第四章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt課件

1、1,微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第四章,2,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，費馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理 是它的特例，柯西定理是它的推廣。,1. 預(yù)備定理費馬(Fermat)定理,費馬（Fermat，1601-1665），法國人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何。因提出費馬大、小定理而著名于世。,第一節(jié) 微分中值定理,3,幾何解釋:,1. 預(yù)備定理費馬(Fermat)定理,曲線在最高點或最低點如果有切線，則切線必然是水平的。,4,證明:,極限的保號性,5,2. 羅爾(Rolle)定理,y=f (x),幾何解釋:,如果連續(xù)光滑的曲線 y=f (x) 在端點 A、B 處的縱坐

2、標(biāo)相等。那么，在曲線弧上至少有一點 C(x , f(x)，曲線在 C點的切線是水平的。,如果函數(shù)yf (x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，(3) f (a)f (b)，則至少存在一點x(a, b)，使得f (x) 0。,6,證,由費馬引理,所以最大值和最小值不可能同時在端點取得。,7,注意：,f (x)不滿足條件(1),f (x)不滿足條件(3),f (x)不滿足條件(2),如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立。,8,例1,驗證,9,例2 不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個零點，以及其所在范圍

3、。,解 f (1)=f (2)=f (3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上滿足羅爾定理的三個條件。 在 (1, 2) 內(nèi)至少存在一點 x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)的一個零點。 在(2, 3)內(nèi)至少存在一點 x2，使f (x2)=0，x2也是f (x)的一個零點。 f (x) 是二次多項式，只能有兩個零點，分別在區(qū)間(1, 2)及(2, 3)內(nèi)。,思考：f (x)的零點呢？,10,例3,證,結(jié)論得證.,11,證,例4,12,證,例5,13,如果函數(shù)f (x)滿足：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點x(a, b)內(nèi)，使得,幾何意義：

4、,3. 拉格朗日(Lagrange)中值定理,14,證明,作輔助函數(shù),15,例6,16,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,或,特別地,或,拉格朗日中值公式另外的表達方式：,17,推論1,證明,18,推論2,證明,即得結(jié)論。,19,例7,證,由推論1知,20,利用拉格朗日定理證明不等式,例8,證,21,例9,證,由上式得,22,例10,證,類似可證：,推論,23,4. 柯西(Cauchy)中值定理,設(shè)函數(shù)f (x)及g (x)滿足條件： (1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， (2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)， (3)在(a, b)內(nèi)任何一點處g(x)均不為零， 則至少存在一點x(a，b)內(nèi)，使得,如

5、果取g(x)x，那么柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理.,說明：,證略.,24,P148 習(xí)題四,練習(xí)：,25,第二節(jié) 洛必達法則,在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無窮小量或同是無窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在，這種極限稱為未定式，記為,洛必達法則是求函數(shù)極限的一種重要方法.,及,26,定理(洛必達法則),(證略),某去心鄰域內(nèi)有定義且可導(dǎo),且滿足下列條件：,27,說明：,5.洛必達法則可多次使用。,只能說此時使用洛必達法則失敗,需另想它法；,28,例1,用“洛必達法則”求極限例題,練習(xí):,比較:,因式分解，,29,例2,比較:,30,練習(xí):,或解,等價無窮小替換,31,例3,32

6、,例4,及時分離非零因子,33,例5,例6,34,例6,或解：,及時分離非零因子,35,例7,解,洛必達法則失效。,練習(xí),不能使用洛必達法則。,解,極限不存在,？,？,36,二、其它類型的未定式,例8,解法：轉(zhuǎn)化為 或 型不定式。,步驟:,37,例9,步驟:,38,步驟:,例10,39,例11,或解(重要極限法)：,40,例12,解,41,例13,解,所以,42,練習(xí),解,43,解,例14,這是數(shù)列極限, 不能直接使用洛必達法則, 要先化為函數(shù)極限.,44,或解,例14,45,小結(jié),46,3. 若 不存在時,不能斷定原極限是否存在,此時法則失效,改用其它方法.洛必達法則并不能解決一切未定式的極

7、限問題.,應(yīng)用洛必達法則應(yīng)注意的幾個問題:,1. 應(yīng)用洛必達法則時要分別求分子及分母的導(dǎo)數(shù),切忌不要把函數(shù)當(dāng)做整個分式來求導(dǎo).,2. 洛必達法則可以累次使用,但必須注意,每次使用前需確定它是否為未定式.,4. 使用洛必達法則時,要靈活結(jié)合其它方法,如等價無窮小替換、湊重要極限、分離非零因子、恒等變形、換元等.,47,P148 習(xí)題四,練習(xí)：,48,第三節(jié),函數(shù)的單調(diào)性,49,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系,觀察與思考：,函數(shù)單調(diào)增加,函數(shù)單調(diào)減少,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有什么關(guān)系？,50,函數(shù)單調(diào)增加時導(dǎo)數(shù)大于零；,觀察結(jié)果：,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系,函數(shù)單調(diào)增加,函數(shù)單調(diào)減少,函數(shù)單調(diào)

8、減少時導(dǎo)數(shù)小于零。,51,定理,52,證,應(yīng)用拉格朗日定理,得,53,例1,解,例2,解,54,例3,解,55,例4,解,56,也可用列表的方式，,例4,解,57,導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點,方法:,注意: 區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,例如,稱駐點,58,例5,證,可利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式,59,例6,證,綜上所述，,60,由零點存在定理知，,例7,證,利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根,61,小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式和確定某些方程實根的個數(shù)

9、.,62,P148 習(xí)題四,練習(xí)：,63,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,第四節(jié) 曲線的上下凸性和拐點,64,曲線的上、下凸性就是曲線彎曲的方向.,65,定義,下凸凹,上凸凸,66,67,觀察與思考： 曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？,拐點,下凸,上凸,當(dāng)曲線是下凸的時， f (x)單調(diào)增加。,當(dāng)曲線是上凸的時， f (x)單調(diào)減少。,曲線凸性的判定,曲線下凸與上凸的分界點稱為曲線的拐點。,68,定理,證略。,69,例1,解,70,例2,解,下凸,上凸,下凸,拐點,拐點,71,例3,解,拐點的求法：,1.找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點或不可導(dǎo)點；,2.若它兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)值異號,則為拐點；若同號

10、則不是拐點.,注意：拐點要寫出縱坐標(biāo)。,72,例4,解,73,P148 習(xí)題四,練習(xí)：,74,一、函數(shù)的極值及其求法,第五節(jié) 函數(shù)的極值與最值,75,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,注：極值是局部性的概念,極大值不一定比極小值大.,76,定理1(極值的必要條件),由費馬引理可知，,所以對可導(dǎo)函數(shù)來講,極值點必為駐點。,但反之不然，駐點不一定是極值點.,77,此外, 不可導(dǎo)點也可能是極值點,函數(shù)的不可導(dǎo)點也不一定是極值點，,78,這就是說,極值點要么是駐點,要么是不可導(dǎo)點,兩者必居其一.,我們把駐點和孤立的不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為極值可疑點.,下面給出兩個充分條件,用

11、來判別這些極值可疑點是否為極值點.,79,定理2(極值的第一充分條件),一階導(dǎo)數(shù)變號法,80,定理3(極值的第二充分判別法),稱為“二階導(dǎo)數(shù)非零法”,(1)記憶:幾何直觀；,說明：,(2) 此法只適用于駐點,不能用于判斷不可導(dǎo)點；,81,例1,解法一,列表討論,極大值,極小值,82,例1,解法二,83,例2,解,84,例3,解,85,例4,解,列表討論,極大值,極小值,86,例5,解,注意定義域！,導(dǎo)數(shù)左負右正，,87,例6,解,兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得,對(1)式再求導(dǎo)，得,88,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點有3個，而 x=0 則是導(dǎo)數(shù)不存在的點. 三個一階導(dǎo)數(shù)為零的點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不

12、一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應(yīng)選(C).,例7,解,(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點. (D) 三個極小值點和一個極大值點.,89,(1) 確定函數(shù)的定義域；,(4) 用極值的第一或第二充分條件判定.注意 第二充分條件只能判定駐點的情形.,求極值的步驟:,(3) 求定義域內(nèi)部的極值嫌疑點(即駐點或 一階導(dǎo)數(shù)不存在的點)；,90,二、函數(shù)的最值,極值是局部性的,而最值是全局性的.,91,具體求

13、法：,92,例8,解,計算,比較得,93,在許多實際問題中，往往用到求函數(shù)最值的下述方法：,94,將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？,設(shè)小正方形的邊長為x，,則方盒的容積為,例9,解,95,將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？,求導(dǎo)得,設(shè)小正方形的邊長為x，,則方盒的容積為,例9,解,96,將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？,求導(dǎo)得,設(shè)小正方形的邊長為x，,則方盒的容積為,解,例9,97,

14、要做一個容積為V的圓柱形罐頭筒，怎樣設(shè)計才能使所用材料最??？,設(shè)底半徑為r, 高為h，,總的表面積為,例10,解,即表面積最小.,即高與底面直徑相等.,即為最小值點 .,導(dǎo)數(shù)左負右正，是極小值點，,98,例11,解,利用最值證明不等式,99,例12,解,分析 數(shù)列是離散函數(shù),不能求導(dǎo),應(yīng)把n改為x,轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù),再求導(dǎo).,利用對數(shù)求導(dǎo)法,得,導(dǎo)數(shù)左正右負，,100,經(jīng)濟應(yīng)用舉例,1.平均成本(AC)最低問題,例13,設(shè)成本函數(shù)為,則平均成本為,得駐點,此時平均成本和邊際成本均為4.,一般,當(dāng)平均成本最低時,平均成本與邊際成本相等.,101,2.最大利潤問題,例14,利潤函數(shù)為,解,得駐點,1

15、02,一般,利潤函數(shù)為,其中Q為產(chǎn)量,時,利潤最大,其中MR和MC分別表示邊際收益和邊際成本(Marginal revenue, Marginal cost),“生產(chǎn)商為獲得最大利潤,應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平”.這是微觀經(jīng)濟學(xué)的一個重要結(jié)論.,103,某廠生產(chǎn)某種商品,其年銷售量為100萬件,每批生產(chǎn)需增加準備費1000元,而每件商品的庫存費為0.05元.如果年銷售率是均勻的(即商品庫存數(shù)為批量的一半),問應(yīng)分幾批生產(chǎn),能使生產(chǎn)準備費和庫存費之和最小？,3.最優(yōu)批量庫存問題,例15,解,設(shè)分x批生產(chǎn),則生產(chǎn)準備費和庫存費之和為,得唯一駐點,104,P148 習(xí)題四,練習(xí)：,105,第六節(jié) 漸近線和函數(shù)作圖,一、曲線的漸近線,1.水平漸近線,例如,有兩條水平漸近線:,(平行于x軸的漸近線),106,例如,有兩條豎直漸近線:,2.豎直漸近線,(垂直于x軸的漸近線),107,3.斜漸近線,斜漸近線求法:,108,例1,解,109,110,二、函數(shù)作圖,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,111,例2,解,非奇非偶函數(shù).,列表,不存在,拐點,極小值點,間斷點,112,C(-1, -2)，,E(2, 1) ，,D(1, 6)，,作出函數(shù)的圖形.,F(3, -2/9) .,B(-