第二章-隨機(jī)變量及其函數(shù)的概率分布

1、第二章 隨機(jī)變量及其函數(shù)的概率分布2.1 隨機(jī)變量與分布函數(shù) 2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布一、 填空題1. 某射手每次命中目標(biāo)的概率為0.8，若獨(dú)立射擊了三次，則三次中命中目標(biāo)次數(shù)為的概率 ；2. 設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布，且，則 0.0902 ；3. 設(shè)服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則的分布函數(shù)為 ；4. 已知隨機(jī)變量的概率分布：P(=1)=0.2, P(=2)=0.3, P(=3)=0.5, 則其分布函數(shù)=；5. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為, 則的概率分布為。二、選擇題設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為為（B） (A) 0的任意實(shí)數(shù); (B) (C) =+1; (D) .三、 計(jì)算下列各題1. 袋中有10

2、個(gè)球，分別編號(hào)為110，從中任取5個(gè)球，令表示取出5個(gè)球的最大號(hào)碼，試求的分布列。 解 的可能取值為5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列為 5 6 7 8 9 10 2. 一批元件的正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)這批元件進(jìn)行有放回的測試，設(shè)第次首次測到正品，試求的分布列。解 的取值為1，2，3， 且 . 此即為的分布列。3. 袋中有6個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，2，3，3，從中任取一個(gè)球，令為取出的球的號(hào)碼，試求的分布列及分布函數(shù)。 解 的分布列為 1 2 3 由分布函數(shù)的計(jì)算公式得的分布函數(shù)為 4. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為。 求 解 5. （1）設(shè)隨機(jī)變量的分布律為為常數(shù)，試確定。（2）設(shè)隨

3、機(jī)變量只取正整數(shù)值，且與成反比，求的分布律。 解 （1）因?yàn)?及，所以（2）令類似上題可得 。所以的分布律為 6. 汽車沿街道行駛，需要通過3個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈時(shí)間相等，以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口，求的概率分布解 =0, 1, 2, 3, =“汽車在第個(gè)路口遇到紅燈.”，=1，2，3.=, =，= 01231/21/41/81/8為所求概率分布7. 同時(shí)擲兩枚骰子, 直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止, 試求拋擲次數(shù)的概率分布律.四、證明題試證明： 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)一、 填空題1. 已知連續(xù)型隨機(jī)變

4、量的分布函數(shù)為，則 1 ， ， ， ；2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù), 則 0.5 ,=； ；3. 設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則的概率密度為 ；4. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，若使得, 則的取值范圍是；5. 若隨機(jī)變量在(1,6)上均勻分布,則方程有實(shí)根的概率為 0.8 ；6. 若隨機(jī)變量,且P(24)=0.3, 則P(0)= 0.2 ；7. 設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布, 已知 P(X=1) = P(X=2), 則概率P(X=4)=； 8. 設(shè)隨機(jī)變量 (2, p), (3, p), 若, 則= 19/27 。二、 選擇題1. 設(shè)函數(shù) ,問區(qū)間才可能是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)? （A） 2. 如下

5、四個(gè)函數(shù)哪個(gè)不能成為隨機(jī)變量X的分布函數(shù) （B） 3. 設(shè)隨機(jī)變量則隨的增大,概率 （C）(A) 單調(diào)增大; (B) 單調(diào)減少; (C) 保持不變; (D) 增減不變.4. 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為的分布函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)有（B） 5. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布且，則必有（A）（A） （B） （C） （D）三、計(jì)算下列各題1. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為；求的分布函數(shù)。解 ， 2. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為；求的密度函數(shù)。解 3. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為；（1） 求常數(shù)，使； （2）求常數(shù)，使。解 （1）因?yàn)?，所以故。（2） 因?yàn)?4. 在半徑為，球心為的球內(nèi)任取一點(diǎn)，X為點(diǎn)

6、O與P的距離，求X的分布函數(shù)及概率密度。 解 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則點(diǎn)落到以為球心，為半徑的球面上時(shí)，它到點(diǎn)的距離均為，因此，所以，的分布函數(shù)為的密度函數(shù)為 5. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,+,試求 (1) 系數(shù)與, (2) P (11), (3) 的概率密度函數(shù).解 6. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為, 以Y表示對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀察中出現(xiàn)的次數(shù),求概率P(=2).解 p = P ()=, 由已知 (3, )所以 7. 從某區(qū)到火車站有兩條路線，一條路程短，但阻塞多，所需時(shí)間（分鐘）服從；另一條路程長，但阻塞少，所需時(shí)間（分鐘）服從，問（1） 要在70分鐘內(nèi)趕到火車站應(yīng)走哪條路保險(xiǎn)？（2） 要在65分鐘內(nèi)趕到火車

7、站又應(yīng)走哪條路保險(xiǎn)？解 （1）因?yàn)?所以走第二條。 （2）類似的走第一條。2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、 填空題1. 設(shè) 則服從的分布為 ；2. 設(shè) 則服從的分布為 ；3. 設(shè)，則的概率密度函數(shù)是 ；4. 設(shè)隨機(jī)變量服從(0,2)上的均勻分布,則隨機(jī)變量在(0,4)內(nèi)的概率密度為 。二、 選擇題1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（A）2. 已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 （C）3. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是（B）（A） （B）（C） （D）三、計(jì)算下列各題1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律如下，求的分布律。 -2 -1 0 1 2 解 1 2 5 2. 設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，求的密度函數(shù)。解 的密度函數(shù)為 （1） 設(shè)，則有 。 所以 ，因此當(dāng)及時(shí)，由知；當(dāng)時(shí)，由知，所以所求密度函數(shù)為（2） 類似的可得：3. 設(shè)，求的密度函數(shù)。解 （1）的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 （2）的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 4. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為；求的概率密度。解 所以 5. 若球的直徑D的測量值在上均勻分布，求球的體積V的概率密度。6. 將長度為2的直線隨機(jī)分成兩部分，求以這兩部分為長和寬的矩形面積