清華大學(xué)2016年暑期學(xué)校測試真題

1、清華大學(xué)2016年暑期學(xué)校測試真題1. 已知且，則的取值范圍是 .【答案】 【解析】根據(jù)題意，有，于是的取值范圍是.2. 在銳角中，則的面積是 .【答案】【解析】解法一：由正弦定理可得，其中R為外接圓半徑，于是，從而根據(jù)余弦定理，解得（此時B為鈍角，舍去）或.因此的面積.解法二：根據(jù)正弦定理，于是，其余同解法一.3. 已知橢圓的左、右焦點分別為，過點作直線與橢圓交于A，C兩點，直線的斜率為1，過點作直線與橢圓交于B，D兩點，且，則四邊形的面積是 .【答案】【解析】由焦點弦長公式，可得四邊形的面積其中.4. 在正方體的底面內(nèi)有一點，且，則的最大值是 .【答案】【解析】作平面，如下頁圖，根據(jù)題意，

2、點在線段上運動.于是,當(dāng)位于的中點時取得等號，因此所求的最大值為.5. 已知集合,則 .【答案】-9【解析】根據(jù)題意，于是，從而由韋達定理得，于是.6. 圓心為點的單位圓沿軸正向滾動，初始時刻點的坐標(biāo)為，當(dāng)圓心運動到時，點的坐標(biāo)為 .【答案】【解析】先考慮旋轉(zhuǎn)，則整個圓順時針旋轉(zhuǎn)了，于是點旋轉(zhuǎn)到點；再考慮平移，可得7. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，則 .【答案】-2121【解析】根據(jù)題意，關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根和，考慮到形如，因此由可得，.備注：一般地，若等差數(shù)列的前項和滿足且，則.8. 數(shù)列滿足，已知的通項可以表示成的形式，則數(shù)列通項的一個表達試為 .【答案】【解析】根據(jù)題意，有于是考慮周期

3、為3，對應(yīng)，由得解得，取，于是可取.9. 定義，且.集合，集合.(1) 求，.(2) 設(shè)為集合的元素個數(shù)，求的最小值.【解析】(1)根據(jù)的定義，有,.(2)設(shè)集合中有個元素既不在中也不在中，個元素只在集合中，個元素只在集合中，個元素同時在集合,中，如圖.則當(dāng),時等號成立，即，且時可取到最小值，也可以直接取，因此所求的最小值為2016.10. 已知，自變量、相位、函數(shù)值的部分取值如下表3(1) 求的解析式；(2) 求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3) 求在內(nèi)的所有零點.【解析】(1)根據(jù)題意，也即.(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(3)函數(shù)的零點形如，或，解得其在內(nèi)的所有零點為.11. 已知圓，為圓與軸的兩個不同的交點，是圓在點處的切線，為圓上不與重合的點，過點的切線交于兩點，與交于點.(1) 求與之間的數(shù)量關(guān)系；(2) 存在一點且，使得的最小值是，求的值.【解析】(1)如圖，設(shè)在軸上的投影為，則由梯形的性質(zhì)可得其對角線的交點為線段的中點.因此與之間的數(shù)量關(guān)系為.(2)根據(jù)題意，由于，因此只有解得.12. 已知直線為曲線在點處的切線.(1) 求直線的方程(2) 求證：當(dāng)時，直線除切點外恒在的上方.【解析】(1)記，則的導(dǎo)函數(shù)，于