八年級(jí)數(shù)學(xué)第十一章第2節(jié)三角形全等的判定人教新課標(biāo)版

1、初二數(shù)學(xué)第十一章 第2節(jié) 三角形全等的判定人教新課標(biāo)版一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程。2. 能敘述三角形全等的條件，了解三角形的穩(wěn)定性。3. 能靈活地運(yùn)用三角形全等的條件，進(jìn)行有條理的思考和簡(jiǎn)單的推理，并能利用三角形全等的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間的聯(lián)系。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：（1）使學(xué)生理解證明的基本過(guò)程，掌握用綜合法證明的格式；（2）三角形全等的性質(zhì)和判定難點(diǎn)：（1）掌握用綜合法證明的格式；（2）選用合適的判定定理證明兩個(gè)三角形全等；（3）初步理解圖形的全等變換，從而學(xué)會(huì)恰當(dāng)添加輔助線(xiàn)。三、考點(diǎn)分析：三角形是數(shù)學(xué)中最常

2、見(jiàn)的幾何圖形之一，三角形全等是證明線(xiàn)段和角相等的重要依據(jù)，在數(shù)學(xué)推理證明中起著重要的作用，因此本章是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查的題型有選擇題、填空題、證明題。近幾年，在開(kāi)放性試題中也常會(huì)出現(xiàn)。在中考命題時(shí)，既會(huì)單獨(dú)命題也會(huì)與四邊形、相似形、圓等內(nèi)容綜合命題。隨著中考中對(duì)與圓有關(guān)的證明題要求的降低，對(duì)本章內(nèi)容的考查要求將有所加強(qiáng)，利用圖形變換找全等形，利用全等找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，求證線(xiàn)段、角相等是中考中常見(jiàn)的考查方式。本節(jié)內(nèi)容在本學(xué)期期末考試中的分值占10分左右。1. 全等三角形判定1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2. 全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。3. 全等三角

3、形判定3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4. 全等三角形判定4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5. 全等三角形判定5：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形判定1例1：如圖，在AFD和EBC中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線(xiàn)上，有下面四個(gè)論斷：（1）ADCB；（2）AECF；（3）DFBE；（4）ADBC。請(qǐng)將其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，編一道證明題，并寫(xiě)出證明過(guò)程。思路分析：1）題意分析：本題一方面考查證明題的條件和結(jié)論的關(guān)系，另一方面考查全等三角形判定1中的三邊對(duì)應(yīng)關(guān)系。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定1：三邊對(duì)應(yīng)相等

4、的兩個(gè)三角形全等。首先確定命題的條件為三邊對(duì)應(yīng)相等，而四個(gè)論斷中有且只有三個(gè)條件與邊有關(guān)，因此應(yīng)把論斷中的（1）（2）（3）作為條件，來(lái)證明論斷（4）。在證明全等之前，要先證明三邊分別對(duì)應(yīng)相等。解答過(guò)程：已知：如圖，在AFD和EBC中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線(xiàn)上，ADCB，AECF，DFBE。求證：ADBC。證明：AECFAEEFCFEFAFCE在AFD和CEB中，AFDEBC（SSS）ACADBC解題后的思考：在運(yùn)用全等三角形判定1判斷三角形全等時(shí)，一定要找準(zhǔn)三邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后給出證明。小結(jié)：本例題一方面考查了命題的書(shū)寫(xiě)與證明，另一方面通過(guò)本題的嚴(yán)格證明鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)一步規(guī)范

5、了三角形全等證明題的書(shū)寫(xiě)。知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形判定2例2：已知：如圖，是和的平分線(xiàn)，。求證：（1）OABOCD；（2）。思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。在證明三角形全等之前，要先證明兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等。解答過(guò)程：證明：（1）OP是和的平分線(xiàn)，AOPCOP，BOPDOPAOPBOPCOPDOPAOBCOD在OAB和OCD中，OABOCD（SAS）（2）由（1）知OABOCDABCD解題后的思考：在判斷三角形全等時(shí)，一定要根據(jù)全等三角形判定2，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。例3：已知：如圖，

6、ABCD，ABCD，求證：ADBC，ADBC思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2的應(yīng)用。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。在證明三角形全等之前，要先將用于證明三角形全等的條件準(zhǔn)備好。即如何由已知條件證明出兩邊和一角相等，以及如何用上ABCD這個(gè)條件。解答過(guò)程： 連接BD ABCD12在ADB和CBD中，ADBCBD（SAS）ADBC，ADBCBDADBC綜上：ADBC，ADBC解題后的思考：本題中證明三角形全等用到了公共邊，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在；在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要善于從題目中發(fā)現(xiàn)這些重要的隱含條件。例4：（1）在圖1中，ABC和D

7、EF滿(mǎn)足ABDE，ACDF，AD，這兩個(gè)三角形全等嗎？（2）在圖2中，ABC和ABD滿(mǎn)足ABAB，ACAD，BB，這兩個(gè)三角形全等嗎？思路分析：1）題意分析：本題主要考查應(yīng)用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的問(wèn)題。 2）解題思路：在圖1中，ABC和DEF滿(mǎn)足ABDE，ACDF，AD，即兩個(gè)三角形滿(mǎn)足SAS的條件，所以這兩個(gè)三角形全等。（2）在圖2中，ABC和ABD滿(mǎn)足ABAB，ACAD，BB，這兩個(gè)三角形雖然也有兩邊和一角相等，但兩個(gè)三角形的形狀、大小完全不相同，所以這兩個(gè)三角形不全等。解答過(guò)程：（1）全等；（2）不全等。解題后的思考：有兩邊和一角相等的兩個(gè)三角形不一定全等，要根據(jù)

8、所給的邊與角的位置進(jìn)行判斷：（1）當(dāng)兩個(gè)三角形滿(mǎn)足兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等即“SAS”時(shí)，這兩個(gè)三角形全等；（2）當(dāng)兩個(gè)三角形滿(mǎn)足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即“SSA”時(shí)，這兩個(gè)三角形不一定全等。在證明題中尤其要注意這一點(diǎn)。小結(jié)：本題組主要考查了對(duì)全等三角形判定2的掌握情況，即兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。另一方面，也提醒我們要注意兩邊和一角相等的另外一種情形，即“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定不全等?！绷硗?，在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意挖掘題目中的隱含條件如公共邊或公共角等。知識(shí)點(diǎn)三：全等三角形判定3 例5：如圖，BEAE，CFAE，MEMF。求證：AM是ABC的中線(xiàn)

9、。思路分析：1）題意分析：要證明AM是ABC的中線(xiàn)，就要證明BMCM，要證明線(xiàn)段相等，就要證明與BM、CM有關(guān)的三角形全等，即BEMCFM，然后從已知條件中找出能夠判斷這兩個(gè)三角形全等的條件。2）解題思路：結(jié)合已知條件和對(duì)頂角相等可由ASA來(lái)判定 BEMCFM，從而得出BMCM，進(jìn)而得到AM是ABC的中線(xiàn)。解答過(guò)程： BEAE，CFAEBEMCFM90在BME和CMF中，BMECMF（ASA）BMCMAM是ABC的中線(xiàn)。解題后的思考：要證明AM是ABC的中線(xiàn)，需要證明M是BC的中點(diǎn)，因此，轉(zhuǎn)化為證明BMCM，結(jié)合已知條件，應(yīng)考慮證明與這兩條相等線(xiàn)段有關(guān)的可能全等的兩個(gè)三角形，結(jié)合題目中已有的條

10、件和能夠求出的相等關(guān)系，選擇正確的判定方法來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)四：全等三角形判定4例6：已知：BCEF，BCEF，AD，ABFDEC。求證：AFDC。思路分析：1）題意分析：要證明AFDC，就要先證明ABFDEC，而已知中證明這兩個(gè)三角形全等的條件是AD，ABFDEC，但還缺少一組邊，如何找到這組邊呢？根據(jù)BCEF，BCEF，想到連接BE，從而證明BFEECB，進(jìn)一步得到BFEC，再利用AAS來(lái)判定兩個(gè)三角形全等。2）解題思路：要證明線(xiàn)段相等，我們可以考慮先證明三角形全等，ABF和DEC中有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，要使它們?nèi)龋灰C得BFEC即可。于是連接BE證BFEECB，即可證得BFEC。解答

11、過(guò)程：連接BEBCEFFEBCBE在BFE和ECB中，BFEECB（SAS）BFCE在ABF和DEC中，ABFDEC（AAS）AFDC解題后的思考：證明三角形全等是證明線(xiàn)段相等的一種重要方法，解答時(shí)要結(jié)合圖形，分析已知條件與求證的結(jié)論，尋找溝通二者的橋梁。例7：在ABC中，ACB90，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于。（1）當(dāng)直線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖a的位置時(shí)，求證：； （2）當(dāng)直線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖b的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時(shí)，試問(wèn)具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。 圖a 圖b圖c思路分析：1）題意分析：要證明一條線(xiàn)段等于兩條線(xiàn)段之和，或證明一條線(xiàn)段等于兩條線(xiàn)段之差，就要想

12、這條線(xiàn)段與兩條線(xiàn)段之間有何關(guān)系，以及兩條線(xiàn)段AD、BE與CE、DC之間有何關(guān)系。這就需要我們用三角形全等來(lái)證明線(xiàn)段相等，從而實(shí)現(xiàn)等線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化。2）解題思路：（1）于，于，又，在Rt與Rt中，直角對(duì)應(yīng)相等，斜邊對(duì)應(yīng)相等。又與同為的余角，自然也是相等的，所以可得到。進(jìn)一步可推出。（2）第（3）問(wèn)中，與（1）的證明思路類(lèi)似，先證明，再來(lái)證明三條線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系。解答過(guò)程：（1）， 。，。圖a，。（2），。又，。圖b（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時(shí)，所滿(mǎn)足的等量關(guān)系是（或ADBEDE，等）。，。又，。圖c解題后的思考： 在運(yùn)動(dòng)變換問(wèn)題中，不管運(yùn)動(dòng)變換前后的圖形、結(jié)論是否發(fā)生變化，解題的基本思路不變，一般情況

13、下，運(yùn)動(dòng)前的解題思路及方法是為解答運(yùn)動(dòng)后的相關(guān)問(wèn)題作鋪墊。小結(jié)： 本題組主要考查如何運(yùn)用全等三角形判定4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。以及在運(yùn)動(dòng)變換問(wèn)題中如何準(zhǔn)確地運(yùn)用三角形全等實(shí)現(xiàn)等線(xiàn)段的轉(zhuǎn)換。知識(shí)點(diǎn)五：全等三角形判定5例8：已知：如圖為的高，為上一點(diǎn)，交于，且有，。求證：。思路分析：1）題意分析：要證垂直于，需證，由題意可知，若能證明，就可得垂直于，這就要證。這可由已知條件證明，便可知。再由1290和12BEC180，得到BEC90。從而得到。2）解題思路：運(yùn)用直角三角形全等的判定方法：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，證明，進(jìn)一步得到。解答過(guò)程：證明：，

14、。在Rt和Rt中，。（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（直角三角形兩銳角互余），解題后的思考： （1）證明兩個(gè)直角三角形全等除了可運(yùn)用前面的幾個(gè)條件外，還可利用“斜邊和直角邊”去證明；（2）證明兩直線(xiàn)垂直可直接證明兩直線(xiàn)夾角等于90，也可證明夾角所在三角形中的另兩個(gè)角互余。小結(jié)：本組題主要考查如何運(yùn)用直角三角形全等的判定方法來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，在解題時(shí)注意挖掘題目中的隱含條件。利用三角形全等判斷線(xiàn)段（或角）相等的一般方法（1）把要判斷相等的線(xiàn)段（或角）作為三角形的邊（或角）的兩個(gè)三角形找出來(lái)；（2）證明這兩個(gè)三角形全等；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出要判斷的線(xiàn)段（或角）相等。一、預(yù)習(xí)新知1. 如圖，是一個(gè)平

15、分角的儀器，其中ABAD，BCDC。將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE，AE就是DAB的平分線(xiàn)。你能說(shuō)明它的道理嗎？由此總結(jié)出作已知角的平分線(xiàn)的方法。二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥探究與反思探究任務(wù)一：如圖，將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀(guān)察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。如何利用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)？探究任務(wù)二：我們已知“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，那這個(gè)命題的逆命題“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上是否是一定的呢？請(qǐng)大家探究結(jié)論并給予證明。（答題時(shí)間：60分鐘）一

16、、選擇題：1. 三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是（ ）A. 三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)B. 三條高的交點(diǎn)C. 三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D. 三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)2. 如圖，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC5cm，BD3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為（ ）A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能確定 3. 如果三角形的一個(gè)角的平分線(xiàn)恰好是其對(duì)邊上的高，那么這個(gè)三角形是（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形4. 如圖，ABAC，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF交于點(diǎn)D，則ABEACF；BDFCDE；點(diǎn)D在BAC的平分線(xiàn)上，以上結(jié)論正確的是（ ）A. B.

17、 C. D. 5. 如圖，已知點(diǎn)P到BE、BD、AC的距離恰好相等，則點(diǎn)P的位置：在B的平分線(xiàn)上；在DAC的平分線(xiàn)上；在EAC的平分線(xiàn)上；恰是B，DAC，EAC三個(gè)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)。上述結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)二、填空題：6. 已知O是ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，ODBC于D，若OD5，ABC的周長(zhǎng)等于20，則ABC的面積等于SABC 。7. 如圖，ABCD，O是BAC、ACD的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，OEAC于E，且OE2，則AB與CD間的距離等于 。8. 如圖，在ABC 中，C90，ACBC，AD平分BAC 交BC于點(diǎn)D，DEAB于E，AB8cm，則DEB的周長(zhǎng)為_(kāi)。 三、解答題：9. 已知：如圖，在ABC 中，AD是BAC的角平分線(xiàn)，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且EDFEAF180。求證：DEDF。10. 已知：如圖，在ABC 中，B60，ABC的角平分線(xiàn)AD、CE相交于點(diǎn)O。求證：AECDAC一、選擇題：1. D；2. C； 3. B；4. A；5. D 二、填空題：6. 50；7. 4；8. 8cm三、解答題：9. 證明：過(guò)點(diǎn)D作DMAB于點(diǎn)M，DNAC于點(diǎn)N