微分方程模型.ppt

1、微分方程建模,1. 建立微分方程后需求解出未知函數(shù)(解析式或數(shù)值解) 2.不需要得出解,只研究解的穩(wěn)定性或變化趨勢,對(duì)于某種現(xiàn)象或提出的問題,通過建立微分方程來解釋或解決.通?？煞譃閮纱箢?,微分方程 模型,一.微分方程建模的步驟,1.找出問題中所要研究的函數(shù),2.理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的意義,3.確定導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系,例1 一個(gè)半徑為R的半球形容器內(nèi)開始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為S的小孔在t=0時(shí)刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？,設(shè)h(t)為t時(shí)刻容器中水的高 度,水流速為v(t),解:,t,t+dt時(shí)間段內(nèi)從孔中流出的水量為:,容器損失的水量為:,由質(zhì)量守

2、恒,其中,從而建立方程:,解得,例2 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。,設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r()，見圖,由題意， ，故ds=2dr,由圖可看出，,故有:,追趕方法如下：,先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離,然后按對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。,二.Malthus模型,馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù).（r=b-d,b

3、為出生率，d為死亡率）,三.Logistic模型,人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N),從而有：,令 r(N)=r-aN,分離變量：,滿足初始條件N(0)=N0的解為：,易見：,大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線： 幾乎完全吻合,Malthus模型和Logistic模型的總結(jié),Malthus模型和L

4、ogistic模型均為對(duì)微分方程所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競爭項(xiàng)。,用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。,四.藥物在體內(nèi)的分布,在用微分方程研究實(shí)際問題時(shí)，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)

5、”的觀點(diǎn)來考察問題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。,房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來研究另一問題。,單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：,假設(shè)藥物均勻分布,* 藥物的分解與排泄（

6、輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：,例1 快速靜脈注射,在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：,其解為：,藥物的濃度：,例2 恒速靜脈點(diǎn)滴,藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:,則體內(nèi)藥物總量滿足：,（x(0)=0）,這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為：,或,易見：,例3 口服藥或肌注,口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥

7、物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時(shí)刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：,因而：,所以：,解得：,三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t),五傳染病模型,傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。,將傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：,R類：移出者（Removal），指被隔離，或具有免疫力的人。他們既非感病者，也非易感者，實(shí)際上他們退出了傳染病系統(tǒng),S類：易感者（Susceptible），指未得病者，

8、但 與感病者接觸后容易受到感染；,I類：感病者（Infective），指染上傳染病的人；,1S-I模型,記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)分別為i(t)與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為 i。,解得：,其中：,2S-I-R模型,分別記t時(shí)刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)， 則可建立下面的三房室模型：,由于,鑒于在本模型中的作用， 被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。 的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。,五穩(wěn)定性問題,在研究許多實(shí)際問題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為

9、關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。,一般的微分方程或微分方程組可以寫成：,若方程或方程組f(x)=0有解Xo，稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。,定義2 自治系統(tǒng) 的相空間是指以 （x1,xn）為坐標(biāo) 的空間Rn。,特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面。,空間Rn的點(diǎn)集(x1,xn)|xi=xi(t)滿足自治系 統(tǒng)，i=1,n稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空 間的分布圖稱為相圖。,考察兩階微分方程組：,令 ，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用x記x，則平

10、衡點(diǎn)xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點(diǎn)展開，可寫成:,考察線性近似方程組:,記,1、2為A的特征值,則1、2是方程：,det（A-I）=2- (a+b) + (ad bc )=0的根,令p=a+d, q=ad-bc=|A|， 則 記,僅當(dāng)p0時(shí)， 零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q0時(shí)，有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。,定理2 若線性近似系統(tǒng)的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn) 也是漸近穩(wěn)定的；若線性近似系統(tǒng)的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則非線性系統(tǒng) 的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。,非線性方程組平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有

11、下面 定理成立:,六捕食系統(tǒng)的Volterra方程,意大利生物學(xué)家DAncona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在 19141923年期間，意大利阜姆港收購的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加,他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得

12、其解，無法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問題。,Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。,1、模型建立,大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨(dú)立生存將按增長率為r1的指數(shù)律增長（Malthus模型），即設(shè)：,對(duì)于食餌（Prey）系統(tǒng) ：,由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競爭項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即：,對(duì)于捕食者（Predator）系統(tǒng) ：,捕食者設(shè)其離開食餌獨(dú)立存在時(shí)的死亡率為r2，

13、即：,但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競爭來實(shí)現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計(jì)籌算律，得到：,綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程） 的方程組：,（）,2、模型分析,方程組（）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即：,方程組還有兩組平凡解：,和,和,當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時(shí)， ，應(yīng)有x1(t)0且x2(t)0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。,求相軌線,將兩方程相除消去時(shí)間t，得：,令,用微積分知識(shí)容易證明：,有：,易知僅當(dāng) 時(shí)才有解,當(dāng) 時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。,當(dāng) 時(shí)，軌線為一封閉曲線，即周期解。,證明具有周期解。,只需證明：存在兩點(diǎn) 及 ， 時(shí)，方 程無解。,由 的性質(zhì)， ， 而 ，使得：,。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng) x1 時(shí),。此時(shí)：,由 的性質(zhì)， ，使 成立。,當(dāng)x1= 或 時(shí)， ，,僅當(dāng) 時(shí)才能成立,而當(dāng)x1 時(shí)，由于 ，,故 無解。,確定閉曲線的走向,在每一子區(qū)域， 與 不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向,將Volterra方程中的第二個(gè)改寫成：,將其在一個(gè)周期長度為T的區(qū)間上積分，得,等式左端為零，故可得：,同理：,解釋DAncon