大一高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題

1、工程數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)題（教師用）一、 選擇題：1、下列等式中有一個(gè)是微分方程，它是（ D ）A、 B、C、 D、解：選項(xiàng)A和B是求導(dǎo)公式，選項(xiàng)C為恒等式，選項(xiàng)D符合微分方程的定義2、下列方程中有一個(gè)是一階微分方程，它是（ C ）A、 B、C、 D、3、若級(jí)數(shù)與都發(fā)散，則（ C ）A、發(fā)散 B、發(fā)散C、發(fā)散 D、發(fā)散解：由推知若選項(xiàng)C收斂，則收斂，與題設(shè)矛盾，故選C4、級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界是該級(jí)數(shù)收斂的（ A ）A、必要非充分條件 B、充分非必要條件C、充要條件 D、既非充分也非必要條件5、級(jí)數(shù)（a為常數(shù)）收斂的充分條件是（ A ）A、|q|1 B、q=1 C、|q|1 D、q1時(shí)級(jí)數(shù)收斂6、若級(jí)數(shù)收

2、斂，那么下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（ B ）A、 B、 C、100+ D、解：選項(xiàng)B中，因?yàn)?，所以該?jí)數(shù)發(fā)散7、若級(jí)數(shù)發(fā)散，則（ D ）A、 B、C、任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)必發(fā)散D、任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)可能收斂解：選項(xiàng)A和B均為級(jí)數(shù)發(fā)散的充分條件，但非要條件。若級(jí)數(shù)發(fā)散，則任意加括號(hào)后所成級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散8、若級(jí)數(shù)收斂，則下述結(jié)論中，不正確的是（ C ）A、收斂 B、收斂 C、收斂 D、解：選項(xiàng)A中因?yàn)?所以A正確選項(xiàng)B中由級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)知該級(jí)數(shù)收斂，所以B正確選項(xiàng)D是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，所以D正確選項(xiàng)C中原級(jí)數(shù)收斂，可能收斂也可以發(fā)散9、無窮級(jí)數(shù)收斂的充分條件是（ C ）A、 B、C、，且 D

3、、收斂解：所給級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，選項(xiàng)C為交錯(cuò)級(jí)數(shù)判斷收斂性的萊布尼茨定理中的條件10、設(shè)，則下列級(jí)數(shù)中必定收斂的是（ D ）A、 B、 C、 D、11、在球內(nèi)部的點(diǎn)是（ C ）A、（0，0，2） B、（0，0，-2） C、 D、解：球的標(biāo)準(zhǔn)方程為，是以（0，0，1）為球心，1為半徑的球面，經(jīng)驗(yàn)算選項(xiàng)C中的點(diǎn)到球心的距離為12、設(shè)函數(shù)，則下列各結(jié)論中不正確的是（ D ）A、 B、C、 D、13、設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0，y0)處存在對x，y的偏導(dǎo)數(shù)，則f x(x0，y0)=（ B ）A、 B、C、 D、解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義知選項(xiàng)C和D顯然錯(cuò)誤選項(xiàng)A中，=選項(xiàng)B中，=14、二元函數(shù)z=f(x,

4、y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且，則（ D ）A、當(dāng)y保持不變時(shí)，f(x,y)是隨x的減少而單調(diào)增加的B、當(dāng)x保持不變時(shí)，f(x,y)是隨y的增加而單調(diào)增加的C、當(dāng)y保持不變時(shí)，f(x,y)是隨x的增加而單調(diào)減少的D、當(dāng)x保持不變時(shí)，f(x,y)是隨y的增加而單調(diào)減少的解：由知當(dāng)y保持不變時(shí)，f(x,y)是x的單調(diào)增加函數(shù)；由知當(dāng)x保持不變時(shí)，f(x,y)是y的單調(diào)減少函數(shù)；15、 函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）處可微的充分條件是（ D ）A、f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)B、f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處存在偏導(dǎo)數(shù)C、D、，其中解：二元函數(shù)在點(diǎn)（x0,y0）連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能保證

5、在此點(diǎn)可微由全徽分的定義知選項(xiàng)D正確16、已知函數(shù)，則（ B ）A、2x-2y B、x+y C、2x+2y D、x-y解：設(shè)u=x+y，v=x-y，則f(u，v)=uv，從而f(x，y)=xy17、已知函數(shù)，則分別為（ A ）A、-1，2y B、2y，-1 C、2x+2y，2y+x D、2y，2x解：設(shè)u=xy, v=x+y，則f(u，v)=(x+y)2-xy=v2-u所以f(x，y)=y2-x18、點(diǎn)使且成立，則（ D ）A、是的極值點(diǎn) B、是的最小值點(diǎn)C、是的最大值點(diǎn) D、可能是的極值點(diǎn)解：且是在有極值的必要而非充分條件19、設(shè)區(qū)域D是單位圓在第一象限的部分，則二重積分（ C ）A、 B、

6、C、 D、解：在直解坐標(biāo)系下：在極坐標(biāo)系下：20、（ D ）A、 B、C、 D、解：改變積分次序后，積分區(qū)域可記為21、若，則積分區(qū)域D可以是（ C ）A、由x軸，y軸及x+y-2=0所圍成的區(qū)域B、由x=1，x=2及y=2，y=4所圍成的區(qū)域C、由|x|=1/2，|y|=1/2所圍成的區(qū)域D、由|x+y|=1，|x-y|=1所圍成的區(qū)域解：由二重積分的幾何意義可知D的面積為1，畫出草圖可知選項(xiàng)A、B、D所給區(qū)域面積均為2，選項(xiàng)C所給區(qū)域的面積為1二、 填空題：1、微分方程滿足條件的解是（ ）2、微分方程的通解是（ ）解：，于是8、設(shè)，則dz=( )4、交換二次積分的次序?yàn)椋?）5、已知，則（

7、 -9 ），與的夾角為（ ）6、二元函數(shù)的定義域是（ ）。三、計(jì)算題1、求級(jí)數(shù)的收斂域，并求和函數(shù)。解：當(dāng)即時(shí)收斂，當(dāng)即時(shí)發(fā)散當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)x= 1時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散所收斂域?yàn)椋?，1）令，則S（0）=0 2、將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)。參考答案：解： 從而 3、級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？參考答案：解：因，而發(fā)散，故發(fā)散。因此原級(jí)數(shù)不是絕對收斂，顯然，且，故由萊布尼茲判別法知原級(jí)數(shù)條件收斂。 4、 已知，求在上的投影。參考答案：5、設(shè)，而， 求。參考答案： 6、。參考答案： 所求全微分7、設(shè)，求參考答案： 8、求的極值參考答案：解：由又對于（0，0）點(diǎn)，故（0，0）不是極值點(diǎn)對于（1，1）點(diǎn)，且A0，所以（1，1）為極小值點(diǎn)，且極小值Z=1 9、求，D是由所圍成的區(qū)域參考答案： 解： 10、計(jì)算二重積分，其中D是由所圍成的第一象限的閉區(qū)域。參考答案：積分區(qū)域：D 11、欲圍一個(gè)面積為62平方米的矩形場地，正面所用材料每米造價(jià)10元。其余三面每米造價(jià)5元，求場地長、寬各為多少米時(shí)