數(shù)學(xué)歸納法典型例題

1、數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的 一種方法 基本步驟： 證明：當(dāng) 時，命題成立； 假設(shè) 時命題成立， 證明：當(dāng) 時，命題成立 根據(jù)可以斷定命題對一切正整數(shù)nn0,數(shù)學(xué)歸納法部分,1數(shù)學(xué)歸納法,2數(shù)學(xué)歸納法證明步驟,nn0,nk (k n0),nk1,1.說明：歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想“觀察猜想證明”是解答與正整數(shù)有關(guān)命題的有效途徑,利用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問題、整除性問題等等，所涉及的題型主要有以下幾個方面： (1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和

2、； (2)由一些恒等式、不等式改編的探究性問題，求使命題成立的參數(shù)的值或范圍； (3)猜想并證明對正整數(shù)n都成立的一般性命題,2.數(shù)學(xué)歸納法的主要應(yīng)用,(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題 (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可,3應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的注意事項,【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1427310n(3n 1)n(n1)2(其中nN) ,題型一恒等式問題,(1)當(dāng)n1時，左邊144，右邊1224，左邊右邊，等式成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2， 那么，當(dāng)nk1時， 1427310k(3k1)(k1)3(k1)1

3、k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12， 即當(dāng)nk1時等式也成立 根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何nN都成立,證明,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項難點在于尋找nk時和nk1時的等式的聯(lián)系,【例2】 幾個半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個半圓每兩個 都相交，且都在直線l的同側(cè)，求證這些半圓被所有的交點 最多分成的圓弧段數(shù)為f(n)n2.(n2，nN),題型二幾何問題,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元

4、素從k個變成k1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，實在分析不出來的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧,題型三不等式問題,【例4】 (12分)在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an， bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN) 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項公 式，并證明你的結(jié)論 歸納猜想證明是高考重點考查的內(nèi)容之一， 此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問 題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、

5、歸納、猜想，探 索出一般規(guī)律,題型四“歸納、猜想、證明”問題,審題指導(dǎo),【題后反思】 對于已知遞推公式求通項公式，可以把遞推公式變形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的知識來解決，當(dāng)用上述方法不能解決問題時，常用歸納、猜想和證明的方法來解決問題，用該法要求計算準(zhǔn)確，歸納、猜想正確然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想對任何自然數(shù)都成立,【訓(xùn)練4】 設(shè)數(shù)列an滿足an1an2nan1，n1,2,3， (1)當(dāng)a12時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項 公式； (2)當(dāng)a13時，證明對所有的n1，有ann2. (3)在（2）的前提下，證明：,(2)證明當(dāng)n1時，a1312，不等式成立 假設(shè)當(dāng)nk(k1)時不等式成立，

6、即akk2， 那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3. 即nk1時，ak1(k1)2. 由可知，對n1，都有ann2. （3）證明（略）學(xué)生證自己證,【示例】 當(dāng)n為正奇數(shù)時，7n1能否被8整除？若能，用數(shù)學(xué)歸 納法證明；若不能，請舉出反例 錯解 (1)當(dāng)n1時，718能被8整除命題成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk時命題成立，即7k1能被8整除則當(dāng)nk1 時，7k117(7k1)6不能被8整除 由(1)和(2)知，n為正奇數(shù)時，7n1不能被8整除,題型五 整除問題,不要機械套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟，而忽略了n是正奇數(shù)的條件證明前要看準(zhǔn)已知條件 正解 (1)當(dāng)n1時，718能被8整除，命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)nk時命題成立，即7k1能被8整除， 則當(dāng)nk2時，7k2172(7k1)17249(7k1)48，因為7k1能被8整除，且48能被8整除，所以7k21能被8整除所以當(dāng)nk2時命題成立由(