第三四章抽樣與抽樣分布

1、正態(tài)分布及其應(yīng)用：引言：無(wú)論是二項(xiàng)分布還是泊松分布，它們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即當(dāng)n逐漸增大時(shí)，都將趨近于對(duì)稱分布，進(jìn)而趨近于正態(tài)分布，因此，二項(xiàng)分布和泊松分布的概率表，通常只列出n=20的概率，當(dāng)n30時(shí)，兩個(gè)分布都趨近于正態(tài)分布。正態(tài)分布（高斯分布），是一種常用的典型的概率分布。18世紀(jì)德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家高斯在正態(tài)分布理論發(fā)展過程中做過突出貢獻(xiàn)，因此也被稱作“高斯分布”。正態(tài)分布的重要地位：1、在實(shí)際觀察到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)表現(xiàn)上，其頻率分布與正態(tài)分布十分接近；2、正態(tài)分布的固有性質(zhì)，給抽樣推斷理論提供了必要的基礎(chǔ)，使它在抽樣分布、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)中被廣泛應(yīng)用。正態(tài)分布的概率密

2、度函數(shù)： 式中：x在正負(fù)無(wú)窮之間；、2為參數(shù)；e=2.7183；=3.14159；可記為XN（，2）。1、正態(tài)分布曲線特征：（1）曲線為對(duì)稱分布，在X=處達(dá)到極大值；（2）曲線兩尾端趨向無(wú)窮小，但永不與橫軸相交；（3）曲線的形狀取決于標(biāo)準(zhǔn)差的大??；（4）曲線的位置取決于平均數(shù)的大小；（5）曲線的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相等；（6）曲線下全部面積為1，并在一定標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)范圍內(nèi)，所含的概率比重是相同的。2、數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明：1)、平均數(shù)加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（1）的范圍，包含總體全面積的68.26%；2）、平均數(shù)加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（2）的范圍，包含總體全面積的95.44%；xf(x)CAB3）、平均數(shù)加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（

3、3）的范圍，包含總體全面積的99.74%。正態(tài)分布曲線族有兩類： 平均數(shù)相等標(biāo)準(zhǔn)差不等 平均數(shù)不等標(biāo)準(zhǔn)差相等 3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用:怎樣將各種形狀的正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布呢？標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布要求： Z值為從隨機(jī)變量X到該分布平均數(shù)的距離，相當(dāng)于的倍數(shù)。Z值可以看成是的標(biāo)準(zhǔn)單位。=60 =20 40 80 原始分布：=60，=20 =60 Z分布：=0 =1 -3 -2 -1 0 1 2 3 例題：已知某總體服從平均數(shù)為10，標(biāo)準(zhǔn)差為2.5的正態(tài)分布。求任意值大于或等于15的概率。解： Z=（15-10）/2.5=2 0.97725 與Z=2對(duì)應(yīng)的概率為0.97725 P（x15）=1-0.

4、97725 10 15 =0.02275習(xí)題1、假如某一學(xué)院的入學(xué)考試分?jǐn)?shù)是服從平均數(shù)為450，標(biāo)準(zhǔn)差為100的正態(tài)分布，求：（1）有多少學(xué)生比率的得分在400500之間？（2）若某一學(xué)生得分是630分，則比他更好和更差的學(xué)生其比率各為多少？解：（1） Z1=（400-450）/100= -0.5 Z2=（500-450）/100= 0.5 與Z=0.5對(duì)應(yīng)的概率為0. 400 450 500 則：P（400x500 = 0.-0.5 = 0.2 = 0. （2）Z=（630-450）/100=1.8 則：P（x630= 0.9641P（x630）=1-0.9641= 0.0359習(xí)題2、教材

5、P101，11（1） 95.254% 150-Z 200（2） 90% -Z 200 Z習(xí)題3、美國(guó)某大型商場(chǎng)牙膏銷量，據(jù)信是服從每周平均數(shù)為10000盒，標(biāo)準(zhǔn)差為1500盒的正態(tài)分布。問：（1）任意一周牙膏銷量超過12000盒的概率是多少？（2）為使公司庫(kù)存充裕，以滿足每周需求高達(dá)95%的概率，問庫(kù)存應(yīng)備多少盒牙膏？解： （1） Z=（12000-10000）/1500=1.33，與1.33對(duì)應(yīng)的概率=0.4082，超過12000盒的10000 12000 概率=1- 0.=0.（9.176%）。0.95 （2）與0.95概率對(duì)應(yīng)的Z值為1.645， （X-10000）/15000=1.64

6、5，X=12468（盒）。習(xí)題4、某一出口產(chǎn)品（容器），技術(shù)資料顯示，其填裝量為服從標(biāo)準(zhǔn)差為0.6盎司的正態(tài)分布。若填裝重量少于18盎司的比率為2%，問其平均填裝重量為多少？解： 與比率1-0.02=0.98,對(duì)應(yīng)的Z=-2.05，綠色健康飲品0.02 （18-）/0.6=-2.05， =19.23（盎司） 18習(xí)題5、已知某加工廠工人日包裝量為平均每人25件，從中抽取一人，其日包裝量小于10件的概率為7.78%，問工人日包裝量的標(biāo)準(zhǔn)差是多少？7.78% 解；因?yàn)椋?-0.0778=0.9222，對(duì)應(yīng)的Z=1.42 所以：與0.0778對(duì)應(yīng)的Z=-1.4210 25 則；（10-25）/=-1

7、.42 -Z =10.56（件）正態(tài)分布是推斷統(tǒng)計(jì)的基石第四章 抽樣與抽樣分布抽樣調(diào)查的必要性告訴人們，在許多情況下不必要或不可能進(jìn)行全面調(diào)查，這時(shí)，要了解總體的情況，只能由樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)。常用的抽樣方法 1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 重復(fù)抽樣 等概率（純隨機(jī)抽樣） 不重復(fù)抽樣 等可能2、分層抽樣 先分組，后抽樣。 （分類抽樣） 4個(gè)優(yōu)點(diǎn)P106（3）3、系統(tǒng)抽樣：有序排列 確定起點(diǎn) 間隔抽取 （機(jī)械抽樣、等距抽樣） 隨機(jī)性4、整群抽樣：簡(jiǎn)便。前提是總體分布均勻。抽樣分布與中心極限定理 1、抽樣分布：全部可能樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布叫做抽樣分布。（總體分布、樣本分布）的抽樣形式與特征：以下是一個(gè)極端的

8、例子：假定一個(gè)實(shí)驗(yàn)小組有四人N=4，其寫作成績(jī)分別為：21、20、19、18（分）（25為滿分）。若樣本容量n=2，則全部可能樣本（不重復(fù)抽樣）是6個(gè)，6個(gè)樣本及它們的平均數(shù)、準(zhǔn)差如下表：樣本容量n=2，則全部可能樣本（重復(fù)抽樣）是16個(gè)： 頻數(shù) 頻率（%） 18.0 1 0.06 18.5 2 0.1319.0 3 0.19 19.5 4 0.25 20.0 3 0.19 20.5 2 0.1321.0 1 0.06 合計(jì) 16 1.00 =？ = ？ 對(duì)比不重復(fù)抽樣的、有何啟示？平均數(shù)抽樣分布圖：接近正態(tài)分布。 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 =19.5； =0.79

9、；= = 重復(fù)抽樣2、中心極限定理：數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明：（1）當(dāng)總體很大時(shí)，無(wú)論它呈現(xiàn)何種分布，只要樣本容量n足夠大，那么樣本平均數(shù)的抽樣分布，必定趨近于正態(tài)分布；（2）從正態(tài)總體中抽取的全部可能樣本，無(wú)論樣本容量有多大，樣本平均數(shù)的抽樣分布必定遵從于正態(tài)分布；即使是非正態(tài)總體，只要n30，其抽樣分布必定趨近于正態(tài)分布；見書P111圖4.5（3）抽樣分布的平均數(shù)等于總體平均數(shù)：= ；（4）抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差小，且隨著樣本容量的增加，隨之減?。? ；也稱為“抽樣平均誤差”。在區(qū)間估計(jì)中，樣本容量n越大，樣本平均數(shù)圍繞總體平均數(shù)擺動(dòng)的幅度越小，樣本平均數(shù)的分布曲線變得又窄又高，它意味著樣本平均數(shù)

10、落在總體平均數(shù)附近的概率也相應(yīng)增大。極限定理在區(qū)間估計(jì)中的作用：可以確定從總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，其平均數(shù)出現(xiàn)在一個(gè)指定值域內(nèi)的概率。3、平均數(shù)的抽樣分布及應(yīng)用：(見PPT)例題：假定某大型公司全部推銷員個(gè)人營(yíng)業(yè)額（月）的總體分布如下圖1，現(xiàn)從中抽取一個(gè)包括30人的隨機(jī)樣本，其樣本平均數(shù)大于15750元的概率是多少？圖1：總體分布：=2000 圖2：抽樣分布 P？ 15000 X 15000 解：由于n30，是容量為30的所有可能樣本之一，15750是所有樣本平均數(shù)隨機(jī)變量之一，見圖2。根據(jù)中心極限定理作適當(dāng)變換，下列關(guān)系式成立：所以：Z=2.05，查表，對(duì)應(yīng)概率為0.4798，故大于1575

11、0元的概率為0.5-0.4798=0.02。教材P117，16 17教材P118，18（1）20；2；（2）正態(tài)；（3）-2.25；（4）1.5教材P118，18（1）1-0.97725=0.02275； （2）1-0.=0.0668；（3）1-0.99379=0.00621； （4）（0.97725 -0.5）+（0.-0.5）=0.；（5）1-0.99865=0.00135。教材P118，19（1）0.8944；（2）0.0228；（3）0.1292；（4）0.9699。教材P118，20(1)(2)1；（3）不一定。教材P118，22趨于正態(tài)分布教材P118，23（1）n=4930，正態(tài)

12、分布； =213（美元）；=4.5918 （2）0.5；大于217的概率是1-0.=0.； 在P（209217）=（0.-0.5）2 = 0.教材P119，（1）=406克；=1.68333；正態(tài)分布。（2）1-0.=0.（3）是。因?yàn)閆=-3.09，超出了3Z，出現(xiàn)了小概率。教材P18（1）增加；（2）減少。教材P119（1）n=5030，正態(tài)。（2）P（830）0；（因?yàn)閆=-4.7）；（3）生產(chǎn)過程不正常；（4）仍是正態(tài)； P（830）=0.0582），（Z=1.57）。教材P119，（3）由（1）可知【】4、有限總體(或不重復(fù)抽樣)修正系數(shù)：?jiǎn)栴}的提出：用樣本估計(jì)總體時(shí)比較下列誤差誰(shuí)大

13、？無(wú)限總體 有限總體 重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣有限總體修正系數(shù)為：它永遠(yuǎn)小于1。當(dāng)抽樣比例n/N0.05時(shí)，可以省略修正系數(shù)；當(dāng)抽樣比例n/N0.05時(shí)，一般需要使用修正系數(shù)，原平均誤差公式修正為：； 案例：從阿根廷、加拿大、美國(guó)到貨三批玉米，分別為600包、6000包、60000包。合同規(guī)定三批玉米平均每包重量都是80公斤，標(biāo)準(zhǔn)差都是4公斤。要求：（1）若從每批玉米中都抽取300包為樣本，分別計(jì)算它們的平均誤差。有何啟示？（要求都使用修正系數(shù)）三批玉米的抽樣比例n/N分別為：阿300/600=0.5；加300/6000=0.05；美300/60000=0.005習(xí)題1：某地有200家外貿(mào)企業(yè)，年

14、平均出口額為90萬(wàn)美元，標(biāo)準(zhǔn)差為27萬(wàn)美元，隨機(jī)抽取36家企業(yè)調(diào)查，問其年平均出口額在100萬(wàn)美元以上的概率為多少？解：習(xí)題2：某食品公司收購(gòu)一批鮮蛋共1500箱，平均每箱為25.75斤，標(biāo)準(zhǔn)差5.25公斤。問由100箱組成的一個(gè)隨機(jī)樣本所計(jì)算的平均重量在2527公斤之間的概率有多大？超過26公斤的概率有多大？解：5、比例的抽樣分布：當(dāng)總體中各元素只能以“成功”和“失敗”表示時(shí)，用P表示“成功”的比例，（1-P）表示“失敗”的比例。中心極限定理證明：P不接近0或1，且n很大時(shí)，其抽樣分布趨近于正態(tài)分布。比例抽樣分布的平均誤差為：無(wú)限總體(或重復(fù)抽樣)：。有限總體(或不重復(fù)抽樣)：。其他問題與平

15、均數(shù)相同。 例題：據(jù)資料記錄，二年級(jí)的學(xué)生中有43%人，閱讀某類文章后表示有困難，現(xiàn)隨機(jī)抽取100人閱讀同類文章，問：感到有困難的學(xué)生占五成以下的概率是多少？習(xí)題1、一家工廠在正常情況下產(chǎn)品次品率為8%，若產(chǎn)品批量比較大，隨機(jī)抽取100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，求次品率在7%9%之間的概率。解：（修正系數(shù)可以省略）6、t分布：（小樣本理論）t分布也稱“學(xué)生分布” 。19081909年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈塞特（Gosset），以筆名（Student）陸續(xù)在生物計(jì)量學(xué)雜志上發(fā)表了三篇文章：“平均數(shù)的概差”、“相關(guān)系數(shù)的概差”、“論非隨機(jī)樣本平均數(shù)的分布”，從而奠定了“小樣本理論”的基礎(chǔ)，并使他獲得了崇高的榮譽(yù)。因此， t分布也稱“學(xué)生分布”。 t分布也是對(duì)稱分布，形狀比正態(tài)分布更平緩些，當(dāng)n30時(shí)t分布與正態(tài)分布很接近。t分布特征：（1）t分布平均數(shù)所處的曲線峰頂?shù)陀谡龖B(tài)分布；（2）t分布兩個(gè)尾端的面積按一定比例比正態(tài)分布多起來(lái)；（3）如果包含曲線下相同的面積，t分布的界限必須離開平均數(shù)更遠(yuǎn)些。自由度：指可以自由選擇的數(shù)值的個(gè)數(shù)。不同容量的樣本對(duì)應(yīng)與不同的t分布，統(tǒng)計(jì)上說“不同的自由度對(duì)應(yīng)著不同的樣本”。如：（a+b+c）/3=4，則3*4=12，必須是a+b+c=12，其中：a、