初中數(shù)學競賽《圓》

1、.B1IC1A1BC2、（05）已知點I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1，B1，C1分別是點I關于邊BC，CA，AB的對稱點。若點B在A1B1C1的外接圓上，則ABC等于（）A、30B、45C、60D、90（第3題圖）ABCDOQP3（06）正方形ABCD內(nèi)接于O，點P在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點Q若QP=QO，則的值為（ ）（A）（B） （C）（D）5（07）已知為銳角三角形，經(jīng)過點B，C，且與邊AB，AC分別相交于點D，E若的半徑與的外接圓的半徑相等，則一定經(jīng)過的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心10已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB

2、的延長線上取點D，使得BDAC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，則的值為 （第8題）CEIADB8、ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心l作DEBC，分別與AB、AC相交于點D，E，則DE的長為。9、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DBAB，DC的延長線交圓O于點E，則AE的長為（）。A、B、1C、D、1（04）D是ABC的邊AB上的一點，使得AB=3AD，P是ABC外接圓上一點，使得，求的值.（第4題）ABCOPEK4（06）如圖，點P為O外一點，

3、過點P作O的兩條切線，切點分別為A，B過點A作PB的平行線，交O于點C連結(jié)PC，交O于點E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點K求證：PEAC=CEKB6已知AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點以點A為圓心，AP為半徑作A，A與半圓O相交于點C；以點B為圓心，BP為半徑作B，B與半圓O相交于點D，且線段CD的中點為M求證：MP分別與A和B相切7如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足若，的延長線相交于點，的外接圓與的外接圓的另一個交點為點，連接PA，PB，PC，PD求證：（1）；（2）11（10）如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的

4、一點，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： （第12A題）（第12B題） （第12B題）12（11）、如圖，點H為ABC的垂心，以AB為直徑的和BCH的外接圓相交于點D，延長AD交CH于點P，求證：點P為CH的中點。初中數(shù)學競賽圓歷屆考題1（04）D是ABC的邊AB上的一點，使得AB=3AD，P是ABC外接圓上一點，使得，求的值.解：連結(jié)AP，則，所以，APBADP， （5分），所以， （10分）A1BCDAB1C1I所以. （15分）2、（05）已知點I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1，B1，C1分別是點I關于邊BC，CA，AB的對稱點。若點B在A1B1C1的外接圓上

5、，則ABC等于（）A、30B、45C、60D、90答：C解：因為IA1IB1IC12r（r為ABC的內(nèi)切圓半徑），所以點I同時是A1B1C1的外接圓的圓心，設IA1與BC的交點為D，則IBIA12ID，所以IBD30，同理，IBA30，于是，ABC60（第3題圖）ABCDOQP3（06）正方形ABCD內(nèi)接于O，點P在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點Q若QP=QO，則的值為（ ）（A）（B） （C）（D）答：D解：如圖，設O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根據(jù)相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=連結(jié)DO，由勾股定理，得QD2

6、=DO2QO2，即，解得所以， （第4題）ABCOPEK4（06）如圖，點P為O外一點，過點P作O的兩條切線，切點分別為A，B過點A作PB的平行線，交O于點C連結(jié)PC，交O于點E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點K求證：PEAC=CEKB證明：因為ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切線，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割線定理得 所以 10分因為ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分5（07）已知為銳角三角形，經(jīng)過點B，C，且與邊AB，AC分別相交于點D，E若的半徑與的外接圓的半徑相等，則一定經(jīng)過的（ ）（A）內(nèi)心 （

7、B）外心 （C）重心 （D）垂心答：（B）解： 如圖，連接BE，因為為銳角三角形，所以，均為銳角又因為的半徑與的外接圓的半徑相等，且為兩圓的公共弦，所以（第3題答案圖）于是，若的外心為，則，所以，一定過的外心故選（B）6已知AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點以點A為圓心，AP為半徑作A，A與半圓O相交于點C；以點B為圓心，BP為半徑作B，B與半圓O相交于點D，且線段CD的中點為M求證：MP分別與A和B相切（第13A題答案圖）證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，并且分別過點C，D作AB的垂線，垂足分別為，則CEDF因為AB是O的直徑，所以在Rt和Rt中，由射影定理得， 5分兩式相

8、減可得，又 ，于是有 ，即，所以，也就是說，點P是線段EF的中點因此，MP是直角梯形的中位線，于是有，從而可得MP分別與A和B相切7如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足若，的延長線相交于點，的外接圓與的外接圓的另一個交點為點，連接PA，PB，PC，PD求證：（1）；（2）證明：（1）連接PE，PF，PG，因為，所以又因為，所以，于是有 ，從而，所以又已知，所以， 10分（2）由于，結(jié)合（1）知，從而有 ，所以，因此 15分ABCDEIrha（第8題）8、ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心l作DEBC，分別與AB、AC相交于點D，E，則DE的長為

9、。解：如圖，設ABC的三邊長為，內(nèi)切圓l的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以，因為ADEABC，所以它們對應線段成比例，因此所以DE故DE。9、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DBAB，DC的延長線交圓O于點E，則AE的長為（B）。ABCODE（第9題）A、B、1C、D、解：如圖，連接OE，OA，OB，設D，則ECA120EAC又因為ABO所以ACEABO，于是AEOA110已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BDAC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與A分別相

10、交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，則的值為 解：如圖，延長AD與D交于點E，連接AF，EF 由題設知，在FHA和EFA中，（第10題）所以 RtFHARtEFA， .而，所以.11（10）如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： （第12A題）（第12B題） （第12B題）證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D. 因為BE和CF都是直徑，所以EDBC， FDBC，因此D，E，F(xiàn)三點共線. （5分）連接AE，AF，則（第11題），所以，ABCAEF. （10分）作AHEF，垂足為H，則AH=PD. 由ABCAEF可得，從而 ， 所以 . （20分）ABCHPDQ12（11）、如圖，點H為ABC的