與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題的統(tǒng)一解題技巧分析

1、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題的統(tǒng)一解題技巧分析與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題的統(tǒng)一解題技巧分析與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題是各省市檢測和高考年年必考的題目，形式層出不窮，絕大多數(shù)還是區(qū)分度頗高的壓軸題。許多中上水平的考生往往處理完第一問后，對第二、三問或是匆忙求導(dǎo)眼到手不到形成一堆爛賬，或是寫了一堆解答過程發(fā)現(xiàn)走進(jìn)死胡同再出來，這樣做的結(jié)果往往是得分較低，浪費(fèi)時(shí)間，長此以往對科學(xué)備考的負(fù)面影響較大。究其原因，很多考生表現(xiàn)為不知道自己“起步”錯(cuò)誤，具體來說就是對哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)不明確，或?yàn)槭裁匆獦?gòu)造新函數(shù)F （x）和如何構(gòu)造函數(shù)F （x）不明確。本文結(jié)合近兩年的高考題，就解答與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的區(qū)分度頗高的函數(shù)題，如何走好“動(dòng)一發(fā)而系全身

2、”的第一步，談如何構(gòu)造函數(shù)F （x），給出程序化的構(gòu)建模式，以達(dá)到“好的開始是成功的一半”的目的。一、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題概述與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的區(qū)分度頗高的函數(shù)題主要包括：討論含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）方程根的個(gè)數(shù)與范圍，含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）不等式的證明，求含參函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間，含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）不等式恒成立時(shí)已知含參函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間求某參數(shù)的范圍，已知含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）方程根的個(gè)數(shù)和范圍求某參數(shù)的范圍等。題目形式雖然千變?nèi)f化、層出不窮，但本質(zhì)上就是一道題。本文為使問題說明得更加方便，不妨以 f（x）g（x）的形式來說明。二、程序化構(gòu)造函數(shù)F （x）的統(tǒng)一模式1.直接法：

3、令F （x）= f（x）-g（x）。2.化積法：若 f（x）-g（x）=h（x）k（x），且h（x）0,令F （x）= k（x）。3.伸縮法：若 f（x） f1（x），則令F （x）= f1（x）-g（x），其中，f1（x）通常可由熟悉的不等式或前一問中的結(jié)論得出。4.控元法：含參問題若已給出參數(shù)k的范圍，由單調(diào)性控元、消元、消參，構(gòu)建F （x）（F （x）不含參數(shù)）。5.分離變量法：若能分離出變量kk（x），則令F （x）=k（x）。三、程序化構(gòu)造函數(shù)F （x）的統(tǒng)一模式在高考題中的運(yùn)用例1 （2013年高考新課標(biāo)全國卷理科卷第21題）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）。（）設(shè)x=0是f

4、（x）的極值點(diǎn)，求m,并討論 f（x）的單調(diào)性。（）當(dāng)m2時(shí)，證明f（x）>0.（）解：m=1. f（x）在（-1,0）上單調(diào)遞減，在（0,+）上單調(diào)遞增。（解答過程省略）（）證明：當(dāng)m2,x（-m,+）時(shí)，ln（x+2）ln（x+m）。記F （x）=ex-ln（x+2），則F （x）=ex- .F （x）=ex+ >0,F （x）在（-2,+）上單調(diào)遞增。F （0）=1- >0,F （-1）= -1<0,即 = ,x0=-ln（x0+2），F(xiàn) （x0）= -ln（x0+2）= +x0= >0.當(dāng)x（-2,x0）時(shí)，F(xiàn) （x）<0,此時(shí)函數(shù)F （x）單調(diào)遞減

5、；當(dāng)x（x0,+）時(shí)，F(xiàn) （x）>0,此時(shí)函數(shù)F （x）單調(diào)遞增。 f（x）F （x）F min（x）=F （x0）>0.小結(jié) 本題是一道含參不等式的證明題，考生若不假思索地直接采用構(gòu)造F （x）=左-右，則在求F （x）=0時(shí)會(huì)走進(jìn)死胡同。問題出在含參，因此應(yīng)該控元，將兩個(gè)變量變?yōu)橐粋€(gè)變量，使其常態(tài)化。例2 （20xx年高考山東理科卷第22題）已知函數(shù)f（x）= （k為常數(shù)，e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y= f（x）在點(diǎn)（1,f（1）處的切線與x軸平行。（）求k的值。（）求 f（x）的單調(diào)區(qū)間。（）設(shè)g（x）=（x2+x） f （x），其中 f （x）為 f （x）

6、的導(dǎo)函數(shù)。證明：對任意x>0,g（x）<1+e-2.（）解：k=1.（解答過程省略）（）解：函數(shù) f（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+）上單調(diào)遞減。（解答過程省略）（）證明：g（x）=（x2+x） =（1+x） .欲證g（x）<1+e-2,即證1-x（ln x+1）< （1+e-2）。令F 1（x）=1-x（ln x+1），則F （x）=-ln x-2.令F （x）=0,得ln x =-2,x = e- 2（0,+）。當(dāng)x（0,e- 2）時(shí)，F(xiàn) （x）>0,此時(shí)F 1（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（e- 2,+）時(shí)，F(xiàn) （x）<0,此時(shí)F 1（x）單調(diào)遞減。F

7、1max（x）=F1 （e- 2）=1+e- 2.令F 2（x）= .F （x）= = > 0,F 2（x）在（0,+）上單調(diào)遞增。F 2（x）>F 2（0）=1.不等式得證。 g（x）<1+e- 2（x>0）。小結(jié) 如何構(gòu)造函數(shù)F（x），關(guān)鍵在于F （x）=0是否易求（或易估）。若直接求g（x），則g（x）=0的求解將陷入泥潭。例3 （20xx年高考遼寧理科卷第21題）設(shè)f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a,bR,a,b為常數(shù)），曲線y= f（x）與直線y= x在（0,0）點(diǎn)相切。（）求a,b的值。（）證明：當(dāng)0 （）解：a=0,b=-1.（解答過程省略）（）證明：由（）知f（x）=ln（x+1）+ -1. < （0 構(gòu)造F （x）=ln（x+1）+ - ,則F （x）= + - = .當(dāng)x（0,2）時(shí)，x2+15x-36<0,F （x）<0.F （x）單調(diào)遞減。F （x） ln（x+1）+ < .ln（x+1）+ -1< ,即f（x）< .小結(jié) 本題若直接對f（x）求導(dǎo)，則會(huì)在計(jì)算f （x）=0時(shí)碰壁。原因在于對 求導(dǎo)時(shí)，既有根式又有分式，而ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)僅有分式，使得在求f （x）=0時(shí)眼到手不到。（作者單位：廈門工商旅游學(xué)校；廈門英才學(xué)