高考數(shù)學(xué)試題--理科（北京卷）解析版

1、絕密使用完畢前 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)（理）（北京卷）本試卷分第卷和第卷兩部分。第卷1至2頁(yè)、第卷3至5頁(yè)，共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡。第卷（選擇題 共140分）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1） 集合，則=(A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)x|0x3 (D) x|0x3（2）在等比數(shù)列中，公比.若，則m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12（3）一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分

2、別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為（4）8名學(xué)生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A） （B） （C） （D）（5）極坐標(biāo)方程（p-1）（）=（p0）表示的圖形是（A）兩個(gè)圓 （B）兩條直線（C）一個(gè)圓和一條射線 （D）一條直線和一條射線（6）a、b為非零向量?！啊笔恰昂瘮?shù)為一次函數(shù)”的（A）充分而不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a 的取值范圍是（A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, (8)如圖，正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2，

3、動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），則四面體PE的體積（）與，都有關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)第II卷（共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。（9）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 。（10）在ABC中，若b = 1，c =，則a = 。（11）從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a 。若要從身高在 120 , 130），130 ，140) , 140 , 150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一

4、項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在140 ，150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 。（12）如圖，的弦ED，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A。若BDAE，AB4, BC2, AD3,則DE ；CE 。（13）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 。（14）（14）如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)。設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是，則的最小正周期為 ；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為 。說明：“正方形PABC沿軸滾動(dòng)”包括沿軸正方向和沿軸負(fù)方向滾動(dòng)。沿軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)。類似

5、地，正方形PABC可以沿軸負(fù)方向滾動(dòng)。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題共13分）已知函數(shù)。（）求的值；（）求的最大值和最小值。（16）（本小題共14分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。(17)(本小題共13分)某同學(xué)參加3門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為，()，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立。記為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課

6、程數(shù)，其分布列為0123()求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；()求，的值；()求數(shù)學(xué)期望。(18)(本小題共13分)已知函數(shù)()=In(1+)-+(0)。()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。（19）（本小題共14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（20）（本小題共13分）已知集合對(duì)于，定義A與B的差為A與B之

7、間的距離為（）證明：，且;（）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)() 設(shè)P，P中有m(m2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).證明：（P）.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）()2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案一、 選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）（1）B （2）C （3）C （4）A（5）C （6）B （7）A （8）D二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9）（-1,1） （10）1（11）0.030 3 （12）5 （13）（，0） （14）4 三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）

8、解：（I）（II） =,因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值（16）（共14分）證明：（I） 設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G。因?yàn)镋F/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF/平面EG，因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE，所以AF/平面BDE.（II）因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-.則C（0，0，0），A（，0），B（0，0）.所以，.所以,所以,.所以BDE.(III) 由（II）知，是平面BDE的一個(gè)法向量.設(shè)平面ABE的法向量,則，.即所以且令則.所以.從而。因

9、為二面角為銳角，所以二面角的大小為.（17）（共13分）解：事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”，=1,2,3，由題意知，（I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”與事件“”是對(duì)立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率是，（II）由題意知整理得 ，由，可得，.（III）由題意知=（18）（共13分）解：（I）當(dāng)時(shí)，由于，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即 （II），.當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（19）（共14分）（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得化簡(jiǎn)得 .故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,.則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積又直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離.于是的面積當(dāng)時(shí)，得又，所以=，解得。因?yàn)椋怨蚀嬖邳c(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則.因?yàn)?所以所以即 ，解得因?yàn)?，所以故存在點(diǎn)S使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.（20）（共13分）證明：（