高考數學復習題庫 基本不等式

1、高考數學復習題庫 基本不等式基本不等式 一.選擇題1.若x0，則x的最小值為( ). A.2 B.3 C.2 D.4 解析 x0，x4. 答案 D2.設a，b滿足2a3b6，a0，b0，則的最小值為( )A. B. C. D.4 解析 由a0，b0,2a3b6得1， ()() 2 2. 當且僅當且2a3b6，即ab時等號成立. 即的最小值為. 答案 A3.氣象學院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為元，使用它直至“報廢最合算”(所謂“報廢最合算”是指使用的這臺儀器的平均每天耗資最少)一共使用了( )A.600天 B.800天 C.1 00

2、0天 D.1200天 解析 設一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為4.95， 當且僅當時，取得最小值，此時n800.本題的函數模型是一個在生活中較為常見的模型，注意如何建立這類問題的函數關系式，在有的問題中儀器還可以做廢品再賣一點錢，這樣要從總的耗資中把這部分除去. 答案 B4.若正實數a，b滿足ab1，則( ). A.有最大值4 B.ab有最小值 C.有最大值 D.a2b2有最小值 解析 由基本不等式，得ab，所以ab，故B錯；4，故A錯；由基本不等式得 ，即 ，故C正確；a2b2(ab)22ab12ab12，故D錯. 答案 C5.已知a0，b0，ab2，則y的最小值是( ). A. B.

3、4 C. D.5 解析 依題意得(ab)，當且僅當，即a， b時取等號，即的最小值是，選C. 答案 C6.已知x0，y0，x，a，b，y成等差數列，x，c，d，y成等比數列，則的最小值是( ). A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由題知abxy，cdxy，x0，y0，則4，當且僅當xy時取等號. 答案 D7. 已知都是正實數， 函數的圖象過（0,1）點，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 答案 A 二.填空題8. 已知x，y為正實數，且滿足4x3y12，則xy的最大值為_. 解析 124x3y2，xy3.當且僅當即時xy取得最大值3. 答案39.若a是12b與12b的等比中項，則的

4、最大值為_. 解析 a是12b與12b的等比中項，則a214b2a24b21.a24b2(|a|2|b|)24|ab|1.，這個式子只有當ab0時取得最大值，當ab0時， ， 由于a24b21，故4ab1，即4， 故當4時，取最大值. 答案10.若實數x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值為_. 解析 由x2y2xy1，得(xy)2xy1， 即xy(xy)21，所以(xy)21， 故xy， 當xy時“”成立，所以xy的最大值為. 答案11.x，yR，且xy0，則的最小值為_. 解析 144x2y21429，當且僅當4x2y2時等號成立，即|xy|時等號成立. 答案912.在平面直角坐標系xO

5、y中，過坐標原點的一條直線與函數f(x)的圖象交于P，Q兩點，則線段PQ長的最小值是_. 解析 假設直線與函數f(x)的圖象在第一象限內的交點為P，在第三象限內的交點為Q，由題意知線段PQ的長為OP長的2倍. 假設P點的坐標為，則|PQ|2|OP|24.當且僅當x，即x0時，取“”號. 答案4 三.解答題13.已知x0，y0，且2x8yxy0， 求：(1)xy的最小值； （2）xy的最小值. 解析 x0，y0,2x8yxy0， (1)xy2x8y2， 8，xy64. 故xy的最小值為64. （2）由2x8yxy，得：1， xy(xy)1(xy)1010818. 故xy的最小值為18.14.某單

6、位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的樓房.經測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費用為56048x(單位：元). (1)寫出樓房平均綜合費用y關于建造層數x的函數關系式； （2）該樓房應建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少？最少值是多少？(注：平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用，平均購地費用)解析 (1)依題意得y(56048x) 56048x(x10，xN)； （2）x0，48x21440(元)， 當且僅當48x，即x15時取到“”， 此時，平均綜合費用的最小值為56014402 000(元). 所以，當該樓

7、房建造15層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少，最少值為2 000元.15.設a，b，c都是正數，求證：abc. 證明 a，b，c都是正數，都是正數. 2c，當且僅當ab時等號成立， 2a，當且僅當bc時等號成立， 2b，當且僅當ac時等號成立. 三式相加，得2()2(abc)， 即abc. 當且僅當abc時等號成立.16.?；~塘是某地一種獨具地方特色的農業(yè)生產形式，某研究單位打算開發(fā)一個桑基魚塘項目，該項目準備購置一塊1800平方米的矩形地塊，中間挖出三個矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，池塘周圍的基圍寬均為2米，如圖，設池塘所占的總面積為S平方米. (1)試用x表示S； （2）當x取何值時，才能使得S最大？并求出S的最大值. 解析 (1)由題圖形知，3a6x，a. 則總面積Sa