高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2

1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè)A組基礎(chǔ)鞏固1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步檢驗第一個值n0 等于()A1 B2C3 D0解析：邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形答案：C2用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)時，從“nk到nk1”左邊需增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：當(dāng)nk時，左邊(k1)(k2)(kk)，當(dāng)nk1時，左邊(k2)(k3)(kk)(k1k)(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，故需增乘的代數(shù)式為2(2k1)答案：B3凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n1邊形對角線的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n

2、1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：增加一個頂點，就增加n13條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故應(yīng)選C.答案：C4用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時，當(dāng)nk1時，對于34(k1)152(k1)1可變形為()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：34(k1)152(k1)18134k12552k15634k125(34k152k1)答案：A5已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當(dāng)n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當(dāng)n2時，f(2

3、)1Cf(n)中共有n2n2項，當(dāng)n2時，f(2)1Df(n)中共有n2n1項，當(dāng)n2時，f(2)1解析：由條件可知，f(n)共有項數(shù)為n2(n1)1n2n2項，且n2時，f(2).故選C.答案：C6凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)_.解析：將k1邊形A1A2AkAk1的頂點A1與Ak相連，則原多邊形被分割為k邊形A1A2Ak與三角形A1AkAk1，其內(nèi)角和f(k1)是k邊形的內(nèi)角和f(k)與A1AkAk1的內(nèi)角和的和，即f(k1)f(k).答案：7在數(shù)列an中，a12，an1(nN*)，依次計算出a2，a3，a4后，歸納猜想得出an的表達(dá)式為_解析：a12，

4、an1，a2，a3，a4，于是猜想an.答案：an(nN*)8已知數(shù)列an中，a11，an1(nN*)(1)計算a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解析：(1)a11，a2，a3，a4.(2)由(1)的計算猜想：an.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)n1時，a11，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即ak，那么，ak1，即當(dāng)nk1時等式也成立由可知，對任意nN*都有an.9用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1(n2，nN*)證明：(1)當(dāng)n2時，左邊，右邊1.因為，所以不等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時，不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時，11111.所以當(dāng)nk1時，不等式也成

5、立綜上所述，對任意n2的正整數(shù)，不等式都成立B組能力提升1已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30 B26C9 D6解析：因為f(1)3649，f(2)108129，f(3)360409，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推測最大的m值為9.答案：C2設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，

6、則當(dāng)k8時，均有f(k)n21，當(dāng)n2時，2226n24，當(dāng)n3時，23210n29，當(dāng)n4時，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，左邊2124，右邊1，所以左邊右邊，所以原不等式成立當(dāng)n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3，且kN*)時，不等式成立，即2k2k2，那么當(dāng)nk1時，2k1222k22(2k2)22k22.又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立原不等式成立根據(jù)(1)和(

7、2)知，原不等式對于任何nN*都成立6已知等差數(shù)列an的公差d大于0，且a2，a5是方程x212x270的兩根，數(shù)列bn的前n項和為Tn，且Tn1bn.(1)求數(shù)列an、bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，試比較與Sn1的大小，并說明理由解析：(1)由已知得因為an的公差大于0，所以a5a2，所以a23，a59.所以d2，a11，即an2n1.因為Tn1bn，所以b1.當(dāng)n2時，Tn11bn1，所以bnTnTn11bn(1bn1)，化簡得bnbn1.所以bn是首項為，公比為的等比數(shù)列，即bn()n1.所以an2n1，bn.(2)因為Snnn2，所以Sn1(n1)2，.下面比較與Sn1的大?。寒?dāng)n1時，S24，所以S2，當(dāng)n2時，S39，所以S3，當(dāng)n3時，S416，所以S5，猜想：n4時，Sn1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n4時，已證假設(shè)當(dāng)nk