數(shù)理方程關(guān)于振動(dòng)方程的分析matlab[網(wǎng)絡(luò)軟件]

1、數(shù)理方程基于MATLAB的問(wèn)題分析報(bào)告一、問(wèn)題的提出、背景、意義振動(dòng)是指物體經(jīng)過(guò)它的平衡位置所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)或某一物理量在其平衡值附近的來(lái)回變動(dòng)。而波動(dòng)則是一種能量傳播的方式。雖然形式不同，但是兩者的聯(lián)系十分緊密，振動(dòng)是波動(dòng)的根源，波動(dòng)是振動(dòng)的傳播形式。因此在分析問(wèn)題乃至實(shí)際操作中，往往是把兩者放在一起分析的，首先討論振動(dòng)的各方面特性，這樣就相當(dāng)于已知了波動(dòng)一點(diǎn)上的相應(yīng)特性，再對(duì)波動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)，就只用討論距離的影響了。一般來(lái)說(shuō)，振動(dòng)只受時(shí)間影響，加上距離的參數(shù)，最終波動(dòng)就只受兩個(gè)變量影響，而且也知道了它們是無(wú)關(guān)的，就可以使用分離變量法進(jìn)行求解。弦振動(dòng)是波動(dòng)的一類特殊形式，它在音樂物理學(xué)、材料學(xué)、

2、地理學(xué)、物質(zhì)分析學(xué)等許多領(lǐng)域都得到了應(yīng)用，而弦振動(dòng)所屬聲學(xué)又是力學(xué)的一個(gè)非常獨(dú)立的分支，因此它在各領(lǐng)域的作用幾乎是不可取代的。由于近年來(lái)的各方面硬件設(shè)施和軟件的發(fā)展，曾經(jīng)停止發(fā)展很長(zhǎng)一段時(shí)間的對(duì)弦振動(dòng)的分析又開始體現(xiàn)出它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在產(chǎn)生音樂的過(guò)程中，琴弦的振動(dòng)是很常見的一種方式，本文就將對(duì)琴弦振動(dòng)進(jìn)行一定的研究，通過(guò)對(duì)弦振動(dòng)方程的理解，給出不同初始條件，并分析出琴弦不同地方產(chǎn)生波的特性，再用MATLAB做好程序，畫出相應(yīng)的圖像，經(jīng)比較后得到琴弦的撥發(fā)與產(chǎn)生聲音的聯(lián)系。二、問(wèn)題分析思路2.1建立偏微分方程分析一根琴弦的振動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)針對(duì)具體要分析的問(wèn)題，可以列出弦振動(dòng)方程以及初始條件（L為弦的

3、長(zhǎng)度，因?yàn)槭莾啥斯潭ǖ南遥跏紬l件一定有），用分離變量法很容易求得它相應(yīng)的解，即弦振動(dòng)的函數(shù)。2.2對(duì)琴弦參數(shù)的求解已知常量T=128N，普通鋼琴弦密度，根據(jù)琴弦傳播速度公式，可以求得速度v。2.3 求解對(duì)象由弦振動(dòng)的函數(shù)可以得到弦上不同點(diǎn)的振動(dòng)情況。隨機(jī)選取幾個(gè)點(diǎn)，得到它們的振動(dòng)情況，并比較。2.4作圖方法通過(guò)MATLAB仿真出不同點(diǎn)的圖像，比較圖像的幅值周期等參數(shù)。（開始考慮到有兩種方式，一種直接通過(guò)上一個(gè)步驟求出的解使用簡(jiǎn)單的MATLAB命令畫出圖，另一種則是通過(guò)MATLAB解方程后再畫出相應(yīng)的圖像，事實(shí)上第一種MATLAB是做不到的，于是用第二種）2.5 仿真結(jié)果仿真出弦振動(dòng)的頻譜圖，

4、即以頻率和振幅為橫縱坐標(biāo)的圖，得到不同頻率與振幅的關(guān)系，對(duì)圖可以進(jìn)行一系列的分析，得到相應(yīng)的結(jié)果。2.6方程解的現(xiàn)實(shí)意義由于琴弦振動(dòng)實(shí)際意義，我們將弦振動(dòng)的實(shí)際音效也用MATLAB做出來(lái)了，這樣更能直觀的體會(huì)到琴弦振動(dòng)條件不同帶來(lái)的影響。但是發(fā)出的聲音不如實(shí)際生活那么和諧美妙（缺少腔體等音樂元件）。三、具體求解步驟3.1標(biāo)準(zhǔn)齊次弦振動(dòng)的求解如前文所提，對(duì)于這樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的齊次弦振動(dòng)問(wèn)題，分離變量法是我們主要所采取的解題方法。設(shè)方程具有的解的形式為： （3-1）將變量t與變量x分離開后，代入原方程，得到： （3-2） （3-3）令： （3-4）此時(shí)，得到兩個(gè)常微分方程： （3-5）， （3-6）代

5、入邊界條件，得到： （3-7）由于不是我們需要的解，對(duì)T（t）不能恒為0，所以對(duì)于X（x），我們可以得到： （3-8）這樣一來(lái)，我們可以得到常微分方程滿足邊界條件的平凡解。當(dāng)時(shí)，原方程的邊值問(wèn)題就只有零解。當(dāng)時(shí)，原方程的通解為： （3-9） 代入邊界條件，得： （3-10） （3-11）解得的結(jié)果為,A=0,。為了使X（x）不恒為0，應(yīng)有，亦即， 則： （3-12）相應(yīng)的特征函數(shù)為，其中Bn為任意非零常數(shù)，對(duì)應(yīng)每一個(gè)特征值方程的解是 （3-13）其中，Cn,Dn為任意常數(shù)。我們得到原方程一系列特解為： （3-14）為了求出滿足的解，我們將作傅立葉拓展，把每一項(xiàng)全部疊加起來(lái)，則： （3-15）為

6、了確定系數(shù)Cn，Dn，將方程代入初始條件，得 （3-16）之后即可解出Cn，Dn： （3-17） （3-18）3.2實(shí)際弦振動(dòng)的求解對(duì)于第二節(jié)一開始提出的一維實(shí)際琴弦振蕩問(wèn)題，我們將實(shí)際參數(shù)代入公式中。這里，取考慮到弦樂器的常見技法就是撥弦，撥弦即用手指把琴弦撥離平衡位置。使其振動(dòng)發(fā)聲。這相當(dāng)于在X=a處把弦拉高到高度h，然后松開，使其自由振動(dòng)，即弦振動(dòng)的初始位移不為零而初速度為零。(1)假設(shè)在琴弦的正中間撥弦，則a=L/2，取值為434mm，撥弦高度h為4mm?？梢缘玫剑耗敲?，此時(shí)的波動(dòng)方程表達(dá)式為： （3-19）X為坐標(biāo)，t為時(shí)間，如果我們?nèi)∠疑先齻€(gè)具有代表性的點(diǎn)，根據(jù)琴弦的對(duì)稱性，就可以

7、大致了解整個(gè)弦的振動(dòng)情況；為此，我們不妨選取x=L/6,x=L/3,x=L/2三個(gè)點(diǎn)作為特征點(diǎn)。此時(shí)，分別令x=L/6,x=L/3,x=L/2，代入（3-19），有： （3-20）（3-21）（3-22）（2）若不是在琴弦的正中間撥弦，是在a=L/3處撥弦，則此時(shí)的波動(dòng)方程為： （3-23）僅僅是最前端系數(shù)發(fā)生變化，不影響我們對(duì)問(wèn)題的研究。故僅取a=L/2即可。3.3琴弦特征點(diǎn)的圖像下面依照（3-20）-（3-22）的表達(dá)式作出對(duì)應(yīng)的圖像當(dāng)a取L/6時(shí)當(dāng)a取L/3時(shí)當(dāng)a取L/2時(shí)3.4琴弦特征點(diǎn)圖像的分析綜合上面三張圖可以得到：相同點(diǎn)：三張圖都并不是想象中那種較為正常的正弦波波形，主要是因?yàn)槠?/p>

8、函數(shù)就是2個(gè)sin和一個(gè)cos函數(shù)相乘得到的。仔細(xì)觀察還可以得到，三張圖的周期，即頻率都是一樣的，這與已知到的弦振動(dòng)物理駐波方面的知識(shí)相符。知道上面的直觀結(jié)論后，可以進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)得到，在整條弦上，每一個(gè)點(diǎn)的振動(dòng)都是非正弦且周期的，振動(dòng)過(guò)程中都有一部分極大值是相同的。不同點(diǎn)：1/6弦長(zhǎng)處的平均振幅最小，且波峰最大值持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，1/2弦長(zhǎng)處的的平均振幅最大，且波峰最大值持續(xù)時(shí)間短，1/3弦長(zhǎng)處則是處于中間。在多做實(shí)驗(yàn)可以進(jìn)一步得到，越靠近弦端點(diǎn)處，振幅越小，波峰最大值持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，聲音越容易渾厚低沉；越靠近中點(diǎn)處振幅越大，波峰最大值持續(xù)時(shí)間越短，聲音越容易高亢嘹亮，可見幅值響應(yīng)對(duì)于不同的點(diǎn)是不同的。

9、3.5琴弦振動(dòng)問(wèn)題的結(jié)論及現(xiàn)實(shí)意義事實(shí)上，振幅越大的地方在物理意義就是此時(shí)音量比較大，綜合以上分析，在撥弦的時(shí)候若撥動(dòng)點(diǎn)越靠近中點(diǎn)，則產(chǎn)生音量越大。另一方面，對(duì)于不同撥弦點(diǎn)，其頻率基本是一致的，這也與實(shí)際比較吻合，因?yàn)閷?duì)琴弦樂器，改變音調(diào)（即頻率）的方法就是換一根更長(zhǎng)（或更短）的琴弦撥動(dòng)。3.6 琴弦問(wèn)題的反思及延伸利用matlab程序，我們較好地解決了一維琴弦振動(dòng)問(wèn)題，但是我們并不能滿足于此。因?yàn)槲覀兗热灰呀?jīng)畫出了這根琴弦的振動(dòng)圖像，相當(dāng)于將該琴弦振動(dòng)情況完全模擬了出來(lái)。與此相關(guān)，我們甚至可以求出它振動(dòng)的頻率，找到它的音調(diào)，再予以分析。但由于能力有限，我們找不到合適的方法來(lái)分析該琴弦振動(dòng)的頻

10、譜，只能止步于此。四、遇到的困難及解決方法4.1遇到的困難我們本次課程設(shè)計(jì)遇到了如下困難：（1）如何選擇合適的題目（2）如何表示求和的表達(dá)式（3）如何實(shí)現(xiàn)圖像的對(duì)比（4）動(dòng)態(tài)圖的畫法4.2解決方法（1）對(duì)于題目的選擇，我們經(jīng)過(guò)多次討論后決定對(duì)某一根琴弦振動(dòng)情況進(jìn)行分析，為了更具科學(xué)性，選取不同的撥弦點(diǎn)。（2）對(duì)求和表達(dá)式，引入for循環(huán)和即可解決。（3）為了在不同情況中進(jìn)行清楚的對(duì)比，需要對(duì)坐標(biāo)軸參數(shù)進(jìn)行設(shè)定。（4）對(duì)于動(dòng)態(tài)圖，查閱資料后，用組合函數(shù)的方式予以解決。五、總結(jié)及心得體會(huì)5.1總結(jié)本次通過(guò)matlab程序解決波動(dòng)方程，我們看到了一根琴弦振動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的真實(shí)情況，一來(lái)加深了我們對(duì)方程本身的認(rèn)識(shí)，二來(lái)使我們看到了方程更直觀，更形象的解的實(shí)際情況，實(shí)在是獲益匪淺。5.2心得體會(huì)在完成此次報(bào)告后，我們有以下心得體會(huì)：（1）提出一個(gè)好問(wèn)題往往比解決問(wèn)題更重要。在報(bào)告初期，我們一直在討論到底什么樣的問(wèn)題解決起來(lái)更為直觀，更為有價(jià)值，經(jīng)過(guò)反復(fù)討論，我們決定就研究某一根琴弦在不同的撥弦點(diǎn)的情況下整個(gè)弦上不同點(diǎn)的振動(dòng)情況。（2）遇到問(wèn)題要冷靜，最初我們覺得我們提出的問(wèn)題比較抽象，不知道從何下手，后來(lái)大