恒成立，等價(jià)于x2 2x a0 恒成立x設(shè) y x2 2x a， x 1， )，y x2 2x a (x 1)2 a 1 遞增，當(dāng) x1 時(shí)， ymin3 a，于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin 3 a0 時(shí)

12、，函數(shù) f(x)恒成立，故 a3.方法二f(x) xax 2， x 1， )，當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正，滿足題意，當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù) f(x)0 恒成立，故 a3.方法三在區(qū)間 1， )上 f(x) x2 2x ax2 2x a0 恒成立0 恒成立等價(jià)于x即 ax2 2x 恒成立又 x1 ， )， ax2 2x 恒成立， a 應(yīng)大于函數(shù) u x2 2x， x 1， )的最大值 ax22x (x 1)2 1.當(dāng) x 1 時(shí)， u 取得最大值 3， a 3.變式遷移2解設(shè) 1x1x2.函數(shù) f(x)在 (1， )上是增函數(shù)， f(x1) f(x2) x1 a a (x2 a a)x1 2

13、x2 2a (x1 x2)(1 )0.x1x2a又 x1 x20，即 a x1x2 恒成立x1x2 1x11 ， x1x2x2，解題導(dǎo)引(1) 對(duì)于抽象函數(shù)的問題要根據(jù)題設(shè)證明 f(x) 為單調(diào)減函數(shù)， 首選方法是用單調(diào)性則 f(x1 ) f(x2) f(x1 x2 x2) f(x2 ) f(x1 x2) f(x2 ) f(x2) f(x1 x2)又 x0 時(shí)， f(x)0， f(x1 x2)0 ，即 f(x1 )0，代入得 f(1) f(x1 ) f(x1) 0，故 f(1) 0.x1(2)任取 x1， x2 (0， ) ，且 x1x2 ，則 x21，由于當(dāng) x1 時(shí)， f(x)0 ， f(

14、x1)0 ，即 f(x1) f(x2)0 ， f(x1)0 時(shí)，由 f(|x|) 2，得 f(x)9；當(dāng) x0 時(shí)，由 f(|x|) 2，得 f( x)9，故 x9 或x a，當(dāng)xa，解得2a0 時(shí)，它有兩個(gè)減區(qū)間為 ( ，1)和 ( 1， )，故只需區(qū)間 1,2 是 f(x)和 g(x)的減區(qū)間的子集即可，則a 的取值范圍是 00，x2 x30， x3 x10 ， x1 x2， x2 x3， x3x1 . 又 f(x1) f( x2) f( x2)，f(x2)f(x3) f(x3) ，f(x3)f(x1) f(x1) ， f(x1) f(x2) f(x3) f(x2) f(x3) f( x1

15、) f(x1) f(x2) f(x3)0.36 0， 2 x 3 x x0解析y.x 3 xx0畫 象如 所示：3可知 增區(qū) 0，2 7解析 例： f(x) x，易知均不正確8 4解析1111)211y ，當(dāng) 0x1 ， x(1 x) ( x .x1x x 1 x244 y 4.9 (1) 明當(dāng) x (0， ) ，1f(x) a x，設(shè) 0x10，x2 x10.f(x1) f(x2) (a 1 ) (a 1 )x1x2 1 1 x1 x20.(5 分 )xxx x2211 f(x1)f(x2)，即 f(x)在 (0， ) 上是增函數(shù)(6 分 )1(2)解由 意 a x2 x 在 (1， )上恒

16、成立，設(shè) h(x) 2x1， a0，xx h(x)在 (1， ) 上 增(10 分 )故 ah(1) ，即 a 3. a 的取 范 ( ， 3(12 分 )10 解 設(shè) f(x)的最小 g(a)， 只需 g(a) 0，a由 意知， f(x)的 稱 2.a(1)當(dāng) 24 ，7g(a) f( 2)7 3a 0，得 a 3.又 a4，故此 的 a 不存在(4 分)(2)當(dāng)a 2,2，即 4 a 4 ，2a2ag(a) f( 2) 3 a4 0 得 6 a 2.又 4 a 4，故 4 a 2.(8 分)a(3)當(dāng)22，即 a 4 ，g(a) f(2) 7 a 0 得 a 7.又 a4，故 7 a 4. 上得所求 a 的取 范 是 7 a2.(12 分 )11 解(1) 任取 x1，x2 1,1 ，且 x10，xx 0，x x f(x1) f(x2)0 ，即 f(x1)f(x2) f(x)在 1,1上 增(4 分 )(2) f(x)在 1,1 上 增，11x ，2 x 1 1 x 1 1