完整版高中積分微分知識點及習(xí)題

1、 積分和微分 積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種 1、不定積分為任意常數(shù)）（C我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C的一個原函數(shù) 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x),f(x)dx叫做積量叫做積分號, f(x)叫做被積函數(shù), x其中叫做函數(shù)f(x)的不定積分. 記作f(x)dx. 求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分叫做被積式,C叫做積分常數(shù), 由定義可知：只要求出,f(x)的所有的原函數(shù),由原函數(shù)的性質(zhì)可知, 求函數(shù)f(x)的不定積分就是要求出. 的不定積分再加上任意的常數(shù)C,就得到函數(shù)f(x)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),. 求原函數(shù),即知道了導(dǎo)函數(shù),積分是微分的逆運算 也可以表述成

2、, 2、定積分而積分是已,.,微積分的兩大部分是微分與積分微分實際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 眾所周知. 微分與積分互為逆運算.求這一函數(shù)所以,知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而若也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)是單純的積分,實際上 ,積分還可以分為兩部分.第一種,不一定能積分,f(x)F(x)+CF(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x),那么（C是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)也是f(x),也就是說,把,f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個F(x)+C得到F(x),因為的導(dǎo)數(shù)也是f(x),C是無窮無盡的常數(shù),所以. ,這就稱為不定積分是不確定的,我們一律用F(x)+C代替. ,就是定積分 而相對于不定積分,寫在上限f(x) dx (a寫在上面,下限b下面).之所以稱其

3、為定積分所謂定積分 ,其形式為. ,是因為它積分后得出的值是確定的是一個數(shù),而不是一個函數(shù)就是把直角坐標(biāo)系上的定積分的正式名稱是黎曼積分 ,詳見黎曼積分.用自己的話來說,上的矩形累加函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形,然后把某個區(qū)間a,b定積分的上下限就是區(qū)間的,所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b的面積.實際上,起來b. 兩個端點a、而積分的本質(zhì)是求一個函,定積分的本質(zhì)是把圖象無限細分,再累加起來, 我們可以看到? .它們看起來沒有任何的聯(lián)系,那么為什么定積分寫成積分的形式呢數(shù)的原函數(shù)使得它們有,但是由于一個數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐, 定積分與積分看起來風(fēng)馬牛不相及,但是由于這

4、個理論這似乎是不可能的事情.把一個圖形無限細分再累加,了本質(zhì)的密切關(guān)系 它的內(nèi)容是：,萊布尼茲公式-這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓.可以轉(zhuǎn)化為計算積分b)=F(a)-F(b) 下限 (f(x) dx上限a 若F(x)=f(x) 那么就是上限在原函數(shù)的值與下就是說一個定積分式的值,-萊布尼茲公式用文字表述, 牛頓. 限在原函數(shù)的值的差可見其在微積分學(xué)以至更高等的數(shù), 正因為這個理論,揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系. 萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理-學(xué)上的重要地位,因此,牛頓 3、微積分,積分作用不僅如此在應(yīng)用上,即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),反求原函數(shù). 積分是微分的逆運算這巧妙的求解方法是積分特殊

5、的性質(zhì),通俗的說是求曲邊三角形的面積它被大量應(yīng)用于求和這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一決定的。一個函數(shù)的不定積分（亦稱原函數(shù)）指另一族函數(shù),它等于該函數(shù)的.函數(shù)其中：F(x) + C = f(x)。一個函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分,是一個實數(shù). 的值一個原函數(shù)在b的值減去在a 幾何意義：在縱坐標(biāo)對應(yīng)xMx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標(biāo)上的增量,y是曲線在點 設(shè)|y|比dy|的切線對應(yīng)x在縱坐標(biāo)上的增量.當(dāng)|x|很小時,|y上的增量,dy是曲線在點M. M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段要小得多(高階無窮小),因此在點. 可得出多元微分得定義,當(dāng)自變量為多個時,多元微分：同理u d(uv

6、)=duv+dv d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv 運算法則：dy=f(x)dx d(u/v)=(duv-dvu)/v2 1、定積分 說明： （1）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零； （2）用定義求定積分的四個基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限. 2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式) ?a,b)xf()Fx(x)?f(上可積，則，且 如果在bb? )(ab)?F?dx?F(x)F()f(x ，aa ?(x)?f?F(x)CF(x)?)fF(x)(x】的一個原函數(shù)，因為【其中叫做 3、常用定積分公式 ?1x?cx?1dx?0?dx?cc?dx?1)?c(?x （

7、為常數(shù)） ?1?1xx?ce?dxe? c?x?dxln xxax1)?a?0,a?adx?c( alnc?xdx?sinx?xdx?cosx?ccos?sin 110)?c(a?0)?cosaxdx?sinaxdx?sinaxcosax?c(a aa 、定積分的性質(zhì)4 bbbbb?dx)g(f(x)dxdx?f(x)?g(x)dx?kkf(x)dx?xf(x)k 為常數(shù)）；（ ；aaaaabbc?)c?ba?dx(xx)dx?)f(x)dx?ff(; （其中aaca)(xf(x)fa?a,?是則;是若若利用函數(shù)的奇偶性求定積分:上的奇函數(shù),0f(x)dx?a? aa?a?a,dxf(x)dx

8、f(x)?2. ,則上的偶函數(shù)0?a 5、定積分的幾何意義 b?dxx)f(bx?xax?ab,)xf(y?軸所定積分、與直線表示在區(qū)間上的曲線以及a 圍成的平面圖形（曲邊梯形）的面積的代數(shù)和。 6、求曲邊梯形面積的方法與步驟 畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像； 借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限； 寫出定積分表達式；. 求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和 一、選擇題32xyyx) 山東理，7)由曲線 圍成的封閉圖形面積為，( 1(20107111 D.C. A. B. 1231243xyxxy) 所圍成的圖形的面積為( 0和曲線2由三條直線 0、

9、2、1846 D B. C. A4 53yyxx) ( 與直線 1cos所圍成的圖形面積是(02)3曲線3 D C. 2 B3A 2tttFx) ( 1,5(4)d上在4函數(shù)()32 和最小值有最大值，無最小值 B0A有最大值0 332 既無最大值也無最小值有最小值，無最大值 DC 3 12xxxatfnnaSnf的取d，若則5已知等差數(shù)列的前項和2(，函數(shù)()nn3t) 值范圍是( ?32111?eee) D(0B A. ，) C(，(0，?611e) yOABC的矩形內(nèi)，曲線如圖所示，在一個長為，寬為6(2010福建廈門一中)2OABCxxx該點落sin(0內(nèi)隨機投一點)與軸圍成如圖所示的

10、陰影部分，向矩形(OABC) 在矩形內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是( 123 B.D.A. C. 4 xx0)14(2010安徽合肥質(zhì)檢)拋物線與直線3lxyl的方程為_0，則與拋物線相切且平行于直線2 6若直線32fxxaxbxabR)已知函數(shù))()，的圖象如圖所示，它福建福州市15(2010xx軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域(圖中陰影部分與軸在原點處相切，且)的 1a的值為_面積為，則 12 SS) 表示圖中陰影部分的面積，則 的值是17用( cxxf (A)d?acxxf| B|()d?acbxfxfxx (C()d)d?babcxfxxxf ()d)d(D?ab xyfxfxxf2. 18設(shè)()是二次函數(shù)，方程()0有兩個相等的實根，且2xfy (