第1章 矢量分析與場論.ppt

1、電磁場與電磁波,鞠秀妍,課程體系,抽象看不見、摸不著 復雜時域、頻域、空域、極化 要求具有較濃厚的數(shù)學功底和較強的空間想像力 應用廣泛,課程特點,電磁場理論的發(fā)展史,1785年法國庫侖(17361806)定律 1820年丹麥奧斯特(17771851)發(fā)現(xiàn)電流的磁場 1820年法國安培(17751836)電流回路間作用力 1831年英國法拉第電磁感應定律 變化的磁場產(chǎn)生電場 1873年英國麥克斯韋(18311879) 位移電流時變電場產(chǎn)生磁場 麥氏方程組 1887年德國赫茲(18571894) 實驗證實麥氏方程組電磁波的存在 近代俄國的波波夫和意大利的馬可尼電磁波傳消息 無線電 當今電信時代“電

2、”、“光”通信,電磁應用,射線 醫(yī)療上用射線作為“手術刀”來切除腫瘤 x 射線 醫(yī)療、飛機安檢，X射線用于透視檢查 紫外線 醫(yī)學殺菌、防偽技術、日光燈 可見光 七色光(紅、橙、黃、綠、青、藍、紫 ）,紅外線 在特定的紅外敏感膠片上能形成熱成像（熱感應） 微波 軍事雷達、導航、電子對抗 微波爐 無線電波 通信、遙感技術,本章主要內容,1、矢量及其代數(shù)運算 2、圓柱坐標系和球坐標系 3、矢量場 4、標量場 5、亥姆霍茲定理,1.1矢量及其代數(shù)運算,1.1.1標量和矢量 電磁場中遇到的絕大多數(shù)物理量， 能夠容易地區(qū)分為標量（Scalar）和矢量(Vector)。 一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱

3、為標量， 例如， 電壓、溫度、時間、質量、電荷等。 實際上， 所有實數(shù)都是標量。 一個有大小和方向的物理量稱為矢量， 電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示成 A=aA 其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A其大小等于1。,一個大小為零的矢量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一個大小為1的矢量稱為單位矢量（Unit Vector）。在直角坐標系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。 空間的一點P(X,Y,Z)能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點指向點

4、P的矢量r稱為位置矢量(Position Vector)，它在直角坐標系中表示為 r=axX+ayY+azZ,圖1-1 直角坐標系中一點的投影,X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A在三維正交坐標系中都可以給出其三個分量。例如，在直角坐標系中，矢量A的三個分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個單位矢量ax、ay、 az 可以將矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小為A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2,1.1.2矢量的加法和減法 矢量相加的平行四邊形法則 ，矢量的加法的坐標分量是兩矢量對應坐標分量之和，矢量加法的結果仍是矢量,1.1.3矢量的乘積

5、矢量的乘積包括標量積和矢量積。 1） 標量積 任意兩個矢量A與B的標量積 (Scalar Product)是一個標量， 它等于兩個矢量的大小與它 們夾角的余弦之乘積，如圖 1-2所示， 記為 AB=AB cos,圖1-2 標量積,例如，直角坐標系中的單位矢量有下列關系式： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意兩矢量的標量積，用矢量的三個分量表示為 AB=AxBx+AyBy+AzBz 標量積服從交換律和分配律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC,2） 矢量積 任意兩個矢量A與B的矢量積（Vector Product）是一個矢量，矢量積的大小等于兩個矢量

6、的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面， 如圖1-3所示，記為 C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）,圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積 (b) 右手螺旋,矢量積又稱為叉積(Cross Product)，如果兩個不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個矢量必然相互平行，或者說，兩個相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即 AB= -BA A(B+C)=AB+AC,直角坐標系中的單位矢量有下列關系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz= 0 在直角坐標系中， 矢

7、量的叉積還可以表示為,=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx),結論,矢量的加減運算同向量的加減，符合平行四邊形法則 任意兩個矢量的點積是一個標量，任意兩個矢量的叉積是一個矢量 如果兩個不為零的矢量的點積等于零，則這兩個矢量必然互相垂直 如果兩個不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個矢量必然互相平行,1.2 圓柱坐標系和球坐標系,1.2.1 圓柱坐標系 空間任一點P的位置 可以用圓柱坐標系 中的三個變量 來表示。,圓柱坐標系中也有三個相互垂直的坐標面。 平面 表示一個以z軸為軸線的半徑為 的圓柱面。 平面 表示一個以z為界的半平面。 平面z=常數(shù) 表示一

8、個平行于xy平面的平面。,圓柱坐標系中的三個單位矢量為 ,分別指向 增加的方向。三者始終保持正交關系。（課本P4） 圓柱坐標系的位置矢量 圓柱坐標系中的單位矢量與直角坐標系的單位矢量之間的關系：,矩陣形式：,三個坐標面的面元矢量與體積元：,1.2.2球坐標系： 球坐標系中，空間任意一點P可用三個 坐標變量（ )來表示。,球坐標系也有三個坐標面： 表示一個半徑為r的球面。 坐標面 =常數(shù)，表示一個以原點為頂點、以z軸為軸線的圓錐面。 坐標面 表示一個以z軸為界的半平面。,球坐標系的位置矢量可表示為： 球坐標系中的三個單位矢量互相正交，遵守右手螺旋法則。（課本P6）,球坐標系與直角坐標系的單位矢量

9、的轉換：,面元矢量和體積元：,1.3 矢量場,1.3.1矢量場的矢量線 矢量場空間中任意一點P處的矢量可用一個矢性函數(shù)A=A（P）來表示。直角坐標中，可以表示成如下形式：,矢量線：在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。如電力線，磁力線等。 矢量線方程： 直角坐標系中，其表達式為：,例1-2 求矢量場A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量線方程。 解： 矢量線應滿足的微分方程為,從而有,解之即得矢量方程,c1和c2是積分常數(shù)。,1.3.2矢量場的通量及散度,將曲面的一個面元用矢量dS來表示，其方向取為面元的法線方向， 其大小為dS，即,n是面元法線方向的單位矢量。,A與面元dS

10、的標量積稱為矢量場A穿過dS的通量,將曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量場A穿過整個曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：,如果曲面是一個封閉曲面，則,2、矢量場的散度,哈米爾頓（Hamilton）算子 為了方便，引入一個矢性微分算子： 在直角坐標系中稱之為哈米爾頓算子，是一個微分符號，同時又要當作矢量看待。算子與矢性函數(shù)A的點積為一標量函數(shù)。在直角坐標系中，散度的表達式可以寫為,結論,divA是一標量，表示場中一點處的通量對體積的變化率，即在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。 它描述的是場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。 當divA0，表示矢量場A在該點處有散

11、發(fā)通量的正源，稱為源點； divA0,表示矢量場A在該點處有吸收通量的負源，稱為匯點；divA=0，矢量場A在該點處無源。 divA0的場是連續(xù)的或無散的矢量場。,3、高斯散度定理 矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分.,例 :球面S上任意點的位置矢量為r=xax+yay+zaz，求,解： 根據(jù)散度定理知,而r的散度為,所以,1.3.2矢量場的環(huán)量及旋度 1、環(huán)量的定義 設有矢量場A，l為場中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場A環(huán)繞閉合路徑l的線積分為該矢量的環(huán)量，記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場A性質的重要物理量，同樣都是積分量

12、。為了知道場中每個點上旋渦源的性質，引入矢量場旋度的概念。,若環(huán)量不等于0，則在L內必然有產(chǎn)生這種場的旋渦源，若環(huán)量等于0，則在L內沒有旋渦源。,矢量場的環(huán)量,閉合曲線方向與面元的方向示意圖,2、矢量場的旋度,1）旋度的定義 設P為矢量場中的任一點，作一個包含P點的微小面元S，其周界為l，它的正向與面元S的法向矢量n成右手螺旋關系。當曲面S在P點處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點，取極限,若極限存在，則稱矢量場A沿L正向的環(huán)量與 面積S之比為矢量場在P點處沿n方向的環(huán)量 面密度，即環(huán)量對面積的變化率。,必存在一個固定矢量R，它在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度，R的

13、方向為環(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。稱固定矢量R為矢量A的旋度。旋度為一矢量。 rotA=R 旋度矢量在n方向上的投影為：,直角坐標系中旋度的表達式為：,一個矢量場的旋度表示該矢量場單位面積上的環(huán)量，描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。 若旋度不等于0，則稱該矢量場是有旋的，若旋度等于0，則稱此矢量場是無旋的或保守的 旋度的一個重要性質： 任意矢量旋度的散度恒等于零， 即 ( A)0,如果有一個矢量場B的散度等于零，則該矢量B就可以用另一個矢量A的旋度來表示，即當 B=0 則有 B= A,3、斯托克斯定理,矢量分析中另一個重要定理是,稱之為斯托克斯定理，其中S

14、是閉合路徑l所圍成的面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關系。該式表明：矢量場A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分。,例：已知一矢量場F=axxy-ayzx, 試求： （1） 該矢量場的旋度; （2） 該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤的線積分， 如圖所示， 驗證斯托克斯定理。,四分之一圓盤,例： 求矢量A=-yax+xay+caz(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量(見圖 1-6)。,解： 由于在曲線l上z=0，所以dz=0。,例:求矢量場A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ax+6

15、ay+3az方向的環(huán)量面密度。 解： 矢量場A的旋度,在點M(1，0，1)處的旋度,n方向的單位矢量,在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度,1.4 標量場,一個僅用大小就可以完整表征的場稱為標量場 等值面 方向導數(shù) 梯度 梯度的積分,1、等值面 為考察標量場的空間分布，引入等值面的概念。一個標量場可以用一個標量函數(shù)來表示。例如，標量 是場中點 的單值函數(shù)，它可表示為 而 是坐標變量的連續(xù)可微函數(shù)，令 隨著C的取值不同，得到一組曲面。在每一個曲面上的各點，雖然坐標值不同，但函數(shù)值均為C。這樣的曲面稱為標量場u的等值面。,例如溫度場中的等值面，就是由溫度相同的點所組成的等溫面；電位場中的等值

16、面，就是由電位相同的點組成的等位面。 如果某一標量物理函數(shù)u僅是兩個坐標變量的函數(shù)，這種場稱為平面標量場（即二維場），則u(x, y)=C （C為任意常數(shù)） 稱為等值線方程，它在幾何上一般表示一組等值曲線。場中的等值線互不相交。如地圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等都是平面標量場的等值線的例子。,2、方向導數(shù) 為了研究標量函數(shù)在場中各點的鄰域內沿每一方向的變化情況，引入方向導數(shù)。 當上式極限存在，則稱它為 函數(shù)u(P)在點P0處沿 方向 的方向導數(shù)。,方向導數(shù)的計算公式： 在直角坐標系中，設 在點P0（x0,y0,z0）處可微，則有 點P0至P點的距離矢量為 若 與 軸的夾角分別為

17、 ,則 同理有 , 也稱為 的方向余弦。,例：,求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：點M的坐標是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為,或,例:求數(shù)量場 在點M(1, 1, 2)處沿 l=ax+2ay+2az方向的方向導數(shù)。 解：l方向的方向余弦為,而,數(shù)量場在l方向的方向導數(shù)為,在點M處沿l方向的方向導數(shù),3、梯度 方向導數(shù)解決了函數(shù)U(P)在給定點處沿某個方向的變化率問題。但是從標量場中的給定點出發(fā)，有無窮多個方向，函數(shù)沿其中哪個方向其變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？ 對同樣的U的增量du

18、，存在著最大的空間增長率，即最大的方向導數(shù)。很明顯，沿等值面的法線方向的方向導數(shù)最大，其距離最短。 因此可定義用來表示一個標量最大 空間的增長率的大小和方向的矢量G， 就是標量的梯度。,梯度公式： 梯度又可以表示為算子與標量函數(shù)相乘： 標量拉普拉斯算子： 直角坐標系中標量函數(shù)的拉普拉斯表達式：,4、梯度的性質： 方向導數(shù)等于梯度在該方向上的投影： 在標量場中任意一點P處的梯度垂直于過該點的等值面，或說等值面法線方向就是該點的梯度方向 由此，可將等值面 上任一點單位法向矢量表示為：,梯度的旋度恒等于零：,5、梯度的積分 設標量場 u,標量場梯度F是一個無旋場，則由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零：,這說明積分與路徑無關，僅與始點P1和終點P2的位置有關。 選定P1為參考點，P2為任意動點，則P2點的函數(shù)值可以表示成： 如果已知一個無旋場，選定一個參考點，就可求得其標量場u.,結論：,1.5 亥姆霍茲定理,矢量場的散度、旋度和標量場的梯度都是場性質的重要度量。換言之，一個矢量場所具有的性質，可完全由它的散度和旋度來表明；一個標量場的性質則完全可以由它的梯度來表明。亥姆霍茲定理就是對矢量場性質的總結說明。 無旋場的散度不能處處為零，同樣，無散場的旋度也不能處處為零，否則矢量場就