高階導(dǎo)數(shù)和高階微分泰勒公式

1、1292-9 高階導(dǎo)數(shù)和高階微分泰勒公式2-9 高階導(dǎo)數(shù)和高階微分泰勒公式1.高階導(dǎo)數(shù)和高階微分 在2-3中，我們講了函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)和二階微分。一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就是 而階微分就是(是自變量；被看成與無關(guān)的有限量)因此，按照萊布尼茨的記法，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)也可記成 或簡記成 (注意的位置)這樣，導(dǎo)數(shù)與微分之間的那種“乘或除”的轉(zhuǎn)換關(guān)系被保留到階導(dǎo)數(shù)與階微分的關(guān)系中.例33 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以. 依次類推，則有 例34 對于函數(shù)，則 一般地， ； .同理，對于函數(shù)，有 ； .例35 對于函數(shù)，則一般地， （階導(dǎo)數(shù)） （階微分）例36 設(shè)函數(shù).證明：.證 一方面，函數(shù)在點(diǎn)0是連續(xù)的，因?yàn)榱硪环?/p>

2、面， 點(diǎn)0的導(dǎo)數(shù)等于點(diǎn)0近旁導(dǎo)數(shù)的極限因此，一階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)0是連續(xù)的. 一般地，當(dāng)時，容易看出，對于任何正整數(shù)， 其中為關(guān)于的多項式且根據(jù)洛必達(dá)法則，() 于是，因?yàn)橐浑A導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)0是連續(xù)的，根據(jù)式()，所以且在點(diǎn)也是連續(xù)的.依次類推(或用數(shù)學(xué)歸納法)，可得2.泰勒公式 一個次多項式 中，它的系數(shù)與有什么關(guān)系呢？顯然，；又因?yàn)樗裕?， ， 因此，帶皮亞諾余項的泰勒公式 對于一般的函數(shù)，若它在某點(diǎn)有一階導(dǎo)數(shù)(即可微分)，根據(jù)定義，則有即若函數(shù)在點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)，令則有即. 因此，一般地，用相同的方法可以證明下面的結(jié)論(請你完成它的證明).泰勒定理1 若函數(shù)在點(diǎn)有階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)有展開式與上面多項式的

3、情形不同，這里多出最后的“余項”，稱它為皮亞諾(G.Peano)余項.上面的展開式就稱為函數(shù)在點(diǎn)帶皮亞諾余項的階泰勒公式.需要指出，習(xí)慣上把函數(shù)在點(diǎn)的泰勒公式稱為麥克勞林(Maclaurin)公式（*）微積分學(xué)教程(俄菲赫金哥爾茨著)中說, 這是沒有根據(jù)的。.特別，根據(jù)例33、例34和例35中的高階導(dǎo)數(shù)公式，則有，.帶拉格朗日余項的泰勒公式 假若函數(shù)在含點(diǎn)的某區(qū)間內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)微分中值定理，當(dāng)足夠小時，則有（拉格朗日公式）或一般情形下，有下面的結(jié)論.泰勒定理2 若函數(shù)在點(diǎn)及其近旁有階導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)及其近旁有其中余項稱為拉格朗日余項，而稱上面的展開式為帶拉格朗日余項的階泰勒公式.特別，當(dāng)時，泰

4、勒公式就是拉格朗日公式.證 為書寫簡單起見，以下記，并考慮等式 （）其中為待定數(shù)(當(dāng)確定后，它是常數(shù)).作輔助函數(shù)它在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，所以有使；而所以.因此，在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，所以又有使.依次類推，就會有使，而且.最后，函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，所以有使，即.因此，把它代入式()，則得因?yàn)槠渲校运褪翘├展狡渲杏囗?需要指出，習(xí)慣上也把函數(shù)在點(diǎn)的泰勒公式稱為麥克勞林公式.其中余項 (拉格朗日余項)總結(jié)：令，則和都稱為泰勒公式，但有下面的不同處：第一，前者只假設(shè)在點(diǎn)有階導(dǎo)數(shù)，并且推廣了；后者要假設(shè)在含點(diǎn)的某個區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，并且推廣了拉格朗日公式第二，前者的余項只

5、給出極限形式，不能估計近似公式（泰勒多項式）的誤差，而后者的余項給出的是有限形式，能夠用來估計上述近似公式的誤差，即譬如，近似計算函數(shù)在點(diǎn)近旁的函數(shù)值時，可由給出的精確度和的變化范圍，根據(jù)上面的估計式，確定多項式的次數(shù)；或者根據(jù)次數(shù)和的變化范圍，確定一個近似公式的精確度.例37 設(shè). 因?yàn)?，所?因此，函數(shù)的麥克勞林公式為 由此得近似公式問：當(dāng)時，取多么大的，才能使這個近似公式的精確度.解 當(dāng)時，經(jīng)過試算，只要取，近似公式 ()的誤差不超過，因?yàn)槔?8 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)為，所以，函數(shù)的麥克勞林公式為其中余項的拉格朗日形式為取，則有近似公式而誤差習(xí) 題1.求：其中；(為常數(shù))； ； (提示：)；(

6、提示：)； ；(提示：)； .答案：； ；.2.將多項式表示成的正整指數(shù)冪的多項式.提示：選取. 答案：.3.設(shè)為次多項式.證明：是的重根的充分必要條件為4.求極限 提示：. 答案：.5.求極限 . 答案：. 提示：首先作恒等變換 然后注意， .6.若函數(shù)在點(diǎn)有直到階的導(dǎo)數(shù)，且證明：當(dāng)為偶數(shù)且時，是極大值；當(dāng)為偶數(shù)且時，是極小值；當(dāng)為奇數(shù)時，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，而是函數(shù)的拐點(diǎn).【注】函數(shù)在點(diǎn)取到極小值(也是最小值)，而.這說明題中的條件是函數(shù)取到極值的充分條件，不是必要條件！7.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù)，且.證明：至少存在一點(diǎn)，使提示：取區(qū)間的中點(diǎn)，根據(jù)帶拉格朗日余項的泰勒公式，則8.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù).若證明：.提示：根據(jù)帶拉格朗日的泰勒公式，對于任意正數(shù)，從而對任意正數(shù)，有9.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù).證明：若則.【注】結(jié)論是最好的估計式，因?yàn)橛欣诱f明不能再改進(jìn)了.10.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)近旁有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，而泰勒公式中的拉格朗日余項為其中.證明：.提示：因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)近旁有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以其中11.證明萊布尼茨公式：若函數(shù)和都有階導(dǎo)數(shù)，則它們的乘積也有階導(dǎo)數(shù)，而且階導(dǎo)數(shù)為 (其中)而階微分為 (其中)提示：根據(jù)