平面及其方程

1、6.4 平面及其方程,6.4.1 平面方程,6.4.2 兩平面間的夾角,6.4.3 點到平面的距離,一個平面的法向量有無窮多個, 它們之間都是相互平行的,6.4.1 平面方程,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,設(shè)平面 的一個法向量,且平面過點M0(x0, y0, z0).,下面建立平面有 的方程,1 平面的點法式方程,平面的點法式方程,平面 上任一點M (x, y, z)的坐標(biāo)都滿足上面的方程, 而當(dāng)點M (x, y, z) 不在平面 上時, 點M (x, y, z)的坐標(biāo)不滿足該方程,設(shè)M (x, y, z)是平面 上的任一點,(6.15),例1 設(shè)一平面過點M0(1

2、, 0, 2)平面的法向量為,求此平面方程.,解 根據(jù)平面的點法式方程，得所求平面方程為,即,2 平面的一般方程,由平面的點法式方程,反之，三元一次方程,表示一平面。,這是因為：,以上兩式相減 , 得平面的點法式方程,為平面的一般方程.,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程與此點法式方程等價,的平面,此方程稱,因此方程的,圖形是法向量為,平面方程的幾種特殊情況：,(1) D = 0, 平面通過坐標(biāo)原點；,(2) A = 0, 平面平行于x 軸；,(3) A = B = 0, 平面平行于xoy 面或垂直于z 軸；,(4) A = D = 0, 平面通過x 軸.,解,所求平面方程為,化簡得,例2

3、,求過三點,的平面方程.,取,-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0,2x+ 3y- 3z- 3=0.,例3,一平面過兩個點M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2),且平行于y 軸,求其方程.,解,由于所求平面與y 軸平行,故其方程的形式,設(shè)為Ax+Cz+D=0,因為點M1 和M2 都在上,其坐標(biāo),應(yīng)當(dāng)滿足的方程,將這兩個點的坐標(biāo)代入到這個方,方程中,得到,A+C+D=0,3A-2C+D=0,解這個方程組,得,將這個結(jié)果代入到平面方程中,得,3x+2z- 5 = 0.,3 平面的截距式方程,設(shè)平面為,將三點坐標(biāo)代入得,將,代入所設(shè)方程得,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平

4、面的夾角.,6.4.2 兩平面間的夾角,設(shè),由兩向量夾角余弦公式有,特殊的：,/,例4,解 由兩平面夾角的余弦公式得,求兩平面x-4y+z-2=0與2x-2y-z-5=0的夾角.,6.4.3 點到平面的距離,設(shè)P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一點, 求P0到平面的距離.,在平面上任取P1(x1, y1, z1), 則,于是得到點到平面距離公式,由于P1(x1, y1, z1)在平面上, 故,Ax1+By1+Cz1+D = 0,A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0),= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0,= A x0 By

5、0 Cz0 D,例5 求點P0 (-1,2,3)到平面x+2y-2z-6= 0的距離.,解,由點到平面的距離公式得,= 3,練習(xí)1,練習(xí)2 求通過,x軸和點,的平面方程.,練習(xí)3,練習(xí)4,練習(xí)5,求平行于平面,而與三個坐,標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解,練習(xí)1,練習(xí)2 求通過,軸和點,的平面方程.,解 由于平面通過,軸，從而它的法線向量垂直,于是法線向量在,軸上的投影為零，,又由平面通過,軸，它必須通過原點，,因此可設(shè)這平面的方程為,代入所設(shè)方程并除以,得所求方程為,由平面過點(6, 3, 2)知,練習(xí)3,設(shè)平面為,由平面過原點知 D =0,所求平面方程為,解,于是,練習(xí)4,設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,解,化簡得,令,所求平面方程為,代入