九年級數(shù)學(xué)上冊 3.3 圓周角 利用圓周角與圓心角關(guān)系解題素材 （新版）青島版

1、利用圓周角與圓心角關(guān)系解題我們知道，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于該弧所對的圓心角的一半，即同圓或等圓中圓周角相等，可以得到圓心角也相等.利用圓周角與圓心角的這種關(guān)系，我們求解許多與之相關(guān)的問題，現(xiàn)舉例說明.例1已知：如圖1，O的兩條弦AE，BC相交于點(diǎn)D，連結(jié)AC，BE，AO，BO，若ACB60，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A.AOB60 B.ADB60 C.AEB60 D.AEB30分析由于已知的是圓周角的大小，則由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于該弧所對的圓心角的一半，可以確定圓周角AEB和圓心角AOB的大小，于是問題即可求解.解因?yàn)锳CB60，所以圓周角AEB

2、60，圓心角AOB120.故應(yīng)選C.圖2OCBA說明利用圓周角與圓心角的關(guān)系性質(zhì)解題時(shí)一定要注意其前提條件是：在同圓或等圓中.圖1例2如圖2，已知：O是ABC的外接圓，BAC50，ABC47，求AOB.分析要求AOB的大小，只要能求出C，此時(shí)的C是ABC的內(nèi)角，結(jié)合已知條件即可求解.解因?yàn)镺是ABC的外接圓，所以CAB、ABC、C都是圓周角，AOB是圓心角.又因?yàn)锽AC50，ABC47，所以C180(A+B)180(50+47)83.由圓周角定理，得CAOB，所以AOB2C283166.說明求解此類問題時(shí)，一定要正確理解圓周角的概念，掌握圓周角定理及其證明的思路，另外，圓周角定理也可以理解成：

3、“一條弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的二倍.”例3已知O的弦AB長等于O的半徑，求此弦AB所對的圓周角的度數(shù).分析本題雖然給出了明確的已知條件，但由于沒有提供圖形，所以要分情況求解.解下面分兩種情況：如圖3所示，連接OA，OB，在O上任取一點(diǎn)C，連接CA，CB.因?yàn)锳BOAOB，所以AOB60，所以ACBAOB30.即弦AB所對的圓周角等于30.圖4ODBA圖3OCBA 如圖4所示，連接OA，OB，在劣弧上任取一點(diǎn)D，連接AD，OD，BD，則BADBOD，ABDAOD.所以BAD+ABD(BOD+AOD)AOB.因?yàn)锳B的長等于O的半徑，所以AOB為等邊三角形，AOB60.所以BAD+ABD

4、30，ADB180(BAD+ABD)150，即弦AB所對的圓周角為150.說明分類討論是研究與圓有關(guān)問題的重要思想方法，當(dāng)給出的問題不夠明確時(shí)一定要考慮分情況來解決，以防漏解.下面兩道題目供同學(xué)們自己練習(xí)：1.如圖5中，BOD的度數(shù)是（ ）A.55B.110C.125D.150圖6CODFEG圖52530OEADCB2.如圖6，O的直徑CD過弦EF的中點(diǎn)G，EOD40，則DCF等于（ ）A.80 B.50 C.40 D.20參考答案：1，點(diǎn)撥：要求BOD的度數(shù)，由圖形可知，只要能求出的大小，而事實(shí)上的大小是由與構(gòu)成的，此時(shí)由已知條件可以分別求出與的大小，從而可以求解.即因?yàn)锳25，E30，所以的大小是50，的大小是60，即的大小是110.又因?yàn)锽OD的度數(shù)等于的大小，所以BOD110.故應(yīng)選B.2，點(diǎn)撥：要求DCF的大小，而已知條件中只知道一個(gè)圓心角，且這個(gè)圓心角與要求的圓周角好象不存在關(guān)系，但條件中給出了O的直徑CD過弦EF的中點(diǎn)G，于是，我們可以利用垂徑定理，使問題轉(zhuǎn)換，這樣即可求解.即因?yàn)?/p>