對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、1,對(duì)數(shù)函數(shù) 與指數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),一、復(fù)習(xí)與引入,1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義,2.常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,5.由前面幾節(jié)課的知識(shí),我們已經(jīng)掌握了初等函數(shù)中的 冪函數(shù)、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但還缺少指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而這就是我們今天要新學(xué)的內(nèi)容,有了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也就解決了初等函數(shù)的可導(dǎo)性.結(jié)合前一章節(jié)的知識(shí),我們可知,初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)而且可導(dǎo),二、新課指、對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),下面給出公式的證明,中間用到重要極限,證,證:利用對(duì)數(shù)的換底公式即得,2.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于以上兩個(gè)公式的證明,需要用到反函數(shù)的

2、求 導(dǎo)法則,這已經(jīng)超出了目前我們的學(xué)習(xí)范圍,因此在這里我們不加以證明,直接拿來(lái)使用,三、例題選講,例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x,解:(1,2)法1,2)法2,3,4,例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,解:設(shè)y=au,u=cosv,v=1/x,則,解,解:函數(shù)的定義域?yàn)?例3:已知f(x)為可導(dǎo)函數(shù),試求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex),解:(1,2,3,解此類題應(yīng)注意: (1)分清是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的. (2)用逐步的方法來(lái)進(jìn)行求導(dǎo),練習(xí)1:求下列函數(shù)

3、的導(dǎo)數(shù),答案,例4:設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 為 常數(shù),試求t=1/2時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度v0,解,故當(dāng)t=1/2時(shí),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度v0為,例5:求曲線y=xlnx的平行于直線x-y+1=0的切線方程,解:設(shè)該切線與曲線相切的切點(diǎn)為(x0,x0lnx0,故曲線在點(diǎn)(x0,x0lnx0)處的切線斜率為lnx0+1,由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切點(diǎn)為(1,0,所以所求切線方程為y-0=x-1,即x-y-1=0,答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0,練習(xí)2:分別求曲線y=logxe; 在點(diǎn)(e,1)處 的切線方程,延伸:設(shè)點(diǎn)P是曲線y=ex上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線y=x的 最

4、小距離,答案,四、小結(jié),對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是常用的導(dǎo)數(shù)公式中較 難的兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要熟記公式,會(huì)用公式,用活公式,2)解決指、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,應(yīng)充分重視指數(shù)、對(duì) 數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的準(zhǔn)確使用,以保證變換過(guò)程的等價(jià)性,3)在求指、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過(guò)程中,要遵循先化簡(jiǎn),再 求導(dǎo)的原則;要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo),例6:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x,解:(1)兩邊取對(duì)數(shù),得lny=xlnx,由于y是x的函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),可得,2)兩邊取對(duì)數(shù),得lny=g(x)lnf(x),兩邊對(duì)x求導(dǎo),可得,說(shuō)明:(1)解法可能對(duì)lny求導(dǎo)不易理解,事實(shí)上,若u=lny, y=f(x),則,2)本題用的求導(dǎo)方法習(xí)慣上稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,即先兩 邊取對(duì)數(shù),再對(duì)x求導(dǎo).一般適用于下列兩類函數(shù),形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函數(shù),取對(duì)數(shù)后,可 將積轉(zhuǎn)化為和的形式,或 ,取對(duì) 數(shù)后,可轉(zhuǎn)化為代數(shù)和的形式,無(wú)理函數(shù)或形如y=f(x)g(x)這類冪指函數(shù),3)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn):一是可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化(積、商 變和、差,冪、根變積式),二是可使較復(fù)雜函數(shù)求 導(dǎo)變?yōu)榭赡?無(wú)求導(dǎo)公式變?yōu)橛星髮?dǎo)公式,例如我們利用上面例題中的(2)可知 中的n的范圍可以擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù),又如下面一題我們就有兩種不同的解法,