北郵信息光學(xué)課后習(xí)題解答

1、1,第一章習(xí)題解答,1.2 證明,證：,n為奇數(shù),0,2,1.4 計算下面兩個函數(shù)的一維卷積,解：（1）改變量,（2）折疊,（3）位移,當(dāng),3,（3）位移,當(dāng),相乘、積分得卷積,如圖,當(dāng),如圖,相乘、積分得卷積,4,0,其它,1.5 計算下列一維卷積,5,解（1）,2,1,6,0,其它,0,其它,=2,7,8,9,10,=,1.6 已知,的傅里葉變換為,試求,解：,利用傅里葉變換的坐標(biāo)縮放性質(zhì)可求得答案,11,12,1.10設(shè)線性平移不變系統(tǒng)的原點(diǎn)響應(yīng)為,試計算系統(tǒng)對階躍函數(shù)step(x)的響應(yīng)。,解：,13,（1）、將f (x)和h (x)變?yōu)閒 ()和h ()，并畫出相應(yīng)的曲線,（2）、將

2、h() h(-),只要將h()曲線相對縱軸折疊便得到其鏡,像h(-)曲線。,14,（3）、將曲線h(-)沿x軸平移x便得到h(x-)，,因此 g(x)=0,15,1.11 有兩個線性平移不變系統(tǒng)，它們的原點(diǎn)脈沖響應(yīng)分別為,和,試計算各自對輸入函數(shù),的響應(yīng),和,解：,16,17,1.12 已知一平面波的復(fù)振幅表達(dá)式為,試計算其波長以及沿x,y,z方向的空間頻率。,18,19,第二章習(xí)題解答,2.1單位振幅的平面波垂直入射到一半徑為a的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強(qiáng)度分布。,解：,20,21,解：設(shè)入射激光束的復(fù)振幅A0，強(qiáng)度為,2.2 焦距f=500mm，直徑D=50mm的透鏡將波長,

3、的激光束聚焦，激光束的截面D1=20mm。試求透鏡焦點(diǎn)處的光強(qiáng)是激光束光強(qiáng)的多少倍？,通過透鏡后的出,射光場為,22,將此式代入菲涅耳衍射公式,23,3、波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一個足夠大的模 板，其振幅透過率為,求透射場的角譜。,解：,24,2.10一個衍射屏具有下述圓對稱振幅透過率函數(shù),（1）這個屏的作用在什么方面像一個透鏡？ （2）給出此屏的焦距表達(dá)式。 （3）什么特性會嚴(yán)重地限制這種屏用做成像裝置（特別是對于 彩色物體）,平面波,會聚球面波,發(fā)散球面波,在成像和傅里葉變換性質(zhì)上類似于透鏡。,焦距,色散特性會嚴(yán)重地限制這種屏用做成像裝置,25,第三章習(xí)

4、題,3.1參看圖3.1.1，在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)3.1.5式時，對于積分號前的相位因子,試問（1）物平面上半徑多大時，相位因子,相對于它在原點(diǎn)之值正好改變弧度？,（2）設(shè)光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一零點(diǎn)的半徑是多少？,（3）由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行，那么a,和d0,3.1.3,26,之間存在什么關(guān)系時可以棄去相位因子,解：,（1）原點(diǎn)相位為零，因此，與原點(diǎn)相位差為的條件是,27,（2）由3.1.5式，相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn),式中,28,考慮(x0,y0)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),且設(shè)其第一個零點(diǎn)在原點(diǎn)處,

5、如圖，只有在以r0為半徑的區(qū)域內(nèi)的各點(diǎn)才對,有貢獻(xiàn),29,（3)根據(jù)線性系統(tǒng)理論,像面上原點(diǎn)處的場分布,必須是物面上所有點(diǎn)在像面上的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對原點(diǎn)的貢獻(xiàn)h(x0,yo;0,0).按照上面的分析,如果略去h第一個零點(diǎn)以外的影響,即只考慮h的中央亮斑對原點(diǎn)的貢獻(xiàn),那么這個貢獻(xiàn)僅僅來自于物平面原點(diǎn)附近r小于等于r0范圍內(nèi)的小區(qū)域.當(dāng)這個小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的相位因子expjkr20/2d0變化不大,就可認(rèn)為(3.1.3)式的近似成立,而將它棄去.假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度(例如/16)就滿足以上要求,則,30,數(shù)據(jù)：,這一條件是極容易滿足的。,31,3.2一個余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為,放

6、在上圖3.3.1所示的成像系統(tǒng)的物平面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi)，與z軸夾角為，透鏡焦距為f,孔徑為D。 （1）求物體透射光場的頻譜； （2）使像平面出現(xiàn)條紋的最大角等于多少？求此時像面強(qiáng)度分布； （3）若采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與=0時的截止頻率比較，結(jié)論如何？,32,解：斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場為,則物平面上的透射光場為,其頻譜為,由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿軸整體平移了sin/距離。,33,34,（2）要使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個頻率分量通過系統(tǒng)。系統(tǒng)的截止,最大的角,此時像面上的復(fù)振幅分布和強(qiáng)度分布為

7、,35,(3）照明光束的傾角取最大值時，,系統(tǒng)的截止頻率為,因此光柵的最大頻率,因此當(dāng)采用最大傾角的平面波照射時，系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就是提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。,36,3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這時的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？,解：（1）,光學(xué)傳遞函數(shù)為,所以當(dāng),=0,時。,這是歸一化的結(jié)果。,（2）由上式可知，光學(xué)傳遞函數(shù)的值不可能大于1。,37,（3）如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是函數(shù)，這時的光學(xué)傳遞函數(shù)為常數(shù)，等于1.,3.4 當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hI(x

8、i,yi)成點(diǎn)對稱時，則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實(shí)函數(shù)。,OTF,38,所以O(shè)TF為實(shí)函數(shù),39,3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為di，光波長為，這種系統(tǒng)可用來實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多少？,用公式(3.4.15)來分析.首先,由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的,因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積,其結(jié)果都一樣,即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同.其次,作為近似估計,只考慮每個小孔自身的重疊情況,而不計及和其它小孔的重疊.這時N個小孔的重疊面積除以N個小孔的總面積,其結(jié)果與單個小孔的重疊情況是一樣的,即截止頻為約為2/di

9、,由2很小,所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)低通濾波。,OTF,40,第五章習(xí)題,5.1證明:若一平面物體的全息圖記錄在一個與物體相平行的平面內(nèi),則最后所得到的像將在一個與全息圖平行的平面內(nèi).(為簡單起見,可設(shè)參考光為一平面波.),解：利用點(diǎn)源全息圖公式(5.5.13)-(5.5.15),取物平面上任一點(diǎn)來研究.為簡單起見,設(shè)1 = 2, 參考光波和再現(xiàn)光波是波矢平行于yz平面的平面波,即zP=zr=, xP=xr=0.于是有,41,不管是原始虛像還是共軛實(shí)像，zi均與x0,y0無關(guān)，即不管物點(diǎn)在物平面上位于何處，其像點(diǎn)均在同一平面內(nèi),但位置有變化,隨參考光波和再現(xiàn)光波的不同而在像平面內(nèi)發(fā)生平移.實(shí)際上zi只與z

10、0有關(guān)，而平面物體的z0都相同，所以再現(xiàn)像在同一平面內(nèi)。,42,(2)設(shè) zp=,Zr=2zo,zo=1Ocm,問Zi是多少?放大率M是多少?,5.2 制作一全息圖,記錄時用的是氧離子激光器波長為488.Om的光,而成像是用He-Ne激光器波長為632.8m的光:,(1)設(shè)zp=,zr=,zo=1Ocm,問像距zi是多少?,43,5.3證明:若2=l ,及zp=Zr,則得到一個放大率為1的虛像;若2=l ,及zp=-Zr時,則得到一個放大率為1的實(shí)像.,由5.5.13可證明,5.4下表列舉了幾種底片的MTF的近似截止頻率: 型號 線/mm Kodak Tri-x 5O kodak 高反差片 6

11、0 kodak S0-243 300 Agfa Agepam FF 600 設(shè)用632.8m波長照明,采用無透鏡傅里葉變換記錄光路,參考點(diǎn)和物體離底片lOcm.若物點(diǎn)位于某一大小的圓(在參考點(diǎn)附近)之外,則不能產(chǎn)生對應(yīng)的像點(diǎn),試對每種底片估計這個圓的半徑.,44,5.6.3 無透鏡傅里葉變換全息圖,解：物點(diǎn)離參考點(diǎn)越遠(yuǎn)，空間頻率越高。若,最高空間頻率，那么，只有坐標(biāo)滿足條件,是乳膠能分辨的,的那些物點(diǎn)才能在再現(xiàn)像中出現(xiàn)。,5.6.12,45,5.8、彩虹全息照相中使用狹縫的作用是什么?為什么彩虹全息圖的色模糊主要發(fā)生在與狹縫垂直的方向上？,解： 在彩虹全息照相中使用狹縫的目的是為了能在白光照明

12、下再現(xiàn)準(zhǔn)單色像.在普通全息照相中,若用白光照明全息圖再現(xiàn)時,不同波長的光同時進(jìn)入人眼,我們將同時觀察到相互錯位的不同顏色的再現(xiàn)像,造成再現(xiàn)像的模糊,即色模糊.在彩虹全息照相中,由于狹縫起了分色作用,再現(xiàn)過程中不同波長的光對應(yīng)不同的水平狹縫位置,通過某一狹縫位置只能看到某一準(zhǔn)單色的像,從而避免了色模糊.在彩虹全息照相中,為了便于雙眼觀察,參考平面波的選擇總是使全息圖的光柵結(jié)構(gòu)主要沿水平方向,（P142）因而色散沿豎直方向.狹縫沿水平方向放置,這樣色散方向與狹縫垂直,即色模糊主要發(fā)生在與狹縫垂直的方向上.這樣做的結(jié)果便于人眼上下移動選擇不同顏色的準(zhǔn)單色像.,46,5.9、說明傅里葉變換全息圖的記錄

13、和再現(xiàn)過程中,可以采用平行光入射和點(diǎn)光源照明兩種方式,并且這兩種方式是獨(dú)立的.,解：傅里葉變換全息圖的核心是(1)通過一個傅里葉變換裝置將物頻譜記錄下來;(2)再通過一個傅里葉裝置將物譜還原成物.因此,不管記錄和再現(xiàn)裝置有何具體差異,只要有傅里葉變換功能即可.當(dāng)把物體置于變換透鏡的前焦面,若用平行光照明,則透鏡的后焦面則為物的標(biāo)準(zhǔn)頻譜面:若用點(diǎn)光源照明,則點(diǎn)光源的物像共軛面即為物的標(biāo)準(zhǔn)頻譜面.,因此,記錄時無論用平行光或點(diǎn)光源照明,均可在相應(yīng)的共軛面處記錄下標(biāo)準(zhǔn)的物譜.同樣,再現(xiàn)時無論用平行光照明或點(diǎn)光源照明均可在共軛面處得到物.平行光照明和點(diǎn)光源照明可任意配置,這兩種方式是獨(dú)立的。,47,5

14、.10、曾有人提出用波長為0.1m的輻射來記錄一張X射線全息圖,然后用波長為600.nm的可見光來再現(xiàn)像.選擇如圖題5.3(上部)所示的無透鏡傅里葉變換記錄光路,物體的寬度為0.1mm,物體和參考點(diǎn)源之間的最小距離選為0.1mm,以確保孿生像和“同軸”干涉分離開。X射線底片放在離物體2cm處。 （1）投射到底片上的強(qiáng)度圖案中的最大頻率（周/mm)是多少？ （2）假設(shè)底片分辨率足以記錄所有的入射強(qiáng)度變化，有人提議用圖5.3(下部）所示的方法來再現(xiàn)成像，為什么這個實(shí)驗(yàn)不會成功？,0.lmm,0.1mm,y,48,解：（1）選擇參考光源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，且y軸方向向下，則在公式,這樣一張全息圖所記錄的空

15、間頻率范圍為,中,49,（2）當(dāng)用波長600nm的單色平面波垂直照射這張全息圖時，設(shè)U（x,y,0）為透過全息圖的光場復(fù)振幅分布，則它的角譜為,因?yàn)?所以,不為零,0,其它,由角譜傳播公式得,因?yàn)?這表明全息圖所透過的波是倏逝波，在全息圖后幾個波長的距離內(nèi)就衰減為零，沒有波會通過透鏡再成像，故實(shí)驗(yàn)不會成功。,50,第八章習(xí)題,8.1利用阿貝成像原理導(dǎo)出相干照明條件下顯微鏡的最小分辨距離公式,并同非相干照明下的最小分辨距離公式比較,解：顯微鏡是用于觀察微小物體的，可近似看作一個點(diǎn)，物近似 位于物鏡的前焦點(diǎn)上。設(shè)物鏡直徑為D，焦距為f,如圖所示。,對于相干照明，系統(tǒng)的截止頻率由物鏡孔徑限制的最大孔

16、徑角,決定，截止頻率為,51,從幾何上看，近似有,因?yàn)槲锩嫔系目臻g頻率大,于截止頻率的細(xì)節(jié)不能通過系統(tǒng)，故其倒數(shù)為分辨距離。,對于非相干照相明，由瑞利判據(jù)可知其分距離為,非相干照明時顯微鏡的分辨率大約為相干照明的兩倍。,52,8.2、在4f系統(tǒng)輸入平面放置4Omm-l的光柵,入射光波長632.8nm.為了使頻譜面上至少能夠獲得土5級衍射斑,并且相鄰衍射斑間距不小于2mm,求透鏡的焦距和直徑.,設(shè)光柵比較寬，可視為無窮，則透過率為,頻譜為,x2,53,所以譜點(diǎn)的位置由,決定，即m級衍射在后焦面上,的位置由下式確定：,相鄰衍射斑之間的距離,54,由光柵方程得,（2）,要在后焦面上能夠獲得土5級衍射

17、斑,截止頻率應(yīng)大于第五級譜對應(yīng)的衍射角，小角度下,因?yàn)镈1不為零，所以當(dāng)D滿足下式時，上式一定成立,55,8.3觀察相位型物體的所謂中心暗場方法,是在成像透鏡的后焦面上放一個細(xì)小的不透明光闌以阻擋非衍射的光.假定通過物體的相位延遲1弧度,求所觀察到的像強(qiáng)度(用物體的相位延遲表示出來).,在一般情況下,用顯微鏡只能觀察物體的亮暗變化,不能辨別物體相位的變化.最初相位物體(如細(xì)菌標(biāo)本)的觀察必須采用染色法,但染色的同時會殺死細(xì)菌,改變標(biāo)本的原始結(jié)構(gòu),從而不能在顯微鏡下如實(shí)研究標(biāo)本的生命過程.1935年策尼克提出的相襯顯微鏡,利用相位濾波器將物體的相位變化轉(zhuǎn)換成可以觀察到的光的強(qiáng)弱變化.這種轉(zhuǎn)換通常

18、又稱為幅相變換.,56,如圖透明相位物體放在P1面上，其復(fù)振幅透過率為,假定相移1，則可忽略2及更高級的項，于是復(fù)振幅透過率可以寫為,物光波實(shí)際上可看作兩部分，強(qiáng)的直接透射光和由于相位起伏造成的弱衍射光，一個普通的顯微鏡對上述物體所造成像，其強(qiáng)度可以寫成,57,若在譜平面上放置細(xì)小的不透明的光闌作為空間濾波器，濾掉零頻背景分量，則透過的頻譜為,像面復(fù)振幅分布為,像面強(qiáng)度分布為,因此在像面上得到了正比于物體 相位平方分布的光強(qiáng)分布，實(shí)現(xiàn)了將相位轉(zhuǎn)換為強(qiáng)度分布的目的。不過光強(qiáng)不是相位的線性函數(shù)，這給分析帶來一定的困難。,物體頻譜為,58,8.4、當(dāng)策尼克相襯顯微鏡的相移點(diǎn)還有部分吸收,其強(qiáng)度透射率等于(O1)時,求觀察到的像強(qiáng)度表示式.,物體頻譜為,現(xiàn)用一個濾波器使零頻減弱，同時使