2014年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案第七章推理與證明第3課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法

1、第七章推理與證明第3課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(理)9798頁(yè))考情分析考點(diǎn)新知理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.1. 若f(n)1(nN)，則n1時(shí)，f(n)_.答案：1解析：當(dāng)n1時(shí)，f(1)1.2. (選修22P88練習(xí)題3改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“2nn21對(duì)于nn0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取為_(kāi)答案：5解析：當(dāng)n4時(shí)，2nn21；當(dāng)n5時(shí)，253252126，所以n0應(yīng)取為5.3. 設(shè)f(n)1(nN*)，則f(k1)f(k)_.答案：解析：f(k1)f(k)1.4. 用

2、數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)xnyn能被xy整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時(shí)，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫(xiě)成_答案：2當(dāng)n2k(kN*)時(shí)結(jié)論成立，x2ky2k能被xy整除解析：因?yàn)閚為正偶數(shù)，故取第一個(gè)值n2，第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立，即n2k，故假設(shè)當(dāng)n2k(kN*)時(shí)結(jié)論成立，x2ky2k能被xy整除5. 已知a1，an1，則a2，a3，a4，a5的值分別為_(kāi)，由此猜想an_答案：、解析：a2，同理a3，a4，a5，猜想an.1. 由一系列有限的特殊現(xiàn)象得出一般性的結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法2. 對(duì)某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：先證明當(dāng)n取第1個(gè)值

3、n0時(shí)，命題成立；然后假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立；證明當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：(1) 歸納奠基：證明凡取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立；(2) 歸納遞推：假設(shè)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)，命題成立；(3) 由(1)(2)得出結(jié)論備課札記題型1證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)證明： 當(dāng)n1時(shí)，等式左邊1右邊，等式成立 假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，等式成立，即1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，有1，上式表明當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由知，等式對(duì)任何nN均成立當(dāng)n1，nN*時(shí)，(1) 求證：C2Cx3Cx2

4、(n1)Cxn2nCxn1n(1x)n1；(2) 求和：12C22C32C(n1)2Cn2C.(1) 證明：設(shè)f(x)(1x)nCCxCx2Cxn1Cxn，式兩邊求導(dǎo)得n(1x)n1C2Cx3Cx2(n1)Cxn2nCxn1.式等于式，故等式成立(2) 解：兩邊同乘x得nx(1x)n1Cx2Cx23Cx3(n1)Cxn1nCxn.式兩邊求導(dǎo)得n(1x)n1n(n1)x(1x)n2C22Cx32Cx2(n1)2Cxn2n2Cxn1.在中令x1，則12C22C32C(n1)2Cn2Cn2n1n(n1)2n22n2(2nn2n)2n2n(n1)題型2證明不等式例2(選修2-2P91習(xí)題6改編)設(shè)nN

5、*，f(n)1，試比較f(n)與的大小解：當(dāng)n1，2時(shí)f(n).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n3時(shí)，顯然成立； 假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN)時(shí)，即f(k)，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)，即nk1時(shí)，不等式也成立由知，對(duì)任何n3，nN不等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN*)證明： 當(dāng)n1時(shí)，a2(a1)a2a1可被a2a1整除 假設(shè)nk(kN*)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假設(shè)可知aak1(

6、a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除， ak2(a1)2k1能被a2a1整除，即nk1時(shí)命題也成立， 對(duì)任意nN*原命題成立題型3證明整除例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)(2n7)3n9(nN*)能被36整除證明： 當(dāng)n1時(shí)，f(1)(217)3936，能被36整除 假設(shè)nk時(shí)，f(k)能被36整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，由歸納假設(shè)3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶數(shù)，所以18(3k11)能被36整除所以nk1時(shí)，f(n)能被36整除由知，對(duì)任何nN，f(n)能被36整除已知數(shù)列bn是等差

7、數(shù)列，b11，b1b2b10145.(1) 求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn；(2) 設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)anloga(其中a0且a1)記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn1的大小，并證明你的結(jié)論. 解：(1) 設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得 bn3n2.(2) 由bn3n2，知Snloga(11)logalogaloga而logabn1loga，于是，比較Sn與logabn1的大小比較(11)與的大小 .取n1，有11，取n2，有(11).推測(cè) (11)，(*) 當(dāng)n1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立； 假設(shè)nk(k1)時(shí)(*)式成立，即(11)，則當(dāng)nk1時(shí)，(11). ()30， (3k2)，

8、從而(11)，即當(dāng)nk1時(shí)，(*)式成立由知(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立于是，當(dāng)a1時(shí)，Snlogabn1，當(dāng) 0a1時(shí)，Snlogabn1.題型4歸納、猜想與證明例4已知數(shù)列an滿足a11，且4an1anan12an9(nN)(1) 求a2，a3，a4的值；(2) 由(1) 猜想an的通項(xiàng)公式，并給出證明解：(1) 由4an1anan12an9，得an12，求得a2，a3，a4.(2) 猜想an.證明：當(dāng)n1時(shí)，猜想成立設(shè)當(dāng)nk時(shí)(kN*)時(shí)，猜想成立，即ak，則當(dāng)nk1時(shí)，有ak122，所以當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立綜合，猜想對(duì)任何nN*都成立已知f(n)1(nN)，g(n)2(1)(nN)(1

9、) 當(dāng)n1，2，3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)；(2) 由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1) 當(dāng)n1時(shí)，f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)g(3)(2) 猜想：f(n)g(n)(nN*)，即12(1)(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)2(1)，f(1)g(1)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即12(1)則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)12(1)22，而g(k1)2(1)22，下面轉(zhuǎn)化為證明：22.只要證：2(k1)12k32，需證：(2k3)24(k2)(k1)，即證：4k212k94k212k8，

10、此式顯然成立所以，當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立綜上可知：對(duì)nN*，猜想都成立，即12(1)(nN*)成立1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明11且nN*，在驗(yàn)證n2時(shí)，式子的左邊等于_答案：1解析：當(dāng)n2時(shí)，式子的左邊等于11.2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN*)”時(shí)，第一步驗(yàn)證的表達(dá)式為_(kāi)答案：2111212(或224或44也算對(duì))解析：當(dāng)n1時(shí)，2111212.3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是_答案：假設(shè)n2k1(kN*)時(shí)正確，再推n2k1(kN*)正確解析：因?yàn)閚為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立，本題先假設(shè)n2k1(kN

11、*)正確，再推第k1個(gè)正奇數(shù)，即n2k1(kN*)正確4. (2013廣東理)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1) 求a2的值；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.(1) 解： an1n2n，nN*. 當(dāng)n1時(shí)，2a12S1a21a22.又a11， a24.(2) 解： an1n2n，nN*. 2Snnan1n3n2nnan1， 當(dāng)n2時(shí)，2Sn1(n1)an， 由，得 2Sn2Sn1nan1(n1)ann(n1) 2an2Sn2Sn1， 2annan1(n1)ann(n1)， 1. 數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列. 11(n1

12、)n，ann2(n2)，當(dāng)n1時(shí)，上式顯然成立 ann2，nN* .(3) 證明：由(2)知，ann2，nN* ， 當(dāng)n1時(shí)，1， 原不等式成立. 當(dāng)n2時(shí)， 1(n1)(n1)， ， 1 1() 1()1， 當(dāng)n3時(shí)，原不等式亦成立. 綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有1不等式均成立，原命題得證3. 設(shè)函數(shù)f(x)xxlnx，數(shù)列an滿足0a11，an1f(an)求證：(1) 函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)；(2) anan11.證明：(1) f(x)xxlnx，f(x)lnx，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)lnx0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)(2) (用數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時(shí)，0a11

13、，a1ln a10，a2f(a1)a1a1lna1a1.由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)，且f(1)1，得f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)，a2f(a1)a1a1lna1f(1)1，即a1a21成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，akak11成立，即0a1akak11，那么當(dāng)nk1時(shí)，由f(x)在區(qū)間(0，1上是增函數(shù)，得0a1akak11，得f(ak)f(ak1)f(1)，而an1f(an)，則ak1f(ak)，ak2f(ak1)，即ak1ak21，也就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，anan11也成立由可得對(duì)任意的正整數(shù)n，anan11恒成立4. (2013江蘇改編)設(shè)數(shù)列an：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)，即當(dāng)n(kN*)時(shí)，an(1)k1k，記Sna1a2an(nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明Si(2i1)i(2i1)(iN*)證明：當(dāng)i1時(shí)，Si(2i1)S31(21)3，故原式成立假設(shè)當(dāng)im時(shí)，等式成立，即Sm(2m1)m(2m1)則當(dāng)im1時(shí)， S(m1)2(m1)1S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)(2m1)2(2m2)2 (2m25m3)(m1)(2m3)，故原式成立綜合得：Si(2i1)i(2