湖南省郴州市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測12月試題文含解析

1、湖南省郴州市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（12月）試題 文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算法則直接求解.【詳解】由題：集合，故選：a【點(diǎn)睛】此題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡單題目，根據(jù)運(yùn)算法則直接求解.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）a. b. c. 1d. 2【答案】d【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡，純虛數(shù)，即實(shí)部為零，虛部不為零.【詳解】由題：為純虛數(shù)，則解得：.故答案為：d【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析，需要注意熟練掌握運(yùn)算法則，弄清相關(guān)

2、概念，純虛數(shù)必須實(shí)部為零且虛部不為零.3.若角的終邊過點(diǎn)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)角的終邊過點(diǎn)求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的奇偶性求出【詳解】由題：角的終邊過點(diǎn)，則，由正弦函數(shù)是奇函數(shù)，所以.故選：d【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)求角的正弦值，再根據(jù)正弦函數(shù)的奇偶性求值，或者得出的終邊上的點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)定義求值也可.4.函數(shù)的大致圖象是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由于，且，故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除；又當(dāng)時(shí)，滿足，即的圖象與直線的交點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，排除， 故選b【方法點(diǎn)晴】本題通過對多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與

3、性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除5.在等比數(shù)列中，是方程的根，則的值為（ ）a. b. c. d. 或【答案】c【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理求出：，討論的符號(hào)即可求得.【詳解】在等比數(shù)列中，是方程的根，由韋達(dá)定理：，所以同為負(fù)數(shù)，等比數(shù)列所有偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：，所以故選：c【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合二次方程韋達(dá)定理解決項(xiàng)的

4、關(guān)系.6.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù)，且對任意，設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞減，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化成的函數(shù)值進(jìn)行比較即可.【詳解】由題：對任意，任取，因?yàn)?，則，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞減函數(shù)是定義域?yàn)榕己瘮?shù)，所以，所以故選：a【點(diǎn)睛】此題考查通過函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性，將所求值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間利用單調(diào)性比較大小.7.已知向量，且，則向量與夾角為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】即，代入坐標(biāo)求出，根據(jù)向量夾角余弦值公式求解即可.【詳解】由題：即，解得：，根據(jù)向量夾角的取值范

5、圍限制在所以向量與夾角為故選：c【點(diǎn)睛】此題考查通過向量的垂直關(guān)系求參數(shù)值，再求向量的夾角，對基本公式通式通法的考查.8.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）在中，若，則是等腰三角形；在中，若 ，則兩個(gè)向量，共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】對每個(gè)命題逐一檢驗(yàn)其正確性:：若，則或；:轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題：在中，若，則，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可證；：若，不合命題的充要性，命題為假；：常數(shù)列不合題意.【詳解】對于：若，則或，即或即是等腰三角形或直角三角形，所以該命題不正確；對于：證明其等價(jià)命題即其逆否命題：在中，若，

6、則當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)單調(diào)遞增可得；當(dāng)時(shí)，所以原命題成立，所以該命題正確；對于：若，滿足向量，共線，但不存在實(shí)數(shù)，使，所以該命題不正確；對于：常數(shù)列，通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和公式不是二次函數(shù)，所以該選項(xiàng)不正確，綜上：只有一個(gè)正確.故選：b【點(diǎn)睛】此題考查對命題真假性的判斷，涉及解三角形，向量，數(shù)列相關(guān)知識(shí)，此類問題涉及面廣，考查全面，對綜合能力要求較高.9.郴州市正在創(chuàng)建全國文明城市，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成兩組，其中一組指揮交通，一組打掃街道衛(wèi)生，則甲、乙不在同一組的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】考慮基本事件總數(shù)時(shí)，按照指揮交通組選人，打掃街道組選人，計(jì)算基本

7、事件總數(shù)，先計(jì)算甲乙在同一組的概率，其對立事件的概率即為所求.【詳解】根據(jù)指揮交通組選人打掃街道組選人，基本事件總數(shù)為，甲乙在同一組包含基本事件總數(shù)為2，其概率為，其對立事件：“甲、乙不在同一組”所以甲、乙不在同一組概率為故答案為：c【點(diǎn)睛】此題考查古典概型，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確算出基本事件總數(shù)和某一事件包含基本事件個(gè)數(shù)，其中考查基本計(jì)數(shù)原理，解題中合理使用對立事件概率關(guān)系能降低解題難度.10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)依次連線恰好構(gòu)成一個(gè)正方形，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. 2d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，代入

8、雙曲線和圓的方程，根據(jù)正方形關(guān)系，求解離心率.【詳解】設(shè)以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)依次連線恰好構(gòu)成一個(gè)正方形，則代入可得：，兩邊同時(shí)除以得：，雙曲線離心率所以故選：d【點(diǎn)睛】此題考查通過雙曲線上的點(diǎn)的關(guān)系求解離心率，關(guān)鍵在于將題目所給條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系求解，構(gòu)造齊次式解方程.11.唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線

9、方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，所求問題即點(diǎn)到軍營的最短距離.【詳解】由題點(diǎn)和軍營所在區(qū)域在河岸線所在直線方程的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，中點(diǎn)在直線上，解得：，即，設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營區(qū)點(diǎn)為，則總路程，要使路程最短，只需最短，即點(diǎn)到軍營的最短距離，即點(diǎn)到區(qū)域的最短距離為：故選：b【點(diǎn)睛】此題結(jié)合中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化內(nèi)容考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題，以及圓外的點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離，對數(shù)形結(jié)合思想要求較高.12.已知函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，且，當(dāng)在上與在上的單調(diào)

10、性相同時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】函數(shù)沒有零點(diǎn)，即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒為正或恒為負(fù)，即在定義域內(nèi)單調(diào)，只有唯一實(shí)根，即，可得可得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞增，利用導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零即可求解.【詳解】函數(shù)沒有零點(diǎn)，即函數(shù)或恒成立，即在定義域內(nèi)單調(diào)，則只有唯一實(shí)根，設(shè)該實(shí)根為（為常數(shù)），即，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增，恒成立，恒成立，恒成立所以所以故選：b【點(diǎn)睛】此題考查通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性問題，涉及方程的根，不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，綜合性比較強(qiáng).二、填空題：本大題共4小題把答案填寫在題中橫線上13.已知函數(shù)，_【答案】6【解

11、析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)依次求解，再求的值即可.【詳解】由題，故答案為：6【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問題，根據(jù)分段函數(shù)解析式，依次求值即可.14.已知，滿足約束條件，若的最大值是_【答案】10【解析】【分析】作出可行域，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對目標(biāo)函數(shù)表示直線進(jìn)行平移，依據(jù)截距的最值求出最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，解出頂點(diǎn)坐標(biāo)平移目標(biāo)函數(shù)表示的直線，直線截距越大，即越大，由圖可得當(dāng)直線過時(shí)直線截距最大，此時(shí)取得最大值10.故答案為：10【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出可行域，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，通過平移直線求得最值.15.設(shè)數(shù)列滿足，則_【答案】16【解析】【分析】根據(jù)，求出數(shù)列的通

12、項(xiàng)公式即可.【詳解】由題：，兩式相減：當(dāng)時(shí)，所以所以.故答案為：16【點(diǎn)睛】此題考查通過數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解通項(xiàng)公式再求具體項(xiàng)的問題，關(guān)鍵在于根據(jù)弄清題目所給限制條件，注意適用范圍，避免出錯(cuò).16.在中，為外一點(diǎn)，滿足，則三棱錐的外接球的半徑為_【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，通過計(jì)算得出，平面，即為所在平面與球形成截面圓的圓心，球心在線段上，列方程組即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，在中，所以為直角三角形，所以，為所在平面與球形成截面圓的圓心，又因?yàn)樗裕谥?，所以，與相交，則平面，則球心在上，設(shè)球的半徑中，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查通過三棱錐特征求其外接球半徑大小的問題，關(guān)

13、鍵在于弄清幾何特征，尋找等量關(guān)系，找出球心位置，建立方程組求解半徑，平常學(xué)習(xí)中有必要積累常見幾何體外接球半徑求法.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程17題-21題為必考題22題、23題為選考題17.某經(jīng)銷商從某養(yǎng)殖場購進(jìn)某品種河蟹，并隨機(jī)抽取了 100只進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按重量分類統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如下：（1）記事件為“從這批河蟹中任取一只，重量不超過120克”，估計(jì)；（2）試估計(jì)這批河蟹的平均重量；（3）該經(jīng)銷商按有關(guān)規(guī)定將該品種河蟹分三個(gè)等級(jí)，并制定出銷售單價(jià)如下：等級(jí)特級(jí)一級(jí)二級(jí)重量單價(jià)（元/只）402010試估算該經(jīng)銷商以每千克至多花多少元（取整）收購這批河蟹，才能獲利？

14、【答案】（1）；（2）104g；（3）至少元【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖求前四個(gè)小矩形面積之和即重量不超過120克的頻率即為概率的估計(jì)值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)，每組小矩形面積乘以該組中間值，再求和即為平均數(shù)；（3）根據(jù)三個(gè)等級(jí)個(gè)數(shù)求出總售價(jià)，由（2）計(jì)算出總重量，再計(jì)算出平均成本，要求成本不超過售價(jià)才能獲利.【詳解】（1）由頻率直方圖可知：河蟹的重量不超過的頻率，估計(jì)（2）由題估計(jì)平均重量為：（3）設(shè)該經(jīng)銷商收購該批河蟹每千克至多元，由（2）可知該100只河蟹的總重量為由圖可知特級(jí)河蟹有只，一級(jí)河蟹有只，二級(jí)河蟹有只，而，經(jīng)銷商以每千克至多花163元收購這批河蟹，才能獲利【點(diǎn)

15、睛】此題考查頻率分布直方圖相關(guān)數(shù)據(jù)求法，并根據(jù)數(shù)據(jù)作出決策，要求準(zhǔn)確掌握頻率分布直方圖的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的求法，計(jì)算準(zhǔn)確無誤.18.在中，角、所對的邊分別為、，且向量與向量共線（1）求角的大??；（2）若，且，求三角形的面積【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，即可列出等式結(jié)合正弦定理，求解未知數(shù)；（2）根據(jù)向量關(guān)系求出線段長度，由余弦定理求出三角形邊長，即可計(jì)算面積.【詳解】（1）向量與向量共線共線，由正弦定理可得，又，（2），且，在中，由余弦定理有，即，解得，或（舍去），故【點(diǎn)睛】此題考查解三角形，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，建立等量關(guān)系結(jié)合正弦定理求角，根據(jù)余

16、弦定理求邊，計(jì)算面積.19.如圖，在五棱錐中，平面，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角是，求五棱錐的體積【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）平面可得，通過計(jì)算證明，即可證明；（2）結(jié)合第一問結(jié)論找出線面角，通過角度計(jì)算長度，即可求出錐體體積.【詳解】（1）在三角形中，由得又平面，面，故又，平面（2）由（1）知平面平面，就是直線與平面所成角，得，直角梯形中，所以，梯形面積故五棱錐的體積【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直的證明和通過線面角的大小求線段長度，再求錐體體積，考查通式通法，屬于中檔題.20.設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的

17、方程；（2）過點(diǎn)作直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法設(shè)坐標(biāo)，通過代換關(guān)系即可求出軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理成二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出三角形的面積，利用函數(shù)關(guān)系求面積的最值.【詳解】（1）依題意可設(shè)，又，點(diǎn)的軌跡為橢圓，方程為（2）由題：要形成三角形，則直線傾斜角不能為0，設(shè)的方程為，則有，聯(lián)立方程組消去并整理得，令，則有當(dāng)，即時(shí)面積最大，此時(shí)的方程為【點(diǎn)睛】此題考查利用相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程，直線與橢圓形成圖形中，結(jié)合韋達(dá)定理討論三角形面積的最值問題，考查解析幾何的通式通法，對綜合能力

18、要求較高.21.已知函數(shù)（1）若曲線在處切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證：【答案】（1）或；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求出曲線在處切線，表示出切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積即可求解；（2）需證明的不等式通過作差轉(zhuǎn)化成證明，利用導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可得證.【詳解】（1），則為切線斜率又，切點(diǎn)為曲線在處切成方程為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（易知）則切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為得所以或（2）法一：時(shí)，要證的不等式為，即令，則易知遞增，僅有一解且，即當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增從而最小值為，故原不等式成立法二：時(shí)，要證的不等式為令，則故問題化為證不等式恒成立時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，從而原不等式成立【點(diǎn)睛】此題考查通過導(dǎo)函數(shù)求在某點(diǎn)處切線，通過導(dǎo)函數(shù)證明不等式，其中用到隱零點(diǎn)問題解法，常用方法作差構(gòu)造新函數(shù)，若能考慮換元法由經(jīng)典不等式討論最值會(huì)更加簡單.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做