浙江工商大學高等數學求導習題詳解

1、1 設存在,求.分析 在導數存在的條件下,將所求的極限化為導數定義的形式即可.解 .2 設在處連續(xù),且,求.分析 本題只能用導數的定義來求,并且利用連續(xù)函數的性質.解 為此,先求出.3 設,求.請指出下面解題中的錯誤,并寫出正確的解法.分析 本題是要考查對的定義的理解.解 ,上面的解法是把錯誤理解為,實際上,應該是導函數在的值.正確的解法是:,.4 單項選擇題: 設在點處可導,而在點處不可導,則在點處( ).(A)必不可導,而未必不可導；(B)和都可導；(C)可導,且不可導；(D)與都不可導.分析 本題是要考察導數的運算法則解 因為,如果可導,則由上式可推出可導,與已知矛盾.所以必不可導,又如

2、果在可導,在不可導,而在也可導.故未必不可導.所以答案為(A).5 單項選擇題: 如果存在時,.(A)；(B)；(C)；(D).分析 可以用導數的定義來考慮.解 因為 .所以答案為(B).6 設,用幾種不同的方法求.分析 可以用幾種不同的求導法則來進行比較,以后可以選擇一種好的方法.解法一 用商的求導法則 .解法二 用乘積的求導法則 .解法三 先化簡再用和的求導法則 .觀察上述三種方法可知方法三最簡單. 7 用復合函數的求導法則,求下列函數的導數. (1)；(2).分析 復合函數的求導法則看起來不難,但實際上很容易犯錯誤,必須注意乘上中間變量的導數.解 (1) . (2) .8 設,求.分析

3、本題是冪指函數,用對數求導法.解 由兩邊求對數,得到:，再兩邊對求導,得到， 9 設函數,當時,求它的導數分析 由于本題是多個因式作乘除,因此可以采用對數求導法.解 當時,由兩邊求對數,得到:,再兩邊對求導,得到.所以 .如果此題求的不是,而是求,則可以用下例的方法比較簡便.10 設函數,求它的導數.分析 由于,且含有的因子,所以可以采用定義的方法.解 .由此可以看出,求導的方法可以多種多樣,應該根據具體的題目,選擇一種比較簡便的方法.11 設處處可導，求的值.分析 本題是分段函數的求導問題,只需考慮分界點的連續(xù)性及可導性.解 由于在處,顯然是可導的,所以只需考慮在處的可導性.因為在處連續(xù)，.

4、又,，而在處可導，于是.12 單項選擇題: 設,則在點可導的充分必要條件是( ).(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D存在.分析 注意:由于本題并沒有在點處可導作為已知條件,所以在考慮充分條件時應該特別注意.解 (A)由于, (1)如果在點可導,說明存在,因為,所以存在.如果存在,因為,所以,由(1)式可知存在,因為,即只能表示在點的右導存在,并不能說明在點可導.因此,在點可導只是存在的充分條件.(B)由于, (2)如果在點可導,說明存在,因為,由(2)式可知,所以存在.如果存在,因為,所以存在,所以在點可導.因此,在點可導是存在的充分必要條件.(C)用同樣的方法可以說明在點可導是存在的充

5、分條件,而不是必要條件.(D)同樣,在點可導只是存在的充分條件而不是必要條件.綜上所述,本題的答案是(B).13 設，求.分析 這是一個分段函數的求導問題,當不是分界點時,采用公式求導. 當是分界點時,往往采用定義的方法或采用求左、右導的方法.解 當時,.又,因此, .14 函數的不可導點的個數是（ ）.(A) 3 (B)2 (C)1 (D) 0分析 本題技巧性較強,關鍵是,由導數定義可知,在點不可導,而在點可導.故對進行因式分解,并考察使的點.解 ，故在不可導.在可導,所以,函數的不可導點的個數是兩個.答案是(B).注:本題如果用定義來求的話,雖然也可以得到正確的結果,但太麻煩.15 設可導

6、,.問在的可導性如何?分析 本題只需要用定義來分析.解 .所以, 在點可導.16 設,其中具有一階連續(xù)導數,求.分析 抽象函數的求導往往采用定義求導.解 一階可導,從而連續(xù). ,得到.而以下的方法是錯誤的:.故 .上述方法錯誤的原因是:并不知道是否二階可導,而這種錯誤,初學的同學是經常犯的.17 已知曲線與在原點相切,求分析 本題考查導數的幾何意義及導數的定義.解 因為曲線與在原點相切,所以它們的函數值與導數在點相同,從而推出,又 故.18 單項選擇題: 設在的某鄰域內有定義,且，則在處( ).（A）極限不存在.（B）極限存在但不連續(xù).（C）連續(xù)但不可導.（D）可導.分析 本題主要是從連續(xù)及可

7、導的定義來考慮解 ，令，得，即，又 ，所以，可導.答案為(D).19 單項選擇題: 設，其中是有界函數，則在處( ).（A）極限不存在. （B）極限存在但不連續(xù).（C）連續(xù)但不可導. （D）可導.分析 本題主要是分析分段函數在分界點的連續(xù)性及可導性.解 先考慮在處的連續(xù)性.因為所以在處連續(xù).又 ，故 ，可導.答案為(D).20 設在時有定義,且有二階導數,試確定常數,使函數在處有二階導數.分析 要使在處有二階導數,則應滿足如下條件:(1)在處連續(xù)；(2)在處的左、右導存在并且相等；(3)在處的左、右二階導存在并且相等.下面分別討論.解 (1), , .因為在處連續(xù),得到.(2).因為在處的左、

8、右導存在并且相等,得到.(3).因為在處的左、右二階導存在并且相等,所以.綜上所述,當,時,在處有二階導數.21 已知是周期為的連續(xù)函數，且在的某鄰域內滿足關系式，其中是當時比高階的無窮小，且在處可導，求曲線在點處的切線方程.分析 本題考查導數的定義,無窮小量的概念,關鍵是要求出及.解 由，得；又 另一方面，令，有. ，由于的周期為5，故， 所求切線方程為 .22 單項選擇題: 設，則在處可求導的最高階數為( ).(A)0 （B）1 （C）2 （D）3分析 本題只要考慮的階可導性,因為的任何階導數都存在.為此,用分段函數來考慮在處的階可導性.解 令,則分段考慮函數的可導性.得到,(注意:求分界

9、點的導數時,先考慮連續(xù)性,然后用公式求出左、右導數.再判別左、右導數是否相等.)由于在處的左、右導數分別為6和-6，故不可導，故在處可求導的最高階數為2階.答案為(C).23 設，求.分析 此題可以先將表達式化簡,然后求導.如果直接求導就比較麻煩.解 先化簡，所以 .24 設，求.分析 本題若直接計算,不僅麻煩,而且看不出規(guī)律來,為此我們可以先將表達式化為最簡分式,然后用階的求導公式.解 先化簡，因為 ，.25 設，求,.分析 對于求乘積的階導數,當其中一項求若干階導數后為零時,可以用公式.解 由于的三階導數為零,所以我們用公式:.及 ，得所以 26 求在點的階導數. 分析 本題的階導數沒有現

10、成的公式,但是我們要求的是.因此,我們采用一定的技巧來解決.解 由于,從而.兩邊對求導得.當時,.從而有.對上式求階導數,并利用公式得到:.用代入得到:,即有.因為,.所以,.27 設是由方程所確定的隱函數，求.分析 本題用隱函數求導解 方程兩邊對求導， (1)用代入原方程,得到，代入(1)式 ，(1)式兩邊再對求導：，用,，代入得:.28 求過點且與曲線上一點的切線相垂直的直線方程.分析 本題用隱函數求導,并且要知道切線的斜率.解 兩邊關于求導，切線斜率，故所求直線方程為：.29 已知函數的參數形式為:，求，.分析 本題用參數方程求導解 ，.30 設函數由方程確定，求.分析 本題用參數方程及

11、隱函數求導的方法解 ，對方程兩邊關于求導：， ，所以 31 設,滿足,且二階可導,求.分析 本題是抽象函數的復合函數以及隱函數的混合求導問題,比較復雜,需要概念特別清楚.解 ,上式兩邊再對求導,得到(1)方程兩邊對求導,得到(2)(2)式兩邊再對求導,得到(3)由(2)式可得(4)將(4)式代入(3)式得到(5)將(4)式和(5)式代入(1)式得到32 設一圓錐形容器,底面朝上,它的頂角為,現均勻地以每秒的流量注入水,當水深時,求:水面上升的變化率；(2)水面半徑的變化率.分析 本題是關于相關變化率的應用問題.應該先分別建立體積與水面高度以及與水面半徑的關系,然后在等式兩邊 H R對求導.解 作草圖如上圖:(1)因為頂角,所以水深與水面半徑的關系為,體積,即得到.將其兩邊對求導: .當時, ,代入上式得到:(2)由(1)可知,將其兩邊對求導得到:.當時, ,代入上式得到:.所以當水深為時,(1)水面上升的變化率為；(2)水面半徑的變化率為.33 設,試計算在處當時的函數的增量以及函數的微分.分析 本題是利用定義來求增量及微分.解 ,故 .而 .34 單項選擇題: 如果對于函數有.則當時,在點處的微分是( ).(A)與等價無窮小.(B)與同階無窮小,但不是等價無窮小.(