一條空間曲線每一正常點都有切線

1、一條空間曲線每一正常點都有切線、主法線、副法線，與之相對應的基本向量為單位切向量、單位主法向量、單位副法向量，下面就空間兩曲線對應點的切向量（）、主法向量（）、副法向量（）以及該點的曲率()、繞率()之間的關系來討論研究。由伏雷內公式，有（一） 假設兩曲線建立了一一對應關系，一曲線為：分別為其切向量、主法向量、副法向量，簡記。另一曲線為 ：分別為其切向量、主法向量、副法向量，簡記。兩曲線的曲率分別為、，簡記；兩曲線的繞率分別為，簡記；一參數(shù)，簡記為，其中分別為的自然參數(shù)。探究空間兩曲線的基本向量之間的關系，即討論一條曲線的切向量、主法向量、副法向量在對應點處與另一條曲線切向量、主法向量、副法向

2、量之間的平行、重合、定夾角的位置關系存在的結論。探究命題 1若曲線與的對應點的切線平行，即有（），則它們對應點的主法線、副法線也平行，且。證明：因為，兩邊關于求導得 ( 1 ) 于是，又，從而，因此它們對應點的主法線、副法線也平行；令 () ( 2 )則有，即。兩邊關于求導得 ，即得 ( 3 )由式（1），（2）得 ( 4 )又得，得證綜上所述，命題得證。探究命題 2若曲線與在對應點的主法線平行，即（），則對應點的切線夾角為定值。分析：從結論出發(fā)，若對應點的切線夾角為定值，則的點積為常數(shù)，從而考慮對求導的值是否為零。證明：因為，而，則于是 ，即，由此說明在對應點的切線夾角為定值。探究命題 3若

3、曲線與在對應點的副法線平行，即（）則在對應點的切線，主法線也平行，且（）。證明：因為，兩邊關于求導，得 ( 5 ) 于是 ，令（） （6）又 ，從而，因此因此它們對應點的切線、主法線也平行；令 （）兩邊關于求導得 （7） 由式（5）、（6）得 （8）由式（6）、（7）得 （9） 又得（），得證綜上所述，命題得證。探究命題 4若曲線與在對應點切線重合,則這兩曲線不存在。證明：假設存在這樣的兩條曲線，則：，兩邊關于求導得兩邊點積得 ，即。若，則，兩曲線重合;若，則表示兩重合直線，所以命題得證。探究命題 5 若曲線與在對應點主法線重合，則這兩曲線為曲線。 證明：由曲線定義可知。探究命題6曲線與在對應

4、點副法線不可能重合。證明：假設曲線與在對應點副法線重合，令：，兩邊關于求導得 （10） 式（10）兩邊點積得 ，即常數(shù)。于是，兩邊關于求導得兩邊點積得 ，由于，所以，矛盾，這說明只有平面曲線才有可能是命題成立，從而命題得證。探究命題 7若曲線的切線與的對應點的主法線平行,則。證明：由條件可設（），兩邊關于求導得兩邊平方得 ，命題得證。探究命題 8若曲線的主法線與的對應點的副法線平行，則。證明：由條件令 （）兩邊關于求導得兩邊平方得 ，命題得證。探究命題 9若曲線的副法線與的對應點的切線平行，則。證明：由條件令（），兩邊關于求導得兩邊平方得 （11）類似得到 （12）式得 ，即 ，命題得證。探究

5、命題 10若曲線的主法線與的對應點副法線重合，則（常數(shù)）。證明：由條件可設：，兩邊關于求導得兩邊點積得 ，即常數(shù)。于是，兩邊關于求導得兩邊點積得 ，即，命題得證。探究命題 11若曲線的切線與的對應點的主法線重合,則(1) 兩曲線的切線夾角的余弦值為或;(2) 。證明：由條件可設 ：,兩邊關于求導得 （13） 兩邊點積得 ,即，從而（1）的前半部得證。式（13）關于求導得兩邊點積得 ，由此（1）的后半部得證。式（13）兩邊平方得 ，由此（2）得證。探究命題 12若曲線切線與的對應點切線夾角為定值，則。證明：由條件可設 ，其中為定角。兩邊關于求導得即 ，命題得證。探究命題 13若曲線的主法線與對應點的主法線成定角，則。證明：由條件可設 ，其中為定角，兩邊關于求導得即 ，命題得證。探究命題 14若曲線的副法線與對應點的副法線成定角，則。證明：由條件可設 ，其中為定角，兩邊關于求導得即 ，命題得證。探究命題 15 若曲線的切線與對應點的主法線成定角，則。證明：由條件可設 ，其中為定角，兩邊關于求導得即 ，命題得證。探究命題 16若曲線的主法線與對應點的副法線成定角，則。證