北師大版初二數(shù)學(xué)下冊1.1等腰三角形(第四課時(shí))

1、第一章三角形的證明1. 等腰三角形（四）一、學(xué)生知識狀況分析在前兩節(jié)課， 學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了獨(dú)立探索發(fā)現(xiàn)定理的過程，并能基本規(guī)范地證明相關(guān)命題，這些都為本節(jié)課進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)相關(guān)定理提供了較好的知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課，學(xué)生將探究等邊三角形判定定理和含30角的直角三角形的性質(zhì)定理，應(yīng)該說，這兩個(gè)定理的證明和探索相對而言，并不復(fù)雜，更多的是前面定理的直接運(yùn)用，因此，本節(jié)課可以更多地讓學(xué)生自主探索。但第一個(gè)定理證明中，需要分類討論，因此注意揭示其中的分類思想；第2 個(gè)定理結(jié)論比較特殊，直接從定理?xiàng)l件出發(fā)，學(xué)生一般難能得到這個(gè)結(jié)論，因此，教科書中設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)生活動，在活動的基礎(chǔ)上“無

2、意”中發(fā)現(xiàn)了其特殊的結(jié)論，這實(shí)際上也是一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，因此也應(yīng)注意讓學(xué)生體會。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：1知識目標(biāo)理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o 角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡單的問題。2能力目標(biāo)經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30o 角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力。3情感與價(jià)值觀要求積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗(yàn)，

3、鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學(xué)重點(diǎn)等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.含 30角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.4教學(xué)難點(diǎn)含 30角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題.三、教學(xué)過程分析學(xué)具準(zhǔn)備： 兩個(gè)帶 30 度角的三角板。本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第二環(huán)節(jié)：自主探索；第三環(huán)節(jié)：實(shí)際操作提出問題；第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：暢談收獲課時(shí)小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課活動內(nèi)容 ：教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等腰三角形呢？從

4、而引入新課?；顒幽康?：開門見山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊?；顒有Ч?：在老師的引導(dǎo)下，一般學(xué)生都能得出等邊三角形的性質(zhì)；對于等邊三角形的判別，學(xué)生可能會出現(xiàn)多種情況，如直接從等邊三角形性質(zhì)出發(fā)，當(dāng)然也可能有學(xué)生考慮分步進(jìn)行，現(xiàn)確定它是等腰三角形，再增補(bǔ)條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時(shí)提出問題：如果已知一個(gè)三角形是等邊三角形的基礎(chǔ)上，如何確定它是等邊三角形呢？下面是實(shí)際教學(xué)中的部分師生活動實(shí)況：生 等腰三角形已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認(rèn)為只要腰和底相等， 等腰三角形就成了等邊三角形生 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且分別都等于60 我認(rèn)為等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于 6

5、0 ，等腰三角形就是等邊三角形了(此時(shí)，部分同學(xué)同意此生的看法，部分同學(xué)不同意此生的看法，引起激烈地爭論教師可讓同學(xué)代表充分發(fā)表自己的看法)生 我不同意這位同學(xué)的看法 因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形滿足這個(gè)條件都是等邊三角形根據(jù)等角對等邊，三個(gè)內(nèi)角都是60 ，所以它們所對的邊一定相等但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時(shí)便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費(fèi)!師 給三個(gè)角都是60 ，這個(gè)條件的確有點(diǎn)浪費(fèi)，那么給什么條件不浪費(fèi)呢?下面同學(xué)們可在小組內(nèi)交流自己的看法(2)你認(rèn)為有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?把你的證明思路與同伴交流(教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)

6、間)第二環(huán)節(jié)：自主探索活動內(nèi)容 ：學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)要求學(xué)生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：等腰三角形（含等邊三角形）性質(zhì)等邊對等角“三線合 一 ”即等 腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、 高互相重合等邊三 角形三個(gè)角都相等，且每個(gè)角都是 60判定的條件等角對等邊有一角是 60三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形活動目的： 經(jīng)歷定理的探究過程，即明確有關(guān)定理，同時(shí)提高學(xué)生的自主探究能力?；顒幼⒁馐马?xiàng)與效果：由于有了第 1 環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生多能探究出：頂角是 60的等腰三角形是等邊三角形；底角是 60的等腰

7、三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；三條邊都相等的三角形是等邊三角形。對于前兩個(gè)定理的形式相近，教師可以進(jìn)一步提出要求：能否用更簡捷的語言描述這個(gè)結(jié)論嗎 ?從而引導(dǎo)學(xué)生得出：有一個(gè)角是 60的等腰三角形是等邊三角形。在學(xué)生得出這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生說明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴(yán)格的證明，由于“有一個(gè)角是 60的等腰三角形是等邊三角形” 的證明需要分類討論，因此，可以以此問題作為對學(xué)生證明的要求，并與同伴交流證明思路并要求學(xué)生思考證明中的注意事項(xiàng)，從而點(diǎn)明其中的分類思想，提請學(xué)生注意：思考問題要全面、周到第三環(huán)節(jié)：實(shí)際操作提出問題活動內(nèi)容：教師直接提

8、出問題：我們還學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們研究一個(gè)特殊的直角三角形：含 30角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含 30角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形 ?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎 ? 在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由活動目的： 讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三a角形中，如果一個(gè)銳角等于 30，a那么它所對的直角邊等于斜邊的一半bdcbdc活動注意事項(xiàng)與效果 ：學(xué)生一(1)(2)般可以得出下面兩種圖形：其中第11 個(gè)圖形是等邊三角形，對于該圖學(xué)生也可以得出bd=2 ab ，從而得出：在直角三角形中，如果

9、一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半注意，教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生說明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具體的說明過程可以如下：方法 1：因?yàn)?abd acd ，所以ab=ac 又因?yàn)閞t abd 中， bad=60 ，所以abd=60 ，有一個(gè)角是 60的等腰三角形是等邊三角形方 法2 ： 圖 (1) 中 ， b= c=60 ， bac= bad+ cad=30 +30=60， 所 以b=c=bac=60 ，即 abc 是等邊三角形如果學(xué)生不能很快得出30 度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標(biāo)出各個(gè)字母，并要求學(xué)生思考其中哪些線段直接存在倍數(shù)關(guān)系，并在將三角板分開，思

10、考從中可以得到什么結(jié)論。然后在學(xué)生得到該結(jié)論的基礎(chǔ)上，再證明該定理。定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半已知：如圖，在rtabc 中， c=90， bac=30 1求證： bc=2 ab 分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長bc 至 d，使 cd=bc，連接 ad 證明：在 abc 中， acb=90 ， bac=30 b=60.延長 bc 至 d，使 cd=bc，連接 ad( 如圖所示 ) acb=90 acb=90aac=ac ， abc adc(sas) ab=ad( 全等三角形的對應(yīng)邊相等) abd 是等邊三角形 (有一個(gè)角是 60的等腰三角

11、形是等邊三角形 )bcd11bc=2bd= 2ab 第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練鞏固新知活動 1：直接提請學(xué)生思考剛才命題的逆命題： 在直角三角形中， 如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于 30嗎?如果是，請你證明它在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明：1已知：如圖，在rtabc 中， c=90， bc=2 ab 求證： bac=30證明：延長 bc 至 d，使 cd=bc，連接 acb=90 ， acd=90 又 ac=ac acb acd(sas) ab=ad 1cd=bc ， bc=2 bd 1又 bc=2 ab ， ab=bd ad.aabcbcdab=ad=bd ，即 abd 是

12、等邊三角形 b=60在 rt abc 中， bac=30 注意事項(xiàng)： 該命題的證明中輔助線較復(fù)雜，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以給學(xué)生一些啟示，因此，教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？活動 2 ：呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)的新定理解答例題。例題 等腰三角形的底角為15，腰長為 2a，求腰上的高 cd 的長 .分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在rtadcd中，ac=2a 而 dac 是 abc 的一個(gè)外角，a而 dac= 15=30，根據(jù)在直角三角形中，30角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出bccd 解： abc= acb=15 dac= abc+ acb=15 +15=30cd=11在直角三角形中， 如果一個(gè)銳角等于，那么它所對的直角邊等2ac= 22a= a(30于斜邊的一半 )活動目的： 在例題求解中鞏固新知。第五環(huán)節(jié)：暢談收獲課時(shí)小結(jié)讓學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，