高中數學 第1講 相似三角形的判定及有關性質測評 新人教A版選修4-1

1、第一講相似三角形的判定及有關性質測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.如圖,ABGHEFDC,且BH=HF=FC.若MN=5 cm,則BD等于()A.15 cmB.20 cmC. cmD.不能確定解析:ABGHEFDC,且BH=HF=FC,由平行線等分線段定理,得DM=MN=NB.MN=5 cm,BD=3MN=15 cm.答案:A2.如圖,已知,DEBC.若DE=3,則BC等于()A.B.C.D.解析:,.又DEBC,.BC=DE=3=.答案:D3.如圖,ABC=CDB=90,AC=a,BC=b,要使ABCCDB,則BD=()A.B.C.

2、D.解析:因為ABC=CDB=90,所以當時,ABCCDB,即當,即BD=時,ABCCDB.答案:D4.如圖,A,B,C,D把OE五等分,且AABBCCDDEE.如果OE=20 cm,那么BD等于()A.12 cmB.10 cmC.6 cmD.8 cm解析:A,B,C,D把OE五等分,AABBCCDD,OA=AB=BC=CD=DE.又OE=20 cm,OA=AB=BC=CD=DE=4 cm.BD=BC+CD=8 cm.答案:D5.如圖,CD是RtACB斜邊AB上的高,將BCD沿CD折疊,B點恰好落在AB的中點E處,則A=()A.30B.40C.50D.60解析:由題意知,BC=EC.在RtAC

3、B中,E是斜邊AB的中點,EC=EB=EA.EC=EB=BC,ECB為正三角形,B=60,故A=30.答案:A6.如圖,在ABC中,點D在AB上,點E在AC上.若ADE=C,且AB=5,AC=4,AD=x,AE=y,則y與x之間的關系式是()A.y=5xB.y=xC.y=xD.y=x解析:A=A,ADE=C,ADEACB,.AB=5,AC=4,AD=x,AE=y,y=x.答案:C7.若三角形的三條邊之比為357,與它相似的三角形的最長邊為21 cm,則其余兩邊的長度之和為()A.24 cmB.21 cmC.19 cmD.9 cm解析:設其余兩邊的長度分別為x cm,y cm,則,解得x=15,

4、y=9.故x+y=24.答案:A8.如圖,在ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延長線上,BD=3CE,DE交BC于F,則DFFE等于()A.52B.21C.31D.41解析: 過D作DGAC,交BC于G,則DG=DB=3CE,即CEDG=13.又DFFE=DGCE,所以DFFE=31.答案:C9.在ABC中,DEBC,DE交AB于D,交AC于E,且SADES梯形DECB=12,則梯形的高與ABC的高的比為()A.1B.1(-1)C.1(-1)D.(-1)解析:由SADES梯形DECB=12,得SADESABC=13.所以梯形的高與ABC的高的比為(-1).答案:D10.如圖,在ABC

5、中,D是邊AC的中點,點E在線段BD上,且滿足BE=BD,延長AE交BC于點F,則的值為()A.B.C.D.解析:如圖,取FC的中點M,連接DM,則DMEF,所以.又FC=2FM,所以.答案:C11.如圖,B=D,AEBC于點E,ACD=90,且AB=6,AC=4,AD=12,則BE=()A.4B.4C.6D.8解析:在RtADC中,CD=8.在RtADC與RtABE中,B=D,ADCABE,BE=DC=4.答案:B12.某社區(qū)計劃在一塊上、下底邊長分別是10米、20米的梯形空地上種植花木(如圖所示),他們想在AMD和BMC地帶種植單價為10元/米2的太陽花,當AMD地帶種滿花后,已經花了50

6、0元.請你預算一下,若繼續(xù)在BMC地帶種植同樣的太陽花,還需資金()A.500元B.1 500元C.1 800元D.2 000元解析:在梯形ABCD中,ADBC,AMDCMB.AD=10米,BC=20米,.SAMD=50010=50(米2),SBMC=200米2.故還需要資金20010=2 000(元).答案:D二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.如圖,在空間四邊形ABCD中,EFBC,FGAD,則=.解析:因為EFBC,FGAD,所以,于是=1.答案:114.如圖,在矩形ABCD中,E是BC上的點,AEDE,BE=4,EC=1,則AB的長為.解析:根據題意得RtABERt

7、ECD,則,可得AB=2.答案:215.一個直角三角形的兩條直角邊長度之比為14,則它們在斜邊上的射影的長度之比為.解析:如圖,在RtABC中,ACB=90,BCAC=14,過點C作CDAB于點D.由射影定理,得AC2=ADAB,BC2=BDAB,故BC2AC2=BDAD=116.答案:11616.導學號52574020如圖,在四邊形ABCD中,BAD=135,ABC=D=90,BC=2,AD=2,則四邊形ABCD的面積是.解析:因為B=D=90,所以設想構造直角三角形,延長BA與CD的延長線交于點E,則得到RtBCE和RtADE.由題目條件知,ADE為等腰直角三角形,所以DE=AD=2,SA

8、DE=22=2.又可證RtEBCRtEDA,所以=3.因此SEBC=3SEDA.故S四邊形ABCD=SEBC-SADE=4.答案:4三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)如圖,在ABC中,M是AC邊的中點,E是AB邊上的一點,且AE=AB,連接EM,并延長交BC的延長線于點D.求證:BC=2CD.證明:過點C作CFAB交ED于點F.AM=CM,CF=AE=AB.CF=BE.CFAB,.BD=3CD,即BC+CD=3CD.BC=2CD.18.(本小題滿分12分)如圖,CD是RtABC的斜邊AB上的高,E為CD延長線上一點,連接AE,過點B作BGAE于點G,交CE于點F.

9、求證:CD2=EDFD.證明:在RtABC中,CDAB,易知ADCCDB.,即CD2=ADDB.E+EAD=90,ABG+EAD=90,E=DBF.RtAEDRtFBD.EDFD=ADBD.CD2=EDFD.19.(本小題滿分12分)如圖,在RtABC中,CD是斜邊AB上的高,DE是RtBCD斜邊BC上的高.若BE=2,CE=6,求AD的長.解:CDAB,CDB=90.DEBC,由射影定理可知DE2=CEBE=12,DE=2.又CD2=CEBC=48,CD=4.BD2=BEBC=16,BD=4.在RtABC中,ACB=90,CDAB,由射影定理可得CD2=ADBD,故AD=12.20.(本小題

10、滿分12分)如圖,CD為RtABC斜邊AB上的中線,CECD于點C,CE=,連接DE交BC于點F,AC=4,BC=3.求證:(1)ABCEDC;(2)DF=EF.證明:(1)在RtABC中,AC=4,BC=3,則AB=5.D為斜邊AB的中點,AD=BD=CD=AB=2.5.,ABCEDC.(2)由(1)知,B=CDF.BD=CD,B=DCF,CDF=DCF.DF=CF.由(1)知,A=CEF.ACD+DCF=90,ECF+DCF=90,ACD=ECF.由AD=CD,得A=ACD.ECF=CEF,CF=EF.由,知DF=EF.21.(本小題滿分12分)如圖,在ABC中,D是AC的中點,E是BD的

11、中點,AE的延長線交BC于點F.(1)求的值;(2)若BEF的面積為S1,四邊形CDEF的面積為S2,求S1S2的值.解:(1)如圖,取AF的中點G,連接DG,則DGFC,且DG=FC.E是BD的中點,BE=DE.又EBF=EDG,BEF=DEG,BEFDEG,則BF=DG.BFFC=DGFC.又DGFC=12,則BFFC=12,即.(2)由(1)知,則.設BEF的邊BF上的高為h1,BDC的邊BC上的高為h2,則,所以,即SBDC=6SBEF,故,即S1S2=15.22.導學號52574021(本小題滿分12分)如圖,已知矩形ABCD的邊長AB=2,BC=3,點P是AD邊上的一動點(P異于A,D),Q是BC邊上的任意一點,連接AQ,DQ,過P作PEDQ交AQ于E,作PFAQ交DQ于F.(1)求證:APEADQ;(2)設AP的長為x,試求PEF的面積SPEF關于x的函數關系式,并求當P在何處時,SPEF取得最大值?最大值為多少?(3)當Q在何處時,ADQ的周長最小?(必須給出確定Q在何處的過程或方法,不必給出證明)(1)證明:因為PEDQ,所以APE=ADQ,AEP=AQD,所以APEADQ.(2)解:由(1)得APEADQ,所以.因為ADBC,所以ADQ的高等于AB,則SADQ=3,所以SAPE=x2.同理,由PFAQ,可證