復(fù)變函數(shù)級數(shù).ppt

1、第三章 復(fù)變函數(shù)級數(shù),復(fù)變函數(shù)的無窮級數(shù)（新運算）,求和： 連續(xù)求和積分 離散求和級數(shù) 重要性： 積分和級數(shù)是表達函數(shù)的兩大工具 內(nèi)容： 級數(shù)收斂性和求和方法 復(fù)變函數(shù)展開為級數(shù)（復(fù)變函數(shù)的級數(shù)表示） 級數(shù)的運算,3.1 冪級數(shù),復(fù)數(shù)項級數(shù) 收斂性： 若級數(shù) 的 部分和序列 有有限極限 ，則稱該級數(shù)收斂，其和為 ，否則該級數(shù)發(fā)散。,絕對收斂： 若 組成的級數(shù)收斂， 則稱該級數(shù)絕對收斂。 絕對收斂 收斂,？,收斂判別法 基本法則Cauchy判據(jù) 任給 ，必有N存在，當 時 對任意的正整數(shù)p有 特殊法則比較判別法 由基本法則可知，若對充分大的k有 ，則,發(fā)散 發(fā)散 收斂 收斂,具體比較判別法 與標

2、準級數(shù)比較，如幾何級數(shù) 比值判別法（dAlembert判別法） 根式判別法（Cauchy判別法）,r1時級數(shù)發(fā)散；r=1時不一定。,級數(shù)的代數(shù)運算 若 ， 加減法：兩收斂級數(shù)的和與差級數(shù)仍收斂，且,乘法：兩絕對收斂級數(shù)的乘積絕對收斂，且其和與乘積項的排列次序無關(guān),n012,除法是乘法的逆運算,n -1 0 1,復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 收斂性： 若復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 在某個區(qū)域D內(nèi)所有點處收斂， 則稱該級數(shù)在D內(nèi)收斂。,一致收斂性 定義：若對任意e 0，必有一個不依賴于z的N(e)存在，使 時，有 則函數(shù)項級數(shù)在 D 上一致收斂。,特殊判別法： 正實常數(shù)項收斂級數(shù) 有 則 在 D 上一致收斂。,一致收斂級數(shù)

3、性質(zhì)： 連續(xù)性： 在有限（開）區(qū)域D內(nèi) 連續(xù)，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上 一致收斂，則和函數(shù) 在D內(nèi)連續(xù)。,一致收斂級數(shù)性質(zhì)： 積分性質(zhì)： 在有限（開）區(qū)域D內(nèi) 解析，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上 一致收斂，則其和在D內(nèi)解析且可沿l逐項積分，即,一致收斂級數(shù)性質(zhì)： 微商性質(zhì)： 在有限（開）區(qū)域D內(nèi) 解析，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上 一致收斂，則其和在D內(nèi)解析且可逐項微商任意多次，即,冪級數(shù) 定義： 主要研究整數(shù)冪級數(shù)，特別是非負整數(shù)冪級數(shù)； 稱為以a為中心的冪級數(shù)。,收斂特性：以a為中心的冪級數(shù) 在某個圓 內(nèi)收斂且絕對收斂 在 上絕對一致收斂 在圓外 發(fā)散 收斂圓 收斂半徑,Abel定理： 冪級數(shù) 在某點 處收斂 它在

4、 上收斂且絕對收斂 它在 上絕對一致收斂,證：（利用比較判別法） 級數(shù) 在 內(nèi)收斂,收斂,推論：若冪級數(shù)在某點 處發(fā)散，則它在 處發(fā)散,收斂半徑的求法（比值或根式判別法） 冪級數(shù)運算性質(zhì)： 冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)其和是解析函數(shù)，且可任意次逐項積分、逐項微商。,例1,例2,3.2 泰勒級數(shù)及解析延拓,Taylor展開定理： 已知f(z)在z=a處解析，z0為f(z) 距離a點最近的奇點，則 其中 ，且展開唯一。,證：1）利用解析函數(shù)的積分特征 Cauchy積分公式 2）將 展開為以a為中心的冪級數(shù) 3）逐項積分 4）再利用Cauchy導數(shù)公式,具體計算： 展開： 逐項積分：,利用導數(shù)公式： 唯一性：,

5、Taylor展開方法： 基本方法（Taylor展開定理） 特殊方法（冪級數(shù)運算） 線性運算 乘除運算 復(fù)合運算 微積分運算,Taylor展開例子： 例1 求 ez 在 鄰域的Taylor 展開。 解：因為 故 收斂半徑,例2 求 ez 在 鄰域的Taylor 展開。 解：因為 故 收斂半徑：,例3 求 和 在 z=0 鄰域的Taylor 展開,類似的有,例4 求 在 z=0 鄰域的Taylor展開,例5 求 （a為任意復(fù)常數(shù)） 在z=0鄰域的泰勒展開 當a 整數(shù)時，f (z)為多值函數(shù)，須在指定葉 上展開。z=-1是其支點，若取負實軸上(-,-1) 為割線，規(guī)定 （k為整數(shù)）,因 所以有,例6

6、 求 在z=1鄰域的泰勒展開 若取負實軸(-,0)為割線，規(guī)定 （k為整數(shù)） 因 有積分 代入并逐項積分,無窮遠點鄰域的Taylor展開： 若存在R使f (z)在以z=0為圓心R為半徑的圓外（包括z=）解析 只需作變換,解析延拓 延拓：定義域擴大 定義： 函數(shù)f(z)在d上解析，如果能夠把它的解析區(qū)域擴大，即 在D內(nèi)解析 （ ） 這種延拓稱為d上解析函數(shù)由d到D-d的解析延拓。,唯一性定理： 若在區(qū)域D內(nèi)兩解析函數(shù) Fk , k=1, 2，在D上內(nèi)某條曲線l上 相等則必在整個區(qū)域D內(nèi)相等。 （證明：利用級數(shù)特征）,解析延拓方法 基本方法：利用解析函數(shù)級數(shù)或積分特征 例：,3.3 洛朗級數(shù)及奇點

7、分類,非正整冪級數(shù) 非正整冪級數(shù) 非負整冪級數(shù),收斂性： 在圓外 收斂且絕對收斂； 在 上絕對一致收斂， 在圓內(nèi) 發(fā)散； 在圓外 定義一個解析函數(shù),根據(jù)Taylor展開定理，在 z=點解析的函數(shù)可以在其鄰域展開為非正整冪級數(shù),Laurent級數(shù) 定義：整冪級數(shù) 稱為以a為中心的洛朗級數(shù)；它由非負整冪級數(shù)和非正整冪級數(shù)組成 收斂性： 在以a為中心的環(huán)內(nèi) 收斂且絕對收斂 其和在環(huán)內(nèi)解析,Laurent展開定理： 已知f(z)在環(huán)內(nèi) 解析，則 ，其中 c為環(huán)內(nèi)將z=a圍在其內(nèi)的任意光滑曲線。且展開唯一。,證： 復(fù)通區(qū)域Cauchy積分公式 把被積函數(shù)展開為冪級數(shù),逐項積分 解析函數(shù)的積分特征,幾點說

8、明： 若函數(shù)f(z)在 內(nèi)解析，則展開退化為泰勒展開 盡管洛朗展開系數(shù)an的公式與泰勒展開系數(shù)的積分公式形式一樣，但一般來說,Laurent展開方法： 基本方法：展開公式 特殊方法：利用冪級數(shù)運算 線性運算 乘積運算 復(fù)合運算 微積分運算,例 1 求 在環(huán)內(nèi) 的洛朗展開 基本方法：,特殊方法：,例 2 求 在環(huán)內(nèi) 的洛朗展開,例 3 在 的鄰域內(nèi)將 展開為洛朗級數(shù),例 4 在 的鄰域內(nèi)將 展開為洛朗級數(shù),奇點分類：孤立奇點與非孤立奇點 已知z=z0是單值函數(shù)f(z)的奇點，若在其一個鄰域內(nèi)除它外都解析，則稱z=z0為函數(shù)的孤立奇點，否則稱為非孤立奇點。,幾個例子： 函數(shù) ，z=0, i, 為其

9、孤立奇點； 函數(shù) 僅在Re(z)=0處可導，所以復(fù)平面上所有點均為非孤立奇點;,函數(shù) 奇點為z=0和滿足 方程 的點即 為孤立奇點; 為非孤立奇點。,孤立奇點分類： 有限孤立奇點分類：設(shè)z=z0是f(z)有限孤立奇點且有洛朗展開 按展開中負冪項的個數(shù)分類： 可去奇點：展開中不含負冪項 m階極點：展開中含有有限個負冪項 本性奇點：展開中含有無窮多個負冪項,幾個例子： z=1是函數(shù) 的一階極點 z=0是函數(shù) 的本性奇點,無窮遠孤立奇點分類：設(shè)z=是f(z)的孤立奇點且在其鄰域有洛朗展開 按展開中正冪項的個數(shù)分類： 可去奇點：展開中不含正冪項 m階極點：展開中含有有限個正冪項 本性奇點：展開中含有無

10、窮多個正冪項,幾個例子： z=是函數(shù) 的5階極點 z=是函數(shù) 的本性奇點,孤立奇點分類：按極限分類： 可去奇點： 單極點： m階極點： 本性奇點： 不存在,例子： z=0是函數(shù) e1/z 的本性奇點，在0z 的環(huán)域內(nèi)，它的 Laurent 級數(shù)為 z 沿正實軸0 時，1/z , 故 e1/z z 沿負實軸0 時，1/z , 故 e1/z ,z 沿虛軸，按i/(2n) 0 時，e1/z 1 z 按序列,函數(shù) e1/z 的實部與虛部,孤立奇點類型判斷： 奇點的判斷：（解析的判斷） 初等函數(shù)無意義的點（支點除外） 孤立奇點的判斷：（解析性的判斷） 三大特征：（導數(shù)、積分、級數(shù)） 孤立奇點類型的判斷： 基本法則：（洛朗展開和極限特征） 特殊法則：,特殊法則： 一個函數(shù)加減（乘除）在z點解析（且不為零）的函數(shù)不改變z點的奇點類型 若z點是f(z)的本性奇點，是g(z)的非本性孤立奇點，則z點是fg, fg, f/g的本性奇點 函數(shù)f(z)對z微商不改變其（有限）孤立奇點類型，但改變極點階數(shù)；對無限孤立奇點，微商可能將極點變成可去奇點 有限點z是函數(shù)f(z)的m階零點 有限點z是1/f(z)的m階極點,有限階支點： 作變換 在 平面單葉圓環(huán)上展開 無負冪項：解析型支點； 有限個負冪項：極點型支點 無限個負冪項：本