線性代數(shù)1-5行列式習(xí)題課

1、,線性代數(shù),1.5 習(xí)題課,行列式計(jì)算方法小結(jié),利用行列式的定義 化三角形法 拆行(列)法 按某一行(列)或某k行(列)展開(kāi) 數(shù)學(xué)歸納法 遞推法 加邊法(升階法) 利用已知行列式的結(jié)論,例1.計(jì)算n階行列式,分析 0 較多,用行列式定義或展開(kāi)定理.,解(一)由行列式定義,(二)按第一列展開(kāi)此行列式, 得,?,！,化上三角形,例2.計(jì)算（1）,方法一,9,化上三角形,9,展開(kāi)降階,方法二,3,=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12,范德蒙行列式,(2),(3),=160,觀察：每行元素之和都等于10,解：,例3.證明,證明:,法一: 左,右,法二: 左,右,解:,D

2、,每行元素之和相同，2n列加至首列,例4.計(jì)算,注:本題首行乘以(-1)加至2至n行可得箭形行列式,例5 計(jì)算行列式,分析每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后無(wú)法通過(guò)2至末行減首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.,解：,例6 計(jì)算,解:,分析首行乘以(1)加至2至n行可得箭形行列式,例7. 解方程,解法(一)末列(-ai)加至第i列(i=1,2,n)得上三角形. (二)末行(-1)加至1至n行, 再由行列式定義或按末列展開(kāi). (三)末行起,每行減其上行,再由行列式定義或按末列展開(kāi). (四)方程為一元n次方程,最多有n個(gè)實(shí)根,而當(dāng)x =a1,a2,an時(shí),方

3、程左邊行列式兩行相同,值為0,方程成立,故為根.,1.2例解方程,例8 計(jì)算 (P23),特點(diǎn):“0”多,方法: 降階找遞推公式,0,0,0,0,解：法(一) 按第1行展開(kāi), 再,遞推公式:,adD2(n-1)bcD2(n-1),(adbc)D2(n-1),D2n,(adbc)D2(n-1),(adbc)2D2(n-2),(adbc)n-1D2,(adbc)n,按末行展開(kāi)，有：,法(二)按中間兩行展開(kāi)拉普拉斯定理,重復(fù)此步驟.,法(三)d0,用定義；d0, 化下三角形行列式.,(adbc)D2(n-1),(adbc)2D2(n-2),(adbc)n-1D2,(adbc)n,例9,解:按首行(列

4、)展開(kāi),變形為:,后一行列式再按首列(行)展開(kāi)得,Dn-2,、消去Dn-1得,時(shí),按另一種方式變形為:,時(shí),例10 計(jì)算 (P26),(一) 2至n列加至首列,再2至n行減首行得上三角形行列式 (二) 2至n行減首行得箭形行列式 (三) 加邊(升階)法,解：,箭形行列式,例11,主對(duì)角線上元素去掉1,則各行分別有公因子x1, x2,xn, 提取公因子后各行元素都是x1, x2, xn,故考慮“加邊法”,第2行減去第1行的x1倍,第3行減去第1行的x2倍,第n+1行減去第1行的xn倍.,箭形行列式,(1) mnab,例12 設(shè),則,(一)按前n行展開(kāi)得,(二)B的第一行逐行向上交換經(jīng)n次至C的首

5、行, B的原第二行逐行向上交換經(jīng)n次至C的第二行,直至B位于C的左上角, 得,(92 考研 數(shù)四 ),1-a+a2-a3+a4-a5,(96考研數(shù)五 ),(一) 25列加至首列, 按首列展開(kāi), 得同型四階行列式再24列加至首列, 按首列展開(kāi), 三階行列式對(duì)角線法則展開(kāi)易得.,(二) 從末列起, 每列加至前列, 所得行列式從首列起, 每列(-a)加至后列, 即得下三角形行列式.,例13,(1)n1(n1),(97考研數(shù)四 ),ab 型行列式,例14,(99考研數(shù)二),24列減首列，再2列加至4列：,根的個(gè)數(shù)為（ ）,(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4,B,例15 方程,28,(01考

6、研數(shù)四 ),若題為“代數(shù)余子式之和”,則為0，因?yàn)榈?行全為2;本題“余子式之和”可直接計(jì)算,因?yàn)楹?較多. 若0不多，技巧：,，第四行各元素余子式之和的值為,M41+M42+M43+M44,A41+A42A43+A44,例16 設(shè),(96考研數(shù)一、二 ),前例! 用定義. 可按2、3兩行展開(kāi).,四階行列式 的值等于（ ）,D,(A) a1a2a3a4b1b2b3b4,(B) a1a2a3a4+b1b2b3b4,(D) (a2a3b2b3)(a1a4b1b4),(C) (a1a2b1b2)(a3a4b3b4),例17,作業(yè): P32-33 習(xí)題1.4 1, 2, 3,備用題1. 計(jì)算行列式,分

7、析 n+2階的三對(duì)角行列式.其非0元特點(diǎn)!,化下三角形：第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列的-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至將新的第n+1列-(a+nb)倍加到第n+2列。,解:第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至新第n1列-(a+nb)倍加到第n2列,得:,a(a+b)(a+2b)a+(n+1)b,備用題2 計(jì)算行列式,解(一),分析第1列加到第2列,新的第2列加到第3列,直至新的第n列加到第n1列,解(二),另一思路：盡管每行元素之和不全相同，但若將第2至末列加至首列，則首列除末元素外全為0，按首列展開(kāi)得下三角形行列式。,方法索引-數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。數(shù)學(xué)歸納法有兩種基本形式： 第一數(shù)學(xué)歸納法：一般地，證明某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題 ，如果滿足下面兩個(gè)條件，就對(duì)一切自然數(shù)成立： （1）命題 成立； （2）假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立，蘊(yùn)含 時(shí)命題也成立。 第二數(shù)學(xué)歸納法：對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題， （1）驗(yàn)證 時(shí) 成立； （2）假設(shè) 時(shí) 成立，并推出 成立。 綜