一次函數(shù)動點問題

1、一次函數(shù)動點問題1模型介紹：古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸側(cè)的兩個軍營A、B，他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后再去B營，如圖 ，他時常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙的解決了這問題如圖，作B關(guān)于直線l的對稱點B，連接AB與直線l交于點C，點C就是所求的位置請你在下列的閱讀、應(yīng)用的過程中，完成解答（1）理由：如圖，在直線L上另取任一點C，連接AC，BC，BC，直線l是點B，B的對稱軸，點C，C在l上CB= ，CB= AC+CB=AC+CB= 在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小

2、歸納小結(jié)：本問題實際是利用軸對稱變換的思想，把A、B在直線的同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C為AB與l的交點，即A、C、B三點共線）本問題可拓展為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型（2）模型應(yīng)用如圖 ，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上一動點求EF+FB的最小值分析：解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱，連結(jié)ED交AC于F，則EF+FB的最小值就是線段 的長度，EF+FB的最小值是 如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，

3、y軸分別交于A，B兩點，點O為坐標(biāo)原點，點C與點D分別為線段OA，AB的中點，點P為OB上一動點，求：PC+PD的最小值，并寫出取得最小值時P點坐標(biāo)2已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點A（3，5）和點B（4，9）兩點，求此一次函數(shù)的解析式；若點（a，2）在該函數(shù)的圖象上，試求a的值若此一次函數(shù)的圖象與x軸交點C，點P（m，n）是圖象上一個動點（不與點C重合），設(shè)POC的面積是S，試求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式3已知函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（4，3）且與一次函數(shù)y=x+1的圖象平行，點B（2，m）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上（1）求此一次函數(shù)的表達式和m的值？（2）若在x軸上有一動點P（x，0），到定點A

4、（4，3）、B（2，m）的距離分別為PA和PB，當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為多少時，PA+PB的值最小4已知：一次函數(shù)圖象如圖：（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）若點P為該一次函數(shù)圖象上一動點，且點A為該函數(shù)圖象與x軸的交點，若SOAP=2，求點P的坐標(biāo)5閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線平行的定義下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線給出它們平行的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的圖象為直線l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k20）的圖象為直線l2，若k1=k2，且b1b2，我們就稱直線l1與直線l2互相平行解答下面的問題：（1）已知正比例函數(shù)y=x的圖象為直線l1，求過點P（1，3

5、）且與已知直線l1平行的直線l2的函數(shù)表達式；（2）設(shè)直線l2分別與y軸、x軸交于點A、B，求l1和l2兩平行線之間的距離；（3）若Q為OA上一動點，求QP+QB的最小值時Q點的坐標(biāo)為 （4）在x軸上找一點M，使BMP為等腰三角形，求M的坐標(biāo)（直接寫出答案）6閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線互相垂直的定義，下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們相互垂直的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的直線為l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k20）的圖象為直線l2若k1k2=1，我們就稱直線l1與直線l2相互垂直，現(xiàn)請解答下面的問題：已知直線l與直線y=x1互相垂直，且直線

6、l的圖象過點P（1，4），且直線l分別與y軸、x軸交于A、B兩點（1）求直線l的函數(shù)表達式；（2）若點C是線段AB上一動點，求線段OC長度的最小值；（3）若點Q是AO上的一動點，求BPQ周長的最小值，并求出此時點Q的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，若點P關(guān)于BQ的對稱點為P，請求出四邊形ABOP的面積一次函數(shù)動點問題參考答案與試題解析一解答題（共6小題）1模型介紹：古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸側(cè)的兩個軍營A、B，他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后再去B營，如圖 ，他時常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙的解

7、決了這問題如圖，作B關(guān)于直線l的對稱點B，連接AB與直線l交于點C，點C就是所求的位置請你在下列的閱讀、應(yīng)用的過程中，完成解答（1）理由：如圖，在直線L上另取任一點C，連接AC，BC，BC，直線l是點B，B的對稱軸，點C，C在l上CB=CB，CB=CBAC+CB=AC+CB=AB在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小歸納小結(jié)：本問題實際是利用軸對稱變換的思想，把A、B在直線的同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C為AB與l的交點，即A、C、B三點共線）本問題可拓展為“求定直線上一動點與直線

8、外兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型（2）模型應(yīng)用如圖 ，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上一動點求EF+FB的最小值分析：解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱，連結(jié)ED交AC于F，則EF+FB的最小值就是線段DE的長度，EF+FB的最小值是如圖，已知O的直徑CD為4，AOD的度數(shù)為60，點B是的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值是2；如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點，點O為坐標(biāo)原點，點C與點D分別為線段OA，AB的中點，點P為OB上一動點，求：PC+PD的最小值，并

9、寫出取得最小值時P點坐標(biāo)【解答】解：（1）理由：如圖，在直線L上另取任一點C，連接AC，BC，BC，直線l是點B，B的對稱軸，點C，C在l上CB=CB，CB=CBAC+CB=AC+CB=AB在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小故答案為：CB，CB，AB；（2）模型應(yīng)用解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱，連結(jié)ED交AC于F則EF+FB的最小值就是線段DE的長度，EF+FB的最小值是 在正方形ABCD中，AB=AD=2，BAD=90點E是AB中點，AE=1，根據(jù)勾股定理得，DE=，即：EF+FB的最小值，故答案為：DE，；如圖

10、，由圓的對稱性可知，A與A關(guān)于直徑CD對稱，連結(jié)AB交CD于F，則AE+EB的最小值就是線ABE的長度，AOD=AOD=60點B是的中點，AOB=BOD=AOD=30，AOB=90O的直徑為4，OA=OA=OB=2，在RtAOB中，AB=2，BP+AP的最小值是2故答案為2，如圖，由平面坐標(biāo)系中的對稱性可知，C與C關(guān)于直徑y(tǒng)軸對稱，連結(jié)CD交y軸于P，則PC+PD的最小值就是線CD的長度，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點，A（2，0），B（0，4），C（1，0），D（1，2），C與C關(guān)于直徑y(tǒng)軸對稱，C（1，0），CD=2，PC+PD的最小值為2，C（1，0），D（1，2

11、），直線CD的解析式為y=x+1，P（0，1）2已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點A（3，5）和點B（4，9）兩點，求此一次函數(shù)的解析式；若點（a，2）在該函數(shù)的圖象上，試求a的值若此一次函數(shù)的圖象與x軸交點C，點P（m，n）是圖象上一個動點（不與點C重合），設(shè)POC的面積是S，試求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式【解答】解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，依題意，得，解得，一次函數(shù)解析式為y=2x1；將點（a，2）代入y=2x1中，得2a1=2，解得a=；由y=2x1，令y=0得x=，C（，0），又點P（m，n）在直線y=2x1上，n=2m1，S=|n|=|（2m1）|=|m|3已知函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（

12、4，3）且與一次函數(shù)y=x+1的圖象平行，點B（2，m）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上（1）求此一次函數(shù)的表達式和m的值？（2）若在x軸上有一動點P（x，0），到定點A（4，3）、B（2，m）的距離分別為PA和PB，當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為多少時，PA+PB的值最小【解答】解：（1）函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（4，3）且與一次函數(shù)y=x+1的圖象平行，解得：，一次函數(shù)的表達式為y=x1當(dāng)x=2時，m=x1=21=1，m的值為1（2）作點B關(guān)于x軸的對稱點B，連接AB交x軸于點P，此時PA+PB取最小值，如圖所示點B的坐標(biāo)為（2，1），點B的坐標(biāo)為（2，1）設(shè)直線AB的表達式為y=ax+c，將（2，

13、1）、（4，3）代入y=ax+c，解得：，直線AB的表達式為y=2x5當(dāng)y=0時，2x5=0，解得：x=，當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為時，PA+PB的值最小4已知：一次函數(shù)圖象如圖：（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）若點P為該一次函數(shù)圖象上一動點，且點A為該函數(shù)圖象與x軸的交點，若SOAP=2，求點P的坐標(biāo)【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，把（2，3）、（2，1）分別代入得，解得，所以一次函數(shù)解析式為y=x+1；（2）當(dāng)y=0時，x+1=0，解得x=1，則A（1，0），設(shè)P（t，t+1），因為SOAP=2，所以1|t+1|=2，解得t=3或t=5，所以P點坐標(biāo)為（3，4）或（5，4）5閱讀下

14、面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線平行的定義下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線給出它們平行的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的圖象為直線l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k20）的圖象為直線l2，若k1=k2，且b1b2，我們就稱直線l1與直線l2互相平行解答下面的問題：（1）已知正比例函數(shù)y=x的圖象為直線l1，求過點P（1，3）且與已知直線l1平行的直線l2的函數(shù)表達式；（2）設(shè)直線l2分別與y軸、x軸交于點A、B，求l1和l2兩平行線之間的距離；（3）若Q為OA上一動點，求QP+QB的最小值時Q點的坐標(biāo)為Q（0，）（4）在x軸上找一點M，使BMP為等腰三角形，求M的坐

15、標(biāo)（直接寫出答案）【解答】解：（1）根據(jù)正比例函數(shù)y=x的圖象為直線l1，設(shè)直線l2的函數(shù)表達式為y=x+b，把P（1，3）代入得：3=1+b，即b=4，則過點P（1，3）且與已知直線l1平行的直線l2的函數(shù)表達式為y=x+4；（2）過O作ONAB，如圖1所示，ON為l1和l2兩平行線之間的距離，對于直線y=x+4，令x=0，得到y(tǒng)=4；令y=0，得到x=4，A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，ABC為等腰直角三角形，AB=4，且ON為斜邊上的中線，ON=AB=2，則l1和l2兩平行線之間的距離為2；（3）找出B關(guān)于y軸的對稱點B（4，0），連接PB，與y軸交于點Q，連接PQ，此時Q

16、P+QB最小，設(shè)直線BP的解析式為y=mx+n，把B和P坐標(biāo)代入得：，解得：m=，n=，直線BP的解析式為y=x+，令x=0，得到y(tǒng)=，即Q（0，）；故答案為：Q（0，）；（4）如圖2所示，分三種情況考慮：當(dāng)PM1=PB時，由對稱性得到M1（2，0）；當(dāng)PM2=BM2時，M2為線段PB垂直平分線與x軸的交點，直線PB的解析式為y=x+4，且線段PB中點坐標(biāo)為（2.5，1.5），線段PB垂直平分線解析式為y1.5=x2.5，即y=x1，令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；當(dāng)PB=M3B=3時，OM3=OB+BM3=4+3，此時M3（43，0），M3（4+3，0）綜上，M的坐標(biāo)為（2，0）或（

17、1，0）或（43，0）或（4+3，0）6閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線互相垂直的定義，下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們相互垂直的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的直線為l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k20）的圖象為直線l2若k1k2=1，我們就稱直線l1與直線l2相互垂直，現(xiàn)請解答下面的問題：已知直線l與直線y=x1互相垂直，且直線l的圖象過點P（1，4），且直線l分別與y軸、x軸交于A、B兩點（1）求直線l的函數(shù)表達式；（2）若點C是線段AB上一動點，求線段OC長度的最小值；（3）若點Q是AO上的一動點，求BPQ周長的最小值，并求出此時點Q的坐標(biāo)

18、；（4）在（3）的條件下，若點P關(guān)于BQ的對稱點為P，請求出四邊形ABOP的面積【解答】解：（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，直線l與直線y=x1互相垂直，k=1，解得k=2，直線l的圖象過點P（1，4），k+b=4，即2+b=4，解得b=6，直線l的解析式為y=2x+6；（2）如圖1，過O作OCAB于點C，此時線段OC的長度最小，在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=3，A（0，6），B（3，0），OA=6，OB=3AB=3，ABOC=OAOB，3OC=36，OC=，即線段OC長度的最小值為；（3）如圖2，作點P關(guān)于y軸的對稱點P，連接BP交y軸于點Q，過P作PGx軸于點G，則PQ=PQ，P