浙江專(zhuān)用2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題九平面解析幾何9.3橢圓試題含解析

1、9.3橢圓基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.已知橢圓y2m+x22=1的一個(gè)焦點(diǎn)為0,12,則m=()a.1b.2c.3d.94答案d2.已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為f1、f2,離心率為33,過(guò)f2的直線l交c于a、b兩點(diǎn).若af1b的周長(zhǎng)為43,則c的方程為()a.x23+y22=1b.x23+y2=1c.x212+y28=1d.x212+y24=1答案a3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,p是橢圓y24+x23=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)a(1,1),b(0,-1),則|pa|+|pb|的最大值為()a.5b.4c.3d.2答案a4.橢圓x29+y22

2、5=1上的一點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m,當(dāng)m取最大值時(shí),點(diǎn)p的坐標(biāo)是.答案(-3,0)或(3,0)考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)5.以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)三等分點(diǎn),則橢圓的離心率是()a.13b.33c.34d.223答案d6.設(shè)橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2,p是c上的點(diǎn),pf2f1f2,pf1f2=30,則c的離心率為()a.36b.13c.12d.33答案d7.設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1b32a0,右焦點(diǎn)為f(c,0)(c0),方程ax2+bx-c=0的兩實(shí)根分別為x1,x2,則x12+x22的取值范圍是()a.0,32b.1,

3、32c.1,34d.1,74答案d考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系8.(2019河北衡水中學(xué)五調(diào),6)與橢圓x22+y2=1有相同的焦點(diǎn)且與直線l:x-y+3=0相切的橢圓的離心率為()a.22b.55c.12d.15答案b9.橢圓x225+y216=1的左,右焦點(diǎn)分別為f1,f2,弦ab過(guò)f1,若abf2的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為,a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|y1-y2|的值為()a.53b.103c.103d.53答案a10.已知p(1,1)為橢圓x24+y22=1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過(guò)p引一條弦,使此弦被p點(diǎn)平分,且弦與橢圓交于a、b兩點(diǎn),則此弦所在直線的方程為.答案x+2y-3=0

4、11.設(shè)f1,f2分別是橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦點(diǎn),m是c上一點(diǎn)且mf2與x軸垂直.直線mf1與c的另一個(gè)交點(diǎn)為n.(1)若直線mn的斜率為34,求c的離心率;(2)若直線mn在y軸上的截距為2,且|mn|=5|f1n|,求a,b.解析(1)根據(jù)題意知f1(-c,0),mc,b2a.由kmn=34得b2a-0c-(-c)=34,即2b2=3ac,將b2=a2-c2代入得2(a2-c2)=3ac,2c2-2a2+3ac=0,2e2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍),故c的離心率為12.(2)由題意,知原點(diǎn)o為f1f2的中點(diǎn),mf2y軸,設(shè)直線mf1與y軸的交點(diǎn)

5、為d,則d(0,2)是線段mf1的中點(diǎn),故b2a=4,即b2=4a,由|mn|=5|f1n|得|df1|=2|f1n|.設(shè)n(x1,y1),由題意知y10)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,p為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),pf1,pf2的中點(diǎn)分別為m,n,o為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形ompn的周長(zhǎng)為23,則pf1f2的周長(zhǎng)是()a.2(2+3) b.4+23c.2+3d.2+23答案a3.(2018湖北重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考,7)已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2,過(guò)f2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于a,b兩點(diǎn),則abf1內(nèi)切圓的半徑為()a.43b.1c.45d.34答案d考法二橢圓離心率問(wèn)題的

6、求法4.(2019福建3月質(zhì)檢,9)設(shè)橢圓e的兩焦點(diǎn)分別為f1,f2,以f1為圓心,|f1f2|為半徑的圓與e交于p,q兩點(diǎn).若pf1f2為直角三角形,則e的離心率為()a.2-1 b.5-12c.22d.2+1答案a5.(2018河北衡水金卷二模,7)我國(guó)自主研制的第一個(gè)月球探測(cè)器“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后,在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌,奔向月球,進(jìn)入月球軌道,“嫦娥一號(hào)”軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)地球半徑為r,衛(wèi)星近地點(diǎn),遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是r2,5r2(如圖所示),則“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星軌道的離心率為()a.25b.15c.23d.13答案a6.(2019河北

7、武邑中學(xué)二模,12)設(shè)f,b分別為橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),c是直線y=bax與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),若fo+fc=(bo+bc),則橢圓的離心率是()a.22+17b.22-17c.22-13d.2-1答案a考法三直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題的解法7.(2019北京清華中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力試卷文,6)已知橢圓x2a2+y24=1(a2)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2,過(guò)f1的直線交橢圓于a,b兩點(diǎn).若|af2|+|bf2|的最大值為283,則該橢圓的離心率為()a.22b.53c.12d.59答案b8.(2017北京,19,14分)已知橢圓c的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為

8、a(-2,0),b(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32.(1)求橢圓c的方程;(2)點(diǎn)d為x軸上一點(diǎn),過(guò)d作x軸的垂線交橢圓c于不同的兩點(diǎn)m,n,過(guò)d作am的垂線交bn于點(diǎn)e.求證:bde與bdn的面積之比為45.解析本題考查橢圓的方程和性質(zhì),直線的方程等知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)橢圓c的方程為x2a2+y2b2=1(ab0).由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓c的方程為x24+y2=1.(2)證明:設(shè)m(m,n),則d(m,0),n(m,-n).由題設(shè)知m2,且n0.直線am的斜率kam=nm+2,故直線de的斜率kde=-m+2n.所以直線d

9、e的方程為y=-m+2n(x-m).直線bn的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點(diǎn)e的縱坐標(biāo)ye=-n(4-m2)4-m2+n2.由點(diǎn)m在橢圓c上,得4-m2=4n2.所以ye=-45n.又sbde=12|bd|ye|=25|bd|n|,sbdn=12|bd|n|,所以bde與bdn的面積之比為45.【五年高考】考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2019課標(biāo),10,5分)已知橢圓c的焦點(diǎn)為f1(-1,0),f2(1,0),過(guò)f2的直線與c交于a,b兩點(diǎn).若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,則c的方程為()a.x22+y2=1b.

10、x23+y22=1c.x24+y23=1d.x25+y24=1答案b2.(2019課標(biāo),15,5分)設(shè)f1,f2為橢圓c:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),m為c上一點(diǎn)且在第一象限.若mf1f2為等腰三角形,則m的坐標(biāo)為.答案(3,15)3.(2015陜西,20,12分)已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距為c,原點(diǎn)o到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為12c.(1)求橢圓e的離心率;(2)如圖,ab是圓m:(x+2)2+(y-1)2=52的一條直徑,若橢圓e經(jīng)過(guò)a,b兩點(diǎn),求橢圓e的方程.解析(1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)o

11、到該直線的距離d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,可得離心率ca=32.(2)解法一:由(1)知,橢圓e的方程為x2+4y2=4b2.依題意,圓心m(-2,1)是線段ab的中點(diǎn),且|ab|=10.易知,ab與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.從而x1x2=8-2b2.于是|ab|=

12、1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|ab|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故橢圓e的方程為x212+y23=1.解法二:由(1)知,橢圓e的方程為x2+4y2=4b2.依題意,點(diǎn)a,b關(guān)于圓心m(-2,1)對(duì)稱,且|ab|=10.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,兩式相減并結(jié)合x(chóng)1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知ab與x軸不垂直,則x1x2,所以ab的斜率kab=y1-y2x1-x2=12.因此直線ab的方程為y=12(x+2)+

13、1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|ab|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|ab|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故橢圓e的方程為x212+y23=1.解題關(guān)鍵對(duì)于第(2)問(wèn),利用弦長(zhǎng)及韋達(dá)定理或點(diǎn)差法構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)4.(2017浙江,2,4分)橢圓x29+y24=1的離心率是()a.133b.53c.23d.59答案b5.(2019北京,4,5分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為12,則()a.a2=2b2b.3a2=4

14、b2c.a=2bd.3a=4b答案b6.(2018課標(biāo),12,5分)已知f1,f2是橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),a是c的左頂點(diǎn),點(diǎn)p在過(guò)a且斜率為36的直線上,pf1f2為等腰三角形,f1f2p=120,則c的離心率為()a.23b.12c.13d.14答案d7.(2017課標(biāo),10,5分)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為a1,a2,且以線段a1a2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則c的離心率為()a.63b.33c.23d.13答案a8.(2016課標(biāo),11,5分)已知o為坐標(biāo)原點(diǎn),f是橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0

15、)的左焦點(diǎn),a,b分別為c的左,右頂點(diǎn).p為c上一點(diǎn),且pfx軸.過(guò)點(diǎn)a的直線l與線段pf交于點(diǎn)m,與y軸交于點(diǎn)e.若直線bm經(jīng)過(guò)oe的中點(diǎn),則c的離心率為()a.13b.12c.23d.34答案a9.(2018北京,14,5分)已知橢圓m:x2a2+y2b2=1(ab0),雙曲線n:x2m2-y2n2=1.若雙曲線n的兩條漸近線與橢圓m的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓m的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓m的離心率為;雙曲線n的離心率為.答案3-1;210.(2019江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦點(diǎn)為f1(-1,0),f2(1,0).過(guò)f

16、2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓f2:(x-1)2+y2=4a2交于點(diǎn)a,與橢圓c交于點(diǎn)d.連接af1并延長(zhǎng)交圓f2于點(diǎn)b,連接bf2交橢圓c于點(diǎn)e,連接df1.已知df1=52.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求點(diǎn)e的坐標(biāo).解析本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)橢圓c的焦距為2c.因?yàn)閒1(-1,0),f2(1,0),所以f1f2=2,c=1.又因?yàn)閐f1=52,af2x軸,所以df2=df12-f1f22=522-22=32.因此2a=df1+df2=4,從而a=2.由b

17、2=a2-c2,得b2=3.因此,橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.(2)解法一:由(1)知,橢圓c:x24+y23=1,a=2.因?yàn)閍f2x軸,所以點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓f2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因?yàn)辄c(diǎn)a在x軸上方,所以a(1,4).又f1(-1,0),所以直線af1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.將x=-115代入y=2x+2,得y=-125.因此b-115,-125.又f2(1,0),所以直線bf2:y=34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x

18、-13=0,解得x=-1或x=137.又因?yàn)閑是線段bf2與橢圓的交點(diǎn),所以x=-1.將x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.因此e-1,-32.解法二:由(1)知,橢圓c:x24+y23=1.如圖,連接ef1.因?yàn)閎f2=2a,ef1+ef2=2a,所以ef1=eb,從而bf1e=b.因?yàn)閒2a=f2b,所以a=b.所以a=bf1e,從而ef1f2a.因?yàn)閍f2x軸,所以ef1x軸.因?yàn)閒1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,解得y=32.又因?yàn)閑是線段bf2與橢圓的交點(diǎn),所以y=-32.因此e-1,-32.考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系11.(2019天津,18,13分)設(shè)橢

19、圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn)為f,上頂點(diǎn)為b.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為55.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)p在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)m為直線pb與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)n在y軸的負(fù)半軸上.若|on|=|of|(o為原點(diǎn)),且opmn,求直線pb的斜率.解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,橢圓的方程為x25+y24=1.(2)由題意,設(shè)p(xp,yp)(xp

20、0),m(xm,0).設(shè)直線pb的斜率為k(k0),又b(0,2),則直線pb的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xp=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yp=8-10k24+5k2,進(jìn)而直線op的斜率ypxp=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xm=-2k.由題意得n(0,-1),所以直線mn的斜率為-k2.由opmn,得4-5k2-10k-k2=-1,化簡(jiǎn)得k2=245,從而k=2305.所以,直線pb的斜率為2305或-2305.思路分析(1)根據(jù)條件求出基本量a,b得到橢圓方程.(2)要利

21、用條件opmn,必須求p點(diǎn)和m、n點(diǎn)坐標(biāo).由直線pb的方程與橢圓方程聯(lián)立得到p點(diǎn)坐標(biāo),求出m及n點(diǎn)坐標(biāo),利用kopkmn=-1求出kpb.12.(2018天津,19,14分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的右頂點(diǎn)為a,上頂點(diǎn)為b.已知橢圓的離心率為53,|ab|=13.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(kx10,點(diǎn)q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由bpm的面積是bpq面積的2倍,可得|pm|=2|pq|,從而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直線ab的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24

22、=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.當(dāng)k=-89時(shí),x2=-90,不合題意,舍去;當(dāng)k=-12時(shí),x2=12,x1=125,符合題意.所以,k的值為-12.解題關(guān)鍵第(2)問(wèn)中把兩個(gè)三角形的面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p、m的橫坐標(biāo)間的關(guān)系,進(jìn)而得到關(guān)于k的方程是求解的難點(diǎn)和關(guān)鍵.13.(2018課標(biāo)全國(guó),19,12分)設(shè)橢圓c:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為f,過(guò)f的直線l與c交于a,b兩點(diǎn),點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線am的方程;(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)

23、,證明:oma=omb.解析(1)由已知得f(1,0),l的方程為x=1,由已知可得,點(diǎn)a的坐標(biāo)為1,22或1,-22.所以am的方程為y=-22x+2或y=22x-2.(2)證明:當(dāng)l與x軸重合時(shí),oma=omb=0,當(dāng)l與x軸垂直時(shí),直線om為ab的垂直平分線,所以oma=omb.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),a(x1,y1),b(x2,y2),則x12,x2b0),點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)a的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)b的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)m在線段ab上,滿足|bm|=2|ma|,直線om的斜率為510.(1)求e的離心率e;(2)設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0,-b),n

24、為線段ac的中點(diǎn).證明:mnab.解析(1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)m的坐標(biāo)為23a,13b,又kom=510,從而b2a=510.進(jìn)而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.(2)證明:由n是ac的中點(diǎn)知,點(diǎn)n的坐標(biāo)為a2,-b2,可得nm=a6,5b6.又ab=(-a,b),從而有abnm=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的計(jì)算結(jié)果可知a2=5b2,所以abnm=0,故mnab.評(píng)析本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及利用向量法證明線線垂直,較難.教師專(zhuān)用題組考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2014安徽,14,5分)設(shè)f1,f2分別是橢圓e:x2+y2b2=1(0bb0)過(guò)

25、點(diǎn)(0,2),且離心率e=22.(1)求橢圓e的方程;(2)設(shè)直線l:x=my-1(mr)交橢圓e于a,b兩點(diǎn),判斷點(diǎn)g-94,0與以線段ab為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.解析(1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.所以橢圓e的方程為x24+y22=1.(2)解法一:設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中點(diǎn)為h(x0,y0).由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,從而y0=mm2+2.所以|gh|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1

26、)y02+52my0+2516.|ab|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y24=(1+m2)(y02-y1y2),故|gh|2-|ab|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以|gh|ab|2.故點(diǎn)g-94,0在以ab為直徑的圓外.解法二:設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),則ga=x1+94,y1,gb=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2

27、mm2+2,y1y2=-3m2+2,從而gagb=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以cos0.又ga,gb不共線,所以agb為銳角.故點(diǎn)g-94,0在以ab為直徑的圓外.評(píng)析本題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)4.(2012課標(biāo),4,5分)設(shè)f1,f2是橢圓e:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右

28、焦點(diǎn),p為直線x=3a2上一點(diǎn),f2pf1是底角為30的等腰三角形,則e的離心率為()a.12b.23c.34d.45答案c5.(2016浙江,19,15分)如圖,設(shè)橢圓x2a2+y2=1(a1).(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示);(2)若任意以點(diǎn)a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.解析(1)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為ap,由y=kx+1,x2a2+y2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-2a2k1+a2k2.因此|ap|=1+k2|x1-x2|=2a2|k|1+a2k21+k2.(2)假設(shè)圓與橢

29、圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)p,q,滿足|ap|=|aq|.記直線ap,aq的斜率分別為k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|ap|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|aq|=2a2|k2|1+k221+a2k22,故2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,所以(k12-k22)1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0.由于k1k2,k1,k20得1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,因此1k12+11k22+1=1+a2(a2-2),因?yàn)槭疥P(guān)于k1,k2的方程有解的充要條

30、件是1+a2(a2-2)1,所以a2.因此,任意以點(diǎn)a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a2,由e=ca=a2-1a得,所求離心率的取值范圍為0b0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為(0,b),連接bf2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)a,過(guò)點(diǎn)a作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)c,連接f1c.(1)若點(diǎn)c的坐標(biāo)為43,13,且bf2=2,求橢圓的方程;(2)若f1cab,求橢圓離心率e的值.解析設(shè)橢圓的焦距為2c,則f1(-c,0),f2(c,0).(1)因?yàn)閎(0,b),所以bf2=b2+c2=a.又bf2=2,故a=2.因?yàn)辄c(diǎn)c43,13在橢圓上,所以169a2+19b2=1,解得b2=1.故

31、所求橢圓的方程為x22+y2=1.(2)因?yàn)閎(0,b),f2(c,0)在直線ab上,所以直線ab的方程為xc+yb=1.解方程組xc+yb=1,x2a2+y2b2=1,得x1=2a2ca2+c2,y1=b(c2-a2)a2+c2,x2=0,y2=b.所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為2a2ca2+c2,b(c2-a2)a2+c2.又ac垂直于x軸,由橢圓的對(duì)稱性,可得點(diǎn)c的坐標(biāo)為2a2ca2+c2,b(a2-c2)a2+c2.因?yàn)橹本€f1c的斜率為b(a2-c2)a2+c2-02a2ca2+c2-(-c)=b(a2-c2)3a2c+c3,直線ab的斜率為-bc,且f1cab,所以b(a2-c2)3a2c+c3

32、-bc=-1.結(jié)合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=15.因此e=55.7.(2015重慶,21,12分)如圖,橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,過(guò)f2的直線交橢圓于p,q兩點(diǎn),且pqpf1.(1)若|pf1|=2+2,|pf2|=2-2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若|pf1|=|pq|,求橢圓的離心率e.解析(1)由橢圓的定義,有2a=|pf1|+|pf2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知pf1pf2,得2c=|f1f2|=|pf1|2+|pf2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,從而b=a2-c2=1

33、.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.(2)解法一:連接f1q,如圖,設(shè)p(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)p在橢圓上,且pf1pf2,所以x02a2+y02b2=1,x02+y02=c2,求得x0=aca2-2b2,y0=b2c.由|pf1|=|pq|pf2|得x00,從而|pf1|2=aa2-2b2c+c2+b4c2=2(a2-b2)+2aa2-2b2=(a+a2-2b2)2.由pf1pf2,|pf1|=|pq|,知|qf1|=2|pf1|.因此(2+2)|pf1|=4a,即(2+2)(a+a2-2b2)=4a,于是(2+2)(1+2e2-1)=4,解得e=121+42+2-12=6-3.解法二:

34、連接f1q,由橢圓的定義,有|pf1|+|pf2|=2a,|qf1|+|qf2|=2a.從而由|pf1|=|pq|=|pf2|+|qf2|,有|qf1|=4a-2|pf1|.又由pf1pq,|pf1|=|pq|,知|qf1|=2|pf1|,因此,4a-2|pf1|=2|pf1|,得|pf1|=2(2-2)a,從而|pf2|=2a-|pf1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a.由pf1pf2,知|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2=(2c)2,因此e=ca=|pf1|2+|pf2|22a=(2-2)2+(2-1)2=9-62=6-3.考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系8.(2014遼寧,20,

35、12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為p(如圖).(1)求點(diǎn)p的坐標(biāo);(2)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓c過(guò)點(diǎn)p,且與直線l:y=x+3交于a,b兩點(diǎn).若pab的面積為2,求c的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x00,y00),則切線斜率為-x0y0,切線方程為y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為s=124x04y0=8x0y0,由x02+y02=42x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=2時(shí)x0y0有最大值,即s有最小值,因此點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2,2).(2)設(shè)c的標(biāo)準(zhǔn)方

36、程為x2a2+y2b2=1(ab0),點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2).由點(diǎn)p在c上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3得b2x2+43x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,由y1=x1+3,y2=x2+3,得|ab|=2|x1-x2|=248-24b2+8b4b2.由點(diǎn)p到直線l的距離為32及spab=1232|ab|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,從而所求c的方程為x26+y23=1.9.(2018江蘇,18,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)

37、系xoy中,橢圓c過(guò)點(diǎn)3,12,焦點(diǎn)f1(-3,0),f2(3,0),圓o的直徑為f1f2.(1)求橢圓c及圓o的方程;(2)設(shè)直線l與圓o相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)p.若直線l與橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)p的坐標(biāo);直線l與橢圓c交于a,b兩點(diǎn).若oab的面積為267,求直線l的方程.解析本小題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識(shí),考查分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.解法一:(1)因?yàn)闄E圓c的焦點(diǎn)為f1(-3,0),f2(3,0),所以可設(shè)橢圓c的方程為x2a2+y2b2=1(ab0).又點(diǎn)3,12在橢圓c上,所以3a2+14b2=1,a

38、2-b2=3,解得a2=4,b2=1.因此,橢圓c的方程為x24+y2=1.因?yàn)閳Ao的直徑為f1f2,所以其方程為x2+y2=3.(2)設(shè)直線l與圓o相切于p(x0,y0)(x00,y00),則x02+y02=3.所以直線l的方程為y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0消去y,得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.因?yàn)閤0,y00,所以x0=2,y0=1.因此,點(diǎn)p的

39、坐標(biāo)為(2,1).因?yàn)槿切蝟ab的面積為267,所以12abop=267,從而ab=427.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),由(*)得x1,2=24x048y02(x02-2)2(4x02+y02),所以ab2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y0248y02(x02-2)(4x02+y02)2.因?yàn)閤02+y02=3,所以ab2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0.解得x02=52(x02=20舍去),則y02=12,因此p的坐標(biāo)為102,22.則直線l的方程為y=-5x+32.解法二:(1)由題意知c=3,所以圓o的方程為

40、x2+y2=3,因?yàn)辄c(diǎn)3,12在橢圓上,所以2a=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4,所以a=2.因?yàn)閍2=b2+c2,所以b=1,所以橢圓c的方程為x24+y2=1.(2)由題意知直線l與圓o和橢圓c均相切,且切點(diǎn)在第一象限,所以直線l的斜率k存在且k0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k0),將直線l的方程代入圓o的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因?yàn)橹本€l與圓o相切,所以=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,將直線l的方程代入橢圓c的方程,得x24+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1

41、)x2+8kmx+4m2-4=0,因?yàn)橹本€l與橢圓c相切,所以=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因?yàn)閗0,所以k=-2,則m=3,將k=-2,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-22x+2=0,解得x1=x2=2,將x=2代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2,1).設(shè)a(x1,kx1+m),b(x2,kx2+m),由知m2=3k2+3,且k0,因?yàn)橹本€l和橢圓c相交,所以結(jié)合的過(guò)程知m24k2+1,解得k-2,將直線l的方程和橢圓c的方程聯(lián)立可得(4k2+1)x2+

42、8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=-8km44k2+1-m22(4k2+1),所以|x1-x2|=44k2+1-m24k2+1,因?yàn)閍b=(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=|x1-x2|k2+1=44k2+1-m24k2+1k2+1,o到l的距離d=|m|k2+1=3,所以soab=1244k2+1-m24k2+1k2+1|m|k2+1=124k2-24k2+1k2+13=267,解得k2=5,因?yàn)閗b0)的左焦點(diǎn)為f,右頂點(diǎn)為a,離心率為12.已知a是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),f到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為12.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設(shè)l上兩點(diǎn)p,q關(guān)于x軸

43、對(duì)稱,直線ap與橢圓相交于點(diǎn)b(b異于點(diǎn)a),直線bq與x軸相交于點(diǎn)d.若apd的面積為62,求直線ap的方程.解析本小題主要考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.(1)設(shè)f的坐標(biāo)為(-c,0).依題意,ca=12,p2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b2=a2-c2=34.所以,橢圓的方程為x2+4y23=1,拋物線的方程為y2=4x.(2)設(shè)直線ap的方程為x=my+1(m0),與直線l的方程x=-1聯(lián)立,可得點(diǎn)p-1,-2m,故q-1,2m.將x=my+1與x2+4

44、y23=1聯(lián)立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-6m3m2+4.由點(diǎn)b異于點(diǎn)a,可得點(diǎn)b-3m2+43m2+4,-6m3m2+4.由q-1,2m,可得直線bq的方程為-6m3m2+4-2m(x+1)-3m2+43m2+4+1y-2m=0,令y=0,解得x=2-3m23m2+2,故d2-3m23m2+2,0.所以|ad|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2.又因?yàn)閍pd的面積為62,故126m23m2+22|m|=62,整理得3m2-26|m|+2=0,解得|m|=63,所以m=63.所以,直線ap的方程為3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.方法總結(jié)1

45、.利用待定系數(shù)法求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的三個(gè)步驟:(1)作判斷:根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)方程;(2)找等量關(guān)系;(3)解方程得結(jié)果.2.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的基本策略:(1)巧設(shè)直線方程:當(dāng)已知直線與x軸交點(diǎn)固定時(shí),常設(shè)為x=my+b的形式,這樣可避免對(duì)斜率是否存在的討論;(2)注意整體代入思想的應(yīng)用,利用根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高運(yùn)算的效率和正確率.11.(2015湖南,20,13分)已知拋物線c1:x2=4y的焦點(diǎn)f也是橢圓c2:y2a2+x2b2=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn),c1與c2的公共弦的長(zhǎng)為26.(1)求c2的方程;(2)過(guò)點(diǎn)f的直線l與c1相交于a,b兩點(diǎn),與c2相交于c,d兩點(diǎn)

46、,且ac與bd同向.(i)若|ac|=|bd|,求直線l的斜率;(ii)設(shè)c1在點(diǎn)a處的切線與x軸的交點(diǎn)為m,證明:直線l繞點(diǎn)f旋轉(zhuǎn)時(shí),mfd總是鈍角三角形.解析(1)由c1:x2=4y知其焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(0,1).因?yàn)閒也是橢圓c2的一個(gè)焦點(diǎn),所以a2-b2=1.又c1與c2的公共弦的長(zhǎng)為26,c1與c2都關(guān)于y軸對(duì)稱,且c1的方程為x2=4y,由此易知c1與c2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為6,32,所以94a2+6b2=1.聯(lián)立,得a2=9,b2=8.故c2的方程為y29+x28=1.(2)如圖,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4).(i)因ac與bd同向,且|ac

47、|=|bd|,所以ac=bd,從而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是這個(gè)方程的兩根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是這個(gè)方程的兩根,所以x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2.將,代入,得16(k2+1)=162k2(9+8k2)2+4649+8k2,即16(k2+1)=1629(k2+1)(

48、9+8k2)2,所以(9+8k2)2=169,解得k=64,即直線l的斜率為64.(ii)證明:由x2=4y得y=x2,所以c1在點(diǎn)a處的切線方程為y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2-x124.令y=0,得x=x12,即mx12,0,所以fm=x12,-1.而fa=(x1,y1-1),于是fafm=x122-y1+1=x124+10,因此afm是銳角,從而mfd=180-afm是鈍角.故直線l繞點(diǎn)f旋轉(zhuǎn)時(shí),mfd總是鈍角三角形.【三年模擬】一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共40分)1.(2018山東青島城陽(yáng)期末,7)若橢圓x25+y2a=1的焦距為4,則實(shí)數(shù)a的值為()a.1b.21c.4

49、d.1或9答案d2.(2019湖北重點(diǎn)中學(xué)第一次調(diào)研,11)點(diǎn)p是橢圓x29+y25=1上的點(diǎn),f1、f2是橢圓的左、右焦點(diǎn),則pf1f2的周長(zhǎng)是()a.12b.10c.8d.6答案b3.(2019廣東深圳二模,10)設(shè)點(diǎn)f1、f2分別為橢圓c:x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)a、b分別為橢圓c的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),且點(diǎn)f1關(guān)于直線ab的對(duì)稱點(diǎn)為m.若mf2f1f2,則橢圓c的離心率為()a.3-12b.3-13c.5-12d.22答案c4.(2020屆廣東深圳第七高級(jí)中學(xué)第二次月考,11)f1,f2分別是橢圓x2+2y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)p在橢圓上,線段pf2與y軸的交點(diǎn)為m,且f1m=12(f1f2+f1p),則點(diǎn)m到坐標(biāo)原點(diǎn)o的距離是()a.14b.12c.1d.2答案a5.(2019安徽宣城二模,12)已知f1,f2分別為橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)p是橢圓上位于第二象限內(nèi)的點(diǎn),延長(zhǎng)pf1交橢圓于點(diǎn)q,若pf2pq,且|pf2|=|pq|,則橢圓的離心率為()a.6-3b.2-1 c.3-2d.2-2答案a6.(2019廣東七校4月聯(lián)考,11)已知點(diǎn)p為橢圓x216+y212=1上的動(dòng)點(diǎn),ef為圓n:x2+