數(shù)學(xué)運(yùn)算之大雜燴(二)

1、今天的專(zhuān)題是：年齡問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題、方陣問(wèn)題、統(tǒng)籌問(wèn)題。內(nèi)容比較多。慢慢消化吸收吧。 一、年齡問(wèn)題 年齡問(wèn)題的核心是：大小年齡差是個(gè)不變的量，而年齡的倍數(shù)卻年年不同。 解答年齡問(wèn)題的一般方法是： 幾年后年齡年齡差倍數(shù)差一小年齡， 幾年前年齡小年齡一年齡差倍數(shù)差。 用例題來(lái)強(qiáng)化上述公式的理解吧：） 1、父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問(wèn)：幾年前父親年齡是女兒的5倍？ 解析：父女的年齡差是50-14=36歲。年齡差是不變的。當(dāng)父親的年齡是女兒的5倍的時(shí)候，父親比女兒大了5-1=4倍。因此，36歲是父親比女兒多的4倍年齡。那么，當(dāng)時(shí)女兒的年齡是364=9歲。因此，14-9=5年前父親的年齡是女兒的5倍

2、。 如果公式熟練的話(huà)，就是：14-（50-14）（5-1）=14-9=5 2、10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍.15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍.現(xiàn)在父子倆人的年齡各是多少歲？ 解析：根據(jù)15年后吳昊的年齡是他兒子年齡的2倍，得出父子年齡差等于兒子當(dāng)時(shí)的年齡.因此年齡差等于10年前兒子的年齡加上25歲。 10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍，父子年齡差相當(dāng)于兒子當(dāng)時(shí)年齡的7-1=6倍。 由于年齡差不變，所以?xún)鹤?0年前的年齡的6-1=5倍正好是25歲，可以求出兒子當(dāng)時(shí)的年齡，從而使問(wèn)題得解。 解：兒子10年前的年齡：（10+15）（7-2）=5（歲） 兒子現(xiàn)在年齡：5+10=15（歲）

3、吳昊現(xiàn)在年齡： 57+10=45（歲） 另外，年齡問(wèn)題有很多都可以通過(guò)和差倍的方法來(lái)解題 3、爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲；五年后，爸爸比媽媽大6歲.今年爸爸媽媽二人各多少歲？ 解析：五年后，爸比媽大6歲，即爸媽的年齡差是6歲.它是一個(gè)不變量.所以爸爸、媽媽現(xiàn)在的年齡差仍然是6歲.這樣原問(wèn)題就歸結(jié)成“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”的和差問(wèn)題。 爸爸年齡：（72+6）2=39（歲） 媽媽的年齡：39-6=33（歲） 4、甲對(duì)乙說(shuō)：當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對(duì)甲說(shuō)：當(dāng)我的歲數(shù)到你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將有67歲，甲乙現(xiàn)在各有： A45歲，26歲B46歲，

4、25歲C47歲24歲 D48歲，23歲 解析：下面是推理過(guò)程：假設(shè)甲乙的年齡差為X 則根據(jù)甲的假設(shè)，當(dāng)甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙是4歲。則乙現(xiàn)在的年齡是4+X 因?yàn)榧滓业哪挲g差是X，那么甲現(xiàn)在的年齡是4+2X 因此，根據(jù)乙的假設(shè)，當(dāng)乙的年齡是4+2X時(shí)，甲的年齡是4+2X+X=67 因此X=（67-4）/3=21 乙的年齡（67-4）/3+4=25歲，甲的年齡是4+21*2=46歲 5、今年父親年齡是兒子年齡的10倍，6年后父親年齡是兒子年齡的4倍，則今年父親、兒子的年齡分別是（ ） A60歲，6歲 B50歲，5歲 C40歲，4歲 D30歲，3歲 解析：依據(jù)“年齡差不變”這個(gè)關(guān)鍵和核心，今年父親年

5、齡是兒子年齡的10倍，也即父子年齡差是9倍兒子的年齡。6年后父親年齡是兒子年齡的4倍，也即父子年齡差是3倍兒子的年齡（6年后的年齡）。依據(jù)年齡差不變，我們可知 9倍兒子現(xiàn)在的年齡3倍兒子6年后的年齡 即9倍兒子現(xiàn)在的年齡3（兒子現(xiàn)在的年齡+6歲） 即6倍兒子現(xiàn)在的年齡36歲 兒子現(xiàn)在的年齡3歲 父現(xiàn)在的年齡30歲 注：此種類(lèi)型題在真考時(shí)非常適合使用代入法，只要將四個(gè)選項(xiàng)都加上6，看看是否成4倍關(guān)系，只有D選項(xiàng)符合，用時(shí)不超過(guò)10秒，從而成為最優(yōu)的方法，年齡問(wèn)題基本上都可以用代入法來(lái)解決。 二、植樹(shù)問(wèn)題 基本知識(shí)點(diǎn)： （1）單邊線(xiàn)型植樹(shù)公式：棵樹(shù)=總長(zhǎng)間隔+1；總長(zhǎng)=（棵樹(shù)-1）間隔 （2）單邊

6、環(huán)型植樹(shù)公式：棵樹(shù)=總長(zhǎng)間隔；總長(zhǎng)=棵樹(shù)間隔 （3）單邊樓間植樹(shù)公式：棵樹(shù)=總長(zhǎng)間隔-1；總長(zhǎng)=（棵樹(shù)-1）間隔 （4）雙邊植樹(shù)問(wèn)題公式：相應(yīng)單邊植樹(shù)問(wèn)題所需棵樹(shù)的2倍。 練習(xí)和解析： 1、將一根繩子連續(xù)對(duì)折3次，然后每隔一定長(zhǎng)度剪一刀，共剪6刀，問(wèn)這樣的操作后，原來(lái)的繩子被剪成了幾段？ A、18段 B、 49段 C、42段 D、52段 解析：繩子對(duì)折三次，共有23=8股。共剪6刀，也就是每股上有6個(gè)斷點(diǎn)，所以一共有48個(gè)斷點(diǎn)，共分出49段。 2、某工地從一條直道的一端到另一端，每隔4米打一個(gè)木樁，共打了37個(gè)，現(xiàn)在要改成每隔6米打一個(gè)木樁，那么可以不拔出來(lái)的木樁共有（）個(gè)？ A、11 B、1

7、2 C、13 D、14 解析：根據(jù)題意，每隔12米就有一根木樁不需要拔出來(lái)。（12是4和6的最小公倍數(shù)） 根據(jù)單邊線(xiàn)型植樹(shù)公式總長(zhǎng)=（37-1）*4=144米 因此14412+1=13根木樁不需要拔出。 3、在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，自左向右每隔6米染一個(gè)紅點(diǎn)，同時(shí)自右向左每隔5米染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿這些紅點(diǎn)鋸開(kāi)，則木棍被鋸成了幾段？ A、30 B、32 C、33 D、36 解析：每隔5厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，最后一個(gè)點(diǎn)染到第95cm，因此一共染了955=19個(gè)點(diǎn) 每隔6厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，最后一個(gè)點(diǎn)染到第96cm一共染了966=16個(gè)點(diǎn) 而重合的點(diǎn)一共有第30厘米，60cm和90cm這3個(gè)點(diǎn) 因此一共有

8、19+16-3=32個(gè)點(diǎn)，因此一共被鋸成了33段 三、方陣問(wèn)題 基本知識(shí)點(diǎn)： （1）方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問(wèn)題的核心） （2）方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)4）1 （3）方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2 （4）去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)21 1、參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問(wèn)參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人？ 解析：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)*2-1 因此，33=去掉的每邊人數(shù)*2-1 去掉的每邊人數(shù)=17，也就是最外層每邊人數(shù) 方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所

9、以總?cè)藬?shù)為1717=289（人） 2、晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？ 解析：方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。 解：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）4=52（個(gè)） 第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）4=44（個(gè)） 第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-22-1）4=36（個(gè)）. 擺這個(gè)方陣共用棋子：52+4436132（個(gè)） 中空方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）層數(shù)4 3、有若干人，排成一個(gè)空心的四層方陣?，F(xiàn)在調(diào)整陣型，把最外邊一層每邊人數(shù)減少

10、16人，層數(shù)由原來(lái)的四層變成八層，則共有（）人？ A、160 B、1296 C、640 D、1936 解析：使用中空方陣總個(gè)數(shù)的公式 假設(shè)原來(lái)每邊有X人，調(diào)整后每邊有X-16人，根據(jù)總個(gè)數(shù)不變 則（X-4）*4=（X-16-8）*8解得X=44人 因此，總?cè)藬?shù)為（44-4）*4*4=640人 四、統(tǒng)籌問(wèn)題 這部分內(nèi)容是直接脫離開(kāi)公考教材，參考的小學(xué)奧數(shù)編寫(xiě)的，統(tǒng)籌的思維，公考書(shū)里給出的內(nèi)容太少，而統(tǒng)籌類(lèi)的題目相對(duì)比較難把握。所以我希望能夠通過(guò)小學(xué)奧數(shù)的一些方法，給大家一些啟發(fā)吧不多說(shuō)了，直接根據(jù)題目來(lái)總結(jié)規(guī)律吧。 1、某工地A有20輛卡車(chē)，要把60車(chē)渣土從A運(yùn)到B，把40車(chē)磚從C運(yùn)到D（工地道

11、路圖如下圖所示），問(wèn)如何調(diào)運(yùn)最省汽油？ 解析：把渣土從A運(yùn)到B或把磚從C運(yùn)到D，都無(wú)法節(jié)省汽油.只有設(shè)法減少跑空車(chē)的距離，才能省汽油。解：如果各派10輛車(chē)分別運(yùn)渣土和磚，那么每運(yùn)一車(chē)渣土要空車(chē)跑回300米，每運(yùn)一車(chē)磚則要空車(chē)跑回360米，這樣到完成任務(wù)總共空車(chē)跑了3006036040=32400（米）。如果一輛車(chē)從ABCDA跑一圈，那么每運(yùn)一車(chē)渣土、再運(yùn)一車(chē)磚要空車(chē)跑240+90330（米）. 因此，先派20輛車(chē)都從A開(kāi)始運(yùn)渣土到B，再空車(chē)開(kāi)往C運(yùn)磚到D后空車(chē)返回A，這樣每輛車(chē)跑兩圈就完成了運(yùn)磚任務(wù).然后再派這20輛車(chē)都從A運(yùn)渣土到B再空車(chē)返回A，則運(yùn)渣土任務(wù)也完成了.這時(shí)總共空車(chē)跑了 330

12、40+3002019200（米）. 后一種調(diào)運(yùn)方案比前一種減少跑空車(chē)13200米，這是最佳節(jié)油的調(diào)運(yùn)方案。 說(shuō)明：“節(jié)省跑空車(chē)的距離”是物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題的一個(gè)原則：下面通過(guò)例子再介紹“避免對(duì)流”的原則。 2、一支勘探隊(duì)在五個(gè)山頭A、B、C、D、E設(shè)立了基地，人數(shù)如右圖所示.為調(diào)整使各基地人數(shù)相同，如何調(diào)動(dòng)最方便？（調(diào)動(dòng)時(shí)不考慮路程遠(yuǎn)近） 解析：在人員調(diào)運(yùn)時(shí)不考慮路程遠(yuǎn)近的因素，就只需避免兩個(gè)基地之間相互調(diào)整，即“避免對(duì)流現(xiàn)象”。 解：五個(gè)基地人員總數(shù)為17+4+16+14+9=60（人） 依題意，調(diào)整后每個(gè)基地應(yīng)各有605=12（人）。 因此，需要從多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、

13、E調(diào)人.為了避免對(duì)流，經(jīng)試驗(yàn)容易得到調(diào)整方案如下：先從D調(diào)2人到E，這樣E尚缺1人；再由A調(diào)1人給E，則E達(dá)到要求.此時(shí)，A尚多余4人，C也多余4人，總共8人全部調(diào)到B，則B亦符合要求。 調(diào)動(dòng)示意圖如右圖所示.這樣的圖形叫做物資流向圖.用流向圖代替調(diào)運(yùn)方案，能直觀(guān)地看出調(diào)運(yùn)狀況及有無(wú)對(duì)流現(xiàn)象，又可避免列表和計(jì)算的麻煩，圖中箭頭表示流向，箭桿上的數(shù)字表示流量。 3、在一條公路上每隔100千米有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，共有5個(gè)倉(cāng)庫(kù).一號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有10噸貨物，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有20噸貨物，五號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有40噸貨物，其余兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)是空的?，F(xiàn)在想把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸1公里需要0.5元運(yùn)輸費(fèi)，那么最少要

14、多少運(yùn)費(fèi)才行？ 解析：根據(jù)“小往大處靠”的原則，先把一號(hào)倉(cāng)庫(kù)的10噸貨物送往二號(hào)倉(cāng)庫(kù)集中，需運(yùn)費(fèi) 100.5100=500（元）。 這時(shí)可以認(rèn)為二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有30噸貨物，而五號(hào)倉(cāng)庫(kù)有40噸貨物，于是又應(yīng)把二號(hào)倉(cāng)庫(kù)的30噸貨物運(yùn)往五號(hào)倉(cāng)庫(kù)集中，需運(yùn)費(fèi)300.5300=4500（元）。 所以，把貨物集中存放在五號(hào)倉(cāng)庫(kù)時(shí)所花運(yùn)費(fèi)最少，需要5004500=5000（元）。 說(shuō)明：“小往大處靠”的原則與各條路徑的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系，而且只適用于非閉合路徑。實(shí)際操作中，我們應(yīng)該從中間開(kāi)始分析，這樣可以更快地得到答案。 比如，把上題稍微改一下： 4、一號(hào)倉(cāng)庫(kù)有30噸貨物，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有20噸貨物，其他倉(cāng)庫(kù)存貨仍然如前，那

15、么應(yīng)該往哪個(gè)倉(cāng)庫(kù)集中呢？ 解析：從中間開(kāi)始分析，2號(hào)倉(cāng)庫(kù)和5號(hào)倉(cāng)庫(kù)之間的路，左邊是20+30=50噸，右邊是40噸，所以應(yīng)該往左靠。然后比較1號(hào)和2號(hào)倉(cāng)庫(kù)，左邊是30噸，右邊是20+40=60噸，往右靠。 因此，應(yīng)該把1號(hào)和5號(hào)倉(cāng)庫(kù)的貨物都運(yùn)到2號(hào)倉(cāng)庫(kù)來(lái)集中，運(yùn)費(fèi)最省。 5、甲、乙兩個(gè)服裝廠(chǎng)每個(gè)工人和設(shè)備都能全力生產(chǎn)同一規(guī)格的西服，甲廠(chǎng)每月用3/5的時(shí)間生產(chǎn)上衣，2/5的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)900套西服；乙廠(chǎng)每月用4/7的時(shí)間生產(chǎn)上衣，3/7的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)1200套西服。現(xiàn)在兩廠(chǎng)聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長(zhǎng)多生產(chǎn)西服，那么現(xiàn)在每月比過(guò)去多生產(chǎn)西服多少套？ 解析：根據(jù)已知條件，甲廠(chǎng)生產(chǎn)一條褲子與一件上衣的時(shí)間比是2：3，因此在單位時(shí)間內(nèi)，甲廠(chǎng)生產(chǎn)的上衣與褲子的數(shù)量之比是2：3.同理可知，在單位時(shí)間內(nèi)乙廠(chǎng)生產(chǎn)上衣與褲子的數(shù)量之比是3：4 由于3/42/3。因此，乙廠(chǎng)擅長(zhǎng)生產(chǎn)上衣，甲廠(chǎng)擅長(zhǎng)生產(chǎn)褲子。 因此，兩廠(chǎng)聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長(zhǎng)，安排乙廠(chǎng)全力生產(chǎn)上衣，甲廠(chǎng)全力生產(chǎn)褲子 那么乙廠(chǎng)全月可生