微積分下冊知識(shí)點(diǎn)

1、 微積分下冊知識(shí)點(diǎn) 微積分（下）知識(shí)點(diǎn) 微積分下冊知識(shí)點(diǎn) 第一章 空間解析幾何與向量代數(shù) （一） 向量及其線性運(yùn)算 1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面； 2、 線性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘； 3、空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式； ?)bb,?(b,b),aa?(a,a ，利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)4、 zxyzxy?)aa?(aa,)?b,a?ba?a?b?(ab, ；, 則zxyzyyxzx 、 向量的模、方向角、投影：5?222 zyr?x? ；向量的模： 1）222 )?z?x)(y?y)?(z?AB(x? 兩點(diǎn)間的距離公式：）2121212?,

2、 3） 方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角zyx?cos?, ,coscos?方向余弦： 4） rrr222?1coscoscos? ?，cosa?aPrj a? 其中為向量5） 與投影：的夾角。uu 數(shù)量積，向量積（二） ?cos?aba?b 1、 數(shù)量積：?2a?a?a ）1? 0?b?ab?a）2 頁 18 共 頁 2 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn)?b?ab?ab?aa?b zxzxyy?ba?c? 向量積：2、?sinbacb,a, 大?。?，方向：符合右手規(guī)則?0?a?a 1）? 0/ba?b?a?）2? kji?a?b?aaazxy bbbzxy?b?a?b?a 運(yùn)算律：反交換律 曲

3、面及其方程（三） 0?,z):f(x,yS 曲面方程的概念：、1 旋轉(zhuǎn)曲面：2、 yoz0z)?C:f(y, 面上曲線，22y0?z)y,?x?f(軸旋轉(zhuǎn)一周：繞 22,z)y?0f(?x?z 軸旋轉(zhuǎn)一周：繞3、 柱面： F(x,y)?0?F(x,y)?0z?的柱面表示母線平行于 軸，準(zhǔn)線為?z?0?4、 二次曲面（不考） 頁 18 共 頁 3 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn)22yx2z? 橢圓錐面：1）22ba222zxy1? ）2橢球面： 222cba222zxy1?旋轉(zhuǎn)橢球面： 222caa222zyx1?單葉雙曲面： 3）222cab222zyx1? ） 雙葉雙曲面：4222cab22yxz?

4、橢圓拋物面：5） 22ba22yxz?：6） 雙曲拋物面（馬鞍面） 22ba22yx1? 橢圓柱面：7）22ba22yx1? ）雙曲柱面：8 22ba2ay?x9拋物柱面：） （四） 空間曲線及其方程 F(x,y,z)?0? 一般方程：、1 ?G(x,y,z)?0? 頁 18 共 頁 4 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn))x?x(t?tx?acos?)y?y(tty?asin? 參數(shù)方程：、 ，如螺旋線：2?)z?z(t?btz? 3、 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影0?,z)F(x,y?0?,y)H(x?xoy?z? ，得到曲線在面，消去上的投影?0?z)(Gx,y,?0?z? 平面及其方程（五） 0)?y

5、)?C(z?zyA(x?x)?B(? 點(diǎn)法式方程：1、 000?)z,(xy,),Cn?(A,B 法向量：，過點(diǎn)0000?Ax?By?Cz?D 一般式方程：2、zyx1?截距式方程： cab?),CB)n?(A,n?(A,B,C 3、 兩平面的夾角：，22211112CCB?AA?B221121?cos 222222CB?C?BAA?212121 ?0CC?BAA?B?21211122CBA111?/? 21CAB222),zx,y(P0?DCzAx?By? 的距離：點(diǎn)到平面、4 0000Ax?By?Cz?D000?d 222CA?B?（六） 空間直線及其方程 頁 18 共 頁 5 第 微積分

6、（下）知識(shí)點(diǎn)0?Cz?DyAx?B?1111? 1、 一般式方程：?0?Cz?DAx?By?2222z?y?yzx?x000? 對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程：2、 pmn?),y,z(x)pm,n,?s( 方向向量：，過點(diǎn) 000mtx?x?0?nty?y? 參數(shù)式方程：3、0?pt?z?z?0?),ps?(m,n,s?(m,np) 兩直線的夾角：，4、22111212p?pnmm?n211122?cos 222222pm?n?p?m?n?212121 0?pp?mm?nn?L?L22111221pnm111? ?L/L 21pmn222 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，5、Cp?Bn

7、Am?sin 222222pn?m?C?BA? ?L/?0?Bn?CpAm? CBA? ?L pmn 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第二章 基本概念（一） 頁 18 共 頁 6 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn)距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū) 1、 域，有界集，無界集。)yx,z?f( 2、 多元函數(shù)：，圖形：f(x,y)?Alim 極限：、 3)y,y)?(x(x,00f(xlim,y)?f(x,y) 連續(xù)：4、 00,y)(x,y)x?(00 偏導(dǎo)數(shù)：5、 f( x?x,y)?f( x,y) 0000lim)?x,yf(00x?x0?xf(x,y?y)?f(x,y)000

8、0lim)?,f(xy 0y0?y0?y6、 方向?qū)?shù)： ?f?f?fl?coscos?,的方向角。 其中為 y?l?x?jf)x?,gradf(xy)f(,yi?(xy),),(?zfxy ，則 梯度：。、7000x000y?z?zdx?dydz?)x,yz?f(，則全微分：設(shè)、 8 ?x?y（二） 性質(zhì) 1、 函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系： 1 2 偏導(dǎo)數(shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微 必要條件 充分條件4 2 定義 3 函數(shù)連續(xù) 頁 18 共 頁 7 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn) 、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）2 、 微分法3xu 1）

9、定義： z 2） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌tyv),y?v(x),),u?u(xz,yv?f(u,v ，則 若?z?z?u?z?vvz?z?u?z?， ?y?u?y?v?yxx?v?u?x?3） 隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組） （三） 應(yīng)用 1、 極值 z?f(x,y)的極值 1） 無條件極值：求函數(shù)f?0?x?(x,y)，令 求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)解方程組 f?0?00?yB?f(x,y)C?f(x,y)y(x,?Af， ，0000xyyy00xx2AC?B?0A?0，函數(shù)有極小值， 若， 2AC?B?0A?0，函數(shù)有極大值；， 若2AC?B?0，函數(shù)沒有極值； 若2AC?B?0

10、，不定。 若 ?(x,y)?0yz?f(x,下的極值條件極值：求函數(shù)在條件 2）?(x,y),f(xy)?xL(,y) 令： Lagrange函數(shù) ?L?0x?L?0? 解方程組y?(x,y)?0? 頁 18 共 頁 8 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn) 幾何應(yīng)用2、 曲線的切線與法平面1） )t?x(x?)t?y(?:y?t),zyM(x,?曲線上一點(diǎn) ）處的（對(duì)應(yīng)參數(shù)為，則0000?)tz(z?z?yzx?xy?000? 切線方程為： ?)tz(xy(t)(t)000?0)?z?zz(t)(x)x)(tx?y?(t)(yy) 法平面方程為：000000 2） 曲面的切平面與法線0?,yz)?:F(x

11、),y,zM(x? 上一點(diǎn)曲面，則處的切平面方程為：0000?z),z)(z?y?y)?F(x,y)(x?,F(xy,z)(xx)?F(,y,z 00000yx00000z00zz?xyyx000? 法線方程為： )y,zz)xF(,yF(x,z),F(xy,x000y000z000 第三章 重積分 （一） 二重積分（一般換元法不考） n?,)x,y)dlimf(?(f 、定義：1kkk?0?1k?D2、 性質(zhì)：（6條） 3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。 4、 計(jì)算： 1） 直角坐標(biāo) 頁 18 共 頁 9 第微積分（下）知識(shí)點(diǎn) ? ?)(x(x)?y?21),D?y(x ，?b?a?x?xb)

12、(2?)dydy?xx,yfd(xf(x,y)d ?)a(x1D? ?)()?x?y(y21)x,yD?( ，?dc?y?)(yd2?fyd)dx(x,f(x,y)dxdy?y ?)yc(1D 極坐標(biāo)2）?)(?)?( 21? ),(D?)(2?cosdd)(,sindf(x,y)dxy?f ?)(1D 三重積分（二）n?v,?)dv?lim)f(,xf(,y,z 1、定義： kkkk?0?1k? 2、 性質(zhì)： 、 計(jì)算：3 ） 直角坐標(biāo)1x(zy,)2?(ddyz)zfx,y,v,(fx,yz)d?xd -)y(xDz?,1 “先一后二”b?ydx,(fx,yz)dzv),(fxyzd?d

13、D?aZ- 先二后一“” 頁 18 共 頁 10 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn) ） 柱面坐標(biāo)2?cos?x?sin?y?zcosd,dsind,zf(x,y,z)dv?f() ，?zz? 球面坐標(biāo)3）?cosx?rsin?siny?rsin? ?cosz?r?2?d)rr(rsinsincos,rsindsind,r?(fx,y,z)dvcosf ? 應(yīng)用（三） Dy)?y),(x,?S:zf(x, 的面積：曲面z?z22?yAx?()dd1?() y?xD 第五章 曲線積分與曲面積分 （一） 對(duì)弧長的曲線積分 n?s?,?)ds?limf()xf(,y 1、定義： iiiL?0?1?i 2、性質(zhì)：

14、?g(x,y)dsf(x,y)d?ss)(fx,y?x(,y)d?. ）1LLL?f(x,y)ds?,y,)ds?f(xy)ds.xf(L?L?L). ）2 21LLL21 頁 18 共 頁 11 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn)?.y)ds?sg(x,f(x,y)d),y?g(xf(x,y)L 3）在，則上，若LL?lds?L l ) (的長度4）為曲線弧L 、 計(jì)算：3?),(tx?)?(?t?)yf(x,LL的參數(shù)方程為在曲線弧上有定義且連續(xù)，設(shè)?),(y?t?)(t),t(22,?0?)?(t(t) 在其中上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則?2?(?,y)ds?tf(t),()d tf(x ?L 對(duì)坐標(biāo)

15、的曲線積分（二） xoy，)yx,xP(,y)Q(B A L函數(shù)的一條有向光滑弧，為到面內(nèi)從 1、定義：設(shè) n?x?lim)P(,?P(x,y)dx，L 上有界，定義在 kkkL?0?1k?n?y)lim)dyQ(?,?Q(x,y. kkkL?0?1k?y)dQ(x,y?)P(x,ydx?rF?d 向量形式：LL 性質(zhì)：2、?F(x,y)?)?dr?drF(x,y?LL 的反向弧 , 則用表示?LL3、 計(jì)算： LL),yy),Q(x(Px,的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù),設(shè)在有向光滑弧 ?(t?),x?):?(t?),t(t(?,且其，中，導(dǎo)數(shù)階具有在一連續(xù)上?(t),y?22?(t)?)?0t

16、(，則 頁 18 共 頁 12 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn)? t(t)?Q)(t),?)dxQ(x,y)dy?dP),(t(t)t)(tP(x,y ?L 兩類曲線積分之間的關(guān)系：4、?)(x?t?： L?)(x,yL,，設(shè)平面有向曲線弧為處的切向量的方向角為：上點(diǎn)?)(y?t?)(t)(t?cos?cos ，2222?)t(t)?()tt)?(?s)d?Qdy?(PcoscosPdx?Q. 則LL （三） 格林公式L D),y,Q(x,P(xy) 在1、格林公式：設(shè)區(qū)域 是由分段光滑正向曲線 圍成，函數(shù) ?P?Q?Pdx?Qxdy?dy?d?D 則有上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), y?x?LDGP(x,y

17、),Q(x,y)G上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則2、 為一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在?Q?P?Pdx?Qdy?G內(nèi)與路徑無關(guān) 在曲線積分 ?x?yL?Pdx?Qdy?0? 曲線積分Lu(x,y)y)dx,yQ(Px,y)dx?(?G的全微分在 內(nèi)為某一個(gè)函數(shù)（四） 對(duì)面積的曲面積分 1、 定義： f(x,y,z)?上的一個(gè)有界函數(shù)，是定義在為光滑曲面，函數(shù)設(shè) n?S,),?S,(fx,yz)d?limf( 定義iiii?0?1?i2、 計(jì)算：“一投二換三代入” 頁 18 共 頁 13 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn)D)?x,y(),y?z(x?:z ，則，xy22?yd)dx?z(x,y(x,y)1?z(x,y)

18、xf(,y,z)dS?,fxy,z yxD?yx（五） 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 1、 預(yù)備知識(shí)：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量 2、 定義： P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)?上的有界函數(shù)，為有向光滑曲面，函數(shù)是定義在設(shè)n?)S,)(,?,z)dxdy?lim(RR(x,y 定義xyiiii?0?1?in?)S,)(ydz?lim,P(?zP(x,y,)d 同理，yziiii?0?1?in?)?,x?limSR()(,Q(x,y,z)dzd zxiiii?0?1i?3、 性質(zhì)： ?，則 1）21?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? ?yddxzdx?RPdydz?QdR?z

19、Pdyd?Qdzdx?dxdy?21?Rdx?dyRdxdy? ）2 , 表示與則取相反側(cè)的有向曲面? ”、4 計(jì)算：“一投二代三定號(hào)(x,y)?DDR(x,)y,z)xz?z(,yyz?:z?(x,)?在，上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在，xyxy?Rx,y,z(x,yyzxR(,y,)dxd?)dxdy?為 + ”，,上連續(xù)，則為上側(cè)取“D?yx下側(cè)取“ - ”. 5、 兩類曲面積分之間的關(guān)系： 頁 18 共 頁 14 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn)?S?RcoscosPcosd?xPdydz?Qdzdx?Rddy?Q ?,)z(x,y,? 其中在點(diǎn)處的法向量的方向角。為有向曲面 高斯公式（六） ?, 的

20、方向取外側(cè)所圍成高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域1、 , 由分片光滑的閉曲面 ?R,Q,P 則有上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),在函數(shù)?R?P?Q?yddxzdx?R?dxdydz ?QPdydz?d ? z?y?x?RQ?P?Sdydz ?RPcoscos?Qcosd?dx? 或 zy?x? 斯托克斯公式（七） 的正向的側(cè)與 ?的邊界1、 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 ? ?是分段光滑曲線, ? ),zxQ(x,y,z),R(,yxP(,y,z),在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)?, 在包含符合右手法則 則有一階偏導(dǎo)數(shù),?P?RQ?R?Q?P? z?Rddx?Qd?dzdx?ddxy ?yPd?dyz?yx?zy?zx?

21、: 斯托克斯公式還可寫作為便于記憶, dydzdzdxdxdy?Pdx?Qdy?Rd?z ?x?y?z?PQR第六章 常微分方程 1、微分方程的基本概念 含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程； 頁 18 共 頁 15 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn); 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程；. 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階. 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解任意常數(shù)的)(即不可合并而使個(gè)數(shù)減少的如果微分方程的解中含任意常數(shù),且獨(dú)立的. 個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解. 不包含任意常數(shù)的

22、解為微分方程特解 、典型的一階微分方程2dy 可分離變量的微分方程：)yg(h(xf(x)dx或)?yg()dy? dx 1種形式，運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：對(duì)于第 ?xdf(x)g(ydy?)xy? 齊次微分方程：、 2 ?) y(?() 或者x yxyy? 可將其化為可分離方程,()中，令u 在齊次方程y? xxdudyy x?u,y 令u?，則?xu, ? dxxdx 代入微分方程即可。?f(ax?by?c)y(1)形如的方程. ?au?,y?ub?a?f(u原方程可化為).則c,axu?by?令 b c?b?yax?111.的方程)(2形如y?f()cy?ax?b222

23、可通過坐標(biāo)平移去掉常數(shù)項(xiàng)。 3、 一階線性微分方程 ?p(x)y?q(yx)稱為一階線性微分方程。 型如 ?p(x?)dxy?Ce。 其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解為 利用常數(shù)變異法可得到非齊次的線性微分方程的通解 ?xd)dxp(x(?px)?dx?C ) 。ex ?ye(q() 頁 18 共 頁 16 第 微積分（下）知識(shí)點(diǎn) 4、 伯努利方程：n?), 1 ( n?0yq?p(x)y?(x)yn?n1?n?) 1 ( n)?p(xy?0,?q將方程兩端同除以y(,得?yx)y dudy1dudyn?n?1?n ?， y?，則 ?(1?n)y，u令 ?y dx1x?ndxdxd 于是U的通解為：?xddx(1?n)p(x)(?(1?n)px)? q(x)e。 ?Cu?e ( )(1?n) 全微分方程：5、 7、可降階的高階常微分方程） （1(n)?fy(x)型的微分方程 (n)(n?1) 6.4.2y?f(x,y)型的微分方程 （2）?)型的微分方程,y?f 6.4.3y(y 3）（8、線性微分方程解的結(jié)構(gòu) （1）函數(shù)組的線性無關(guān)和線性相關(guān) （2）線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu) 疊加原理：二個(gè)齊次的特解的線性組合仍是其特解；二個(gè)線性無關(guān)齊次的特解的線性組合是其通解 ?x)d?p