江蘇省南通市如皋市2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

1、江蘇省南通市如皋市2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一單項(xiàng)選擇題1.已知過拋物線()的焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長度為2，則實(shí)數(shù)的值為( )a. 4b. 2c. 1d. 3【答案】b【解析】【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出弦長即得解.【詳解】由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)x=時，所以所以|y|=所以弦長為.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查弦長的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2.下列選擇支中，可以作為曲線與x軸有兩個交點(diǎn)的充分不必要條件是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先根據(jù)曲線與x軸有兩個交點(diǎn)得到且，再根據(jù)充分不

2、必要條件的定義得解.【詳解】當(dāng)a=0時，曲線與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)a0時，因?yàn)榍€與x軸有兩個交點(diǎn)，所以.所以且.由于選擇支是充分不必要條件，所以選擇支對應(yīng)的集合是的真子集，只有選項(xiàng)c滿足題意.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查充分不必要條件的判定，考查二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3.氣象資料表明，某地區(qū)每年七月份刮臺風(fēng)的概率為，在刮臺風(fēng)的條件下，下大雨的概率為，則該地區(qū)七月份既刮臺風(fēng)又下大雨的概率為( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè)某地區(qū)每年七月份刮臺風(fēng)為事件a,設(shè)某地區(qū)每年七月份下大雨為事件b,則該地區(qū)七月份既刮臺風(fēng)又下大雨為事件ab，由題得，

3、化簡即得解.【詳解】設(shè)某地區(qū)每年七月份刮臺風(fēng)為事件a,設(shè)某地區(qū)每年七月份下大雨為事件b,則該地區(qū)七月份既刮臺風(fēng)又下大雨為事件ab，由題得,所以,所以.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4.一個班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量x，男生的人數(shù)為變量y，則等于( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求出,即得解.【詳解】由題得,所以.故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查超幾何分布概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5.某設(shè)備的使用

4、年限x(單位:年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位:萬元)如下表所示.已知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為，則實(shí)數(shù)a的值為( )a. 6b. 4c. 2d. 1【答案】d【解析】【分析】先求出樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線方程即得解.【詳解】由題得，所以樣本中心點(diǎn)為（4,5），所以5=4a+1,所以a=1.故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸直線方程的樣本中心點(diǎn)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6.在直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線c:的右支上有一點(diǎn)p，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，、是c的左右焦點(diǎn)，則的周長為( )a. b. 18c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出，再利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出的周長.

5、【詳解】由題得，因?yàn)閜點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5,所以,所以，所以，所以的周長為.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7.由0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字可以組成五位沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)個數(shù)為( )a. 288b. 360c. 480d. 600【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意，首先分析末位數(shù)字，易得末位數(shù)字可以為1、3、5，可得其取法數(shù)目，其首位數(shù)字不能為0，可得其取法數(shù)目，再選3個數(shù)字，排在中間，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，末位數(shù)字可以為1、3、5，有種取法，首位數(shù)字不能為0，有種取法，再選3個數(shù)字，排在中間，有種排法

6、，則五位奇數(shù)共有，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題時注意題干條件對數(shù)的限制，其次還要注意首位數(shù)字不能為0，屬于基礎(chǔ)題8.已知a，b是平面外的兩條不同直線，它們在平面內(nèi)的射影分別是直線，(與不重合)，則下列命題正確的個數(shù)是( )(1)若，則；(2)若，則；(3)若，則；(4)若，則ab.a. 0個b. 1個c. 2個d. 3個【答案】b【解析】【分析】（1）直接判斷得解；（2）舉出一個反例即可判斷錯誤；（3）舉出一個反例，相交即可判斷錯誤；（4）舉出反例，a,b不垂直即可判斷錯誤.【詳解】(1)若，則，是正確的；(2)若，則是錯誤，因?yàn)橛锌赡芷叫谢蛘呦嘟唬?(3)若，則a/b是錯誤

7、的，因?yàn)閍,b有可能相交、異面； (4)若，則ab是錯誤的，因?yàn)閍,b可能不垂直.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二多項(xiàng)選擇題9.如城鎮(zhèn)小汽車的普及率為75%，即平均每100個家庭有75個家庭擁有小汽車，若從如城鎮(zhèn)中任意選出5個家庭，則下列結(jié)論成立的是( )a. 這5個家庭均有小汽車的概率為b. 這5個家庭中，恰有三個家庭擁有小汽車的概率為c. 這5個家庭平均有3.75個家庭擁有小汽車d. 這5個家庭中，四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為【答案】acd【解析】【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和互斥事件的概率研究每一個選項(xiàng)判斷得解

8、.【詳解】由題得小汽車的普及率為，a. 這5個家庭均有小汽車的概率為，所以該命題是真命題；b. 這5個家庭中，恰有三個家庭擁有小汽車的概率為,所以該命題是假命題；c. 這5個家庭平均有3.75個家庭擁有小汽車，是真命題；d. 這5個家庭中，四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為=,所以該命題是真命題.故選：acd.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和互斥事件的概率，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10.若隨機(jī)變量，其中，下列等式成立有( )a. b. c. d. 【答案】ac【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對稱，再結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線定義，由此可

9、解決問題【詳解】隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，根據(jù)曲線的對稱性可得：a.，所以該命題正確；b，所以錯誤；c.，所以該命題正確；d.或，所以該命題錯誤故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11.在正三棱錐中，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，e，f分別為棱ab，cd的中點(diǎn)，則下列命題正確的是( )a. ef與ad所成角的正切值為b. ef與ad所成角的正切值為c. ab與面acd所成角的余弦值為d. ab與面acd所成角的余弦值為【答案】bc【解析】【分析】如圖所示，先找出ef與ad所成角再求解，再找出ab與面acd所成角求解.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)

10、為，的中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)?，所以，所以就是直線與所成的角或補(bǔ)角，在三角形中，由于三棱錐是正三棱錐，又因?yàn)槠矫?，所以平面，平面，所以，所以，所以，所以a錯誤b正確.（2）過點(diǎn)作垂直，垂足為.因?yàn)?，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以就是與平面所成角.由題得，所以.所以c正確d錯誤.故答案為：bc.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間異面直線所成的角的求法，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12.如圖，矩形abcd中，e，f，g，h分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，r，s，t是線段of的四等分點(diǎn)，是線段cf的四等分點(diǎn)，分別以hf，eg為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)er與

11、er與分別交于，es與es與交于，et與交于點(diǎn)n，則下列關(guān)于點(diǎn)，n與兩個橢圓:，:的位置關(guān)系敘述正確的是( )a. 三點(diǎn)，n在，點(diǎn)在上b. ，不在上，n在上c. 點(diǎn)在上，點(diǎn)，均不在上d. ，在上，均不在上【答案】ac【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，證明在上；求出的坐標(biāo)，證明點(diǎn)在上.即得解.【詳解】由題得e（0，-3），r（1,0），所以直線er的方程為.由題得g（0,3），所以，所以直線的方程為，聯(lián)立,的坐標(biāo)滿足橢圓:，所以在上.由題得es的方程為.由題得,所以所以直線的方程為，聯(lián)立直線es和方程得,滿足:，所以點(diǎn)在上.所以選項(xiàng)bd錯誤.由于本題屬于多項(xiàng)選擇題，所以至少兩個答案正確.故選：ac【點(diǎn)

12、睛】本題主要考查直線的交點(diǎn)的求法，考查點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三填空題13.采用隨機(jī)數(shù)表法從編號為01，02，03，30的30個個體中選取7個個體，指定從下面隨機(jī)數(shù)表的第一行第5列開始，由左向右選取兩個數(shù)字作為應(yīng)取個體的號碼，則選取的第6個個體號碼是_.03 47 43 86 36 16 47 80 45 69 11 14 16 95 36 61 46 98 63 71 62 33 26 36 7797 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 52 24 52 79 89 73【答案】20【解

13、析】【分析】利用隨機(jī)數(shù)表寫出依次選取的號碼即得解.【詳解】指定從下面隨機(jī)數(shù)表的第一行第5列開始，由左向右選取兩個數(shù)字作為應(yīng)取個體的號碼，則選取的號碼依次是：16,11,14,26,24,20,27.所以第6個號碼是20.故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)數(shù)表，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14.一個球的直徑為2，則它的內(nèi)接正四棱柱側(cè)面積的最大值為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)底面正方形的邊長為，棱柱高為，則棱柱側(cè)面積根據(jù)化簡得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得的最值【詳解】設(shè)底面正方形的邊長為，棱柱高為，則棱柱側(cè)面積正四棱柱為半徑為的球的內(nèi)接正四棱柱，即，由基本不等式得：，即，

14、即內(nèi)接正四棱柱的側(cè)面積的最大值是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是球的內(nèi)接多面體和基本不等式，由基本不等式得到是解答的關(guān)鍵15.已知雙曲線(a0，b0)的右焦點(diǎn)為f，由f向其漸近線引垂線，垂足為p，若線段pf的中點(diǎn)在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為_【答案】【解析】由題意設(shè)，相應(yīng)的漸近線方程為，根據(jù)題意得，設(shè)，代入得，則，則線段的中點(diǎn)為，代入雙曲線方程得，即，故答案為.16.已知，則_；_.【答案】 (1). (2). 84【解析】【分析】求出的系數(shù)即得解.【詳解】設(shè)的通項(xiàng)為，令r=0,則令r=1,則，所以；令r=4,則令r=5,則，令r=6,則令r=7,則，令r=8,則令r=9，則，令r

15、=10,則所以.故答案為：(1). ；(2). 84.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.四解答題17.為了了解居民消費(fèi)情況，某地區(qū)調(diào)查了10000戶小家庭的日常生活平均月消費(fèi)金額，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示，每戶小家庭的平均月消費(fèi)金額均不超過9千元，其中第六組第七組第八組尚未繪制完成，但是已知這三組的頻率依次成等差數(shù)列，且第六組戶數(shù)比第七組多500戶，(1)求第六組第七組第八組的戶數(shù)，并補(bǔ)畫圖中所缺三組的直方圖；(2)若定義月消費(fèi)在3千元以下的小家庭為4類家庭，定義月消費(fèi)在3千元至6千無的小家庭為b類家庭

16、，定義月消費(fèi)6千元以上的小家庭為c類家庭，現(xiàn)從這10000戶家庭中按分層抽樣的方法抽取80戶家庭召開座談會，間a，b，c各層抽取的戶數(shù)分別是多少?【答案】(1)第六七八組的戶數(shù)分別是:1500戶1000戶500戶，直方圖見解析；(2)從a，b，c三類家庭分別抽取的戶數(shù)分別是18戶48戶14戶.【解析】【分析】（1）設(shè)第六七八組的戶數(shù)分別是x，y，z，再通過已知求出它們即得解，再求出第六七八組的小矩形高度，補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；（2）求出a類家庭的頻率之和、b類家庭的頻率之和、c類家庭的頻率之和，即得解.【詳解】(1)設(shè)第六七八組的戶數(shù)分別是x，y，z，它們的頻率之和為:，所以這三組的戶數(shù)之和

17、為:.由于這三組的頻率依次成等差數(shù)列，所以x，y，z也成等差數(shù)列，又，解得:，.所以第六七八組的小矩形高度分別為:，.補(bǔ)直方圖(需注明第七組的小矩形高度為0.10，第六八兩組分別用虛線對應(yīng)0.15和0.05.)(2)a類家庭的頻率之和為:；b類家庭的頻率之和為:；c類家庭的頻率之和為:.故a，b，c類家庭分別抽取的戶數(shù)分別為:，.答:(1)第六七八組的戶數(shù)分別是:1500戶1000戶500戶；(2)從a，b，c三類家庭分別抽取的戶數(shù)分別是18戶48戶14戶.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查分層抽樣，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.在直三棱柱中，m，n分別

18、是上的點(diǎn)，且.(1)求證:平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)見解析；(2)【解析】【分析】（1）以c為原點(diǎn)，ca，cb，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明平面；（2）利用向量法求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1) 以c為原點(diǎn)，ca，cb，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，故?.同理求得，所以.因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€法向量，且，所以，又平面，所以平面 (2)，設(shè)平面的-個法向量為，則即令，則，所以.又平面的一個法向量為，設(shè)表示平面與平面所成銳二面角，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查空間角的計(jì)算，意在

19、考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計(jì)算能力.19.已知橢圓e:()過點(diǎn)，且它的右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓e的方程；(2)過a且傾斜角互補(bǔ)的兩直線分別交橢圓e于點(diǎn)bc(不同于點(diǎn)a)，且，求直線ab的方程.【答案】(1)；(2)或【解析】【分析】(1)由條件知，解方程即得解；（2）設(shè)直線ab:，利用弦長公式求出|ab|,|ac|，根據(jù)|ab|=2|ac|得解.【詳解】(1)由條件知.解得:，所以橢圓e的方程為:.(2)設(shè)直線ab:，將直線ab的方程代入橢圓方程:得:，即，解得:或.故.同理:因?yàn)?，所?化簡得:，解得:或，所以直線ab的方程為:或即或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓

20、的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.20.農(nóng)機(jī)公司出售收割機(jī)，一臺收割機(jī)的使用壽命為五年，在農(nóng)機(jī)公司購買收割機(jī)時可以一次性額外訂購買若干次維修服務(wù)，費(fèi)用為每次100元，每次維修時公司維修人員均上門服務(wù)，實(shí)際上門服務(wù)時還需支付維修人員的餐飲費(fèi)50元/次；若實(shí)際維修次數(shù)少于購買的維修次數(shù)，則未提供服務(wù)的訂購費(fèi)用退還50%；如果維修次數(shù)超過了購買的次數(shù)，農(nóng)機(jī)公司不再提供服務(wù)，收割機(jī)的維修只能到私人維修店，每次維修費(fèi)用為400元，無須支付餐飲費(fèi)；-位農(nóng)機(jī)手在購買收割機(jī)時，需決策一次性購買多少次維修服務(wù).為此，他擬范收集整理出一臺收割機(jī)在五年使用期內(nèi)維修次數(shù)及相應(yīng)的頻率如

21、下表:(1)如果農(nóng)機(jī)手在購買收割機(jī)時購買了6次維修，在使用期內(nèi)實(shí)際維修的次數(shù)為5次，這位農(nóng)機(jī)手的花費(fèi)總費(fèi)用是多少?如果實(shí)際維修的次數(shù)是8次，農(nóng)機(jī)手的花費(fèi)總費(fèi)用又是多少?(2)農(nóng)機(jī)手購買了一臺收制機(jī)，試在購買維修次數(shù)為6次和7次的兩個數(shù)據(jù)中，根據(jù)使用期內(nèi)維修時花費(fèi)的總費(fèi)用期望值，幫助農(nóng)機(jī)手進(jìn)行決策.【答案】(1)800元，1700元；(2)選訂購7次維修較劃算【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件直接求出購買6次維修，而實(shí)際維修次數(shù)為5次時的維修總費(fèi)用，購買6次維修，而實(shí)際維修次數(shù)為8次時的維修總費(fèi)用；（2）先求出購買維修次數(shù)為6次和7次的總費(fèi)用期望值，再幫助農(nóng)機(jī)手進(jìn)行決策.【詳解】(1)購買6次維

22、修，而實(shí)際維修次數(shù)為5次時的維修總費(fèi)用為:(元)；購買6次維修，而實(shí)際維修次數(shù)為8次時的維修總費(fèi)用為:(元).(2)購買6次維修時:實(shí)際維修次數(shù)為6次時的維修總費(fèi)用為:(元)；實(shí)際維修次數(shù)為7次時的維修總費(fèi)用為:(元)；實(shí)際維修次數(shù)為9次時的維修總費(fèi)用為:(元).綜合(1)的計(jì)算，訂購維修次數(shù)6次時的維修總費(fèi)用概率分布表:維修次數(shù)56789維修總費(fèi)用800900130017002100p0.30.30.20.10.1(元)；若訂購維修次數(shù)為7次時，維修總費(fèi)用的概率分布表為:維修次數(shù)56789維修總費(fèi)用850950105014501850p0.30.30.20.10.1(元).因?yàn)?，所以選訂購7次維修較劃算.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.如圖，是邊長為3的正三角形，d，e分別在邊ab，ac上，且，沿de將翻折至位置，使二面角為60.(1)求證:平面；(2)求