全國(guó)青年教師觀摩大賽數(shù)學(xué)賽課一等獎(jiǎng)作品：《正弦定理》教案及說(shuō)明

1、正弦定理（1）一、教學(xué)內(nèi)容分析：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)(必修5)(人教A版)第一章解三角形：“正弦定理和余弦定理”的第1課?！敖馊切巍奔仁歉咧袛?shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性，在這次課程改革中，被保留下來(lái)，并獨(dú)立成為一章。解三角形作為幾何度量問(wèn)題，應(yīng)突出幾何的作用和數(shù)量化的思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后續(xù)內(nèi)容作知識(shí)與方法的準(zhǔn)備，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)、合情推理與演繹證明的過(guò)程，

2、提高學(xué)生的思辨能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：由于本課內(nèi)容和一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題相關(guān)，教學(xué)中若能注意課程與生活實(shí)際的聯(lián)系，注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，定能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然本課涉及代數(shù)推理，定理證明中可能涉及多方面的知識(shí)方法，綜合性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)方面有一定困難。三、設(shè)計(jì)思想：定理教學(xué)中有一種簡(jiǎn)陋的處理方式：簡(jiǎn)單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)。本課采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值。從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。四、教學(xué)目

3、標(biāo)：讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識(shí)，同時(shí)通過(guò)三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)幫助學(xué)生初步樹(shù)立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。435mCBA六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：（

4、一）創(chuàng)設(shè)情境:問(wèn)題1、在建設(shè)水口電站閩江橋時(shí),需預(yù) 先測(cè)量橋長(zhǎng)AB,于是在江邊選取一個(gè)測(cè)量 點(diǎn)C,測(cè)得CB=435m,CBA=,BCA=。由以上數(shù)據(jù)，能測(cè)算出橋長(zhǎng)AB嗎？這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?引出：解三角形已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程。設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題。師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，你對(duì)三角形中的邊角知識(shí)知多少？生：，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角” 師：“abc ABC”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？引出課題：“正弦定理設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了

5、新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。（二）猜想、實(shí)驗(yàn)：1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)“abc ABC”，可能出現(xiàn)以下答案情形。如a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，等等。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出asinA=bsinB=csinC。 3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在

6、任一三角形中是否成立呢？請(qǐng)學(xué)生以量角器、刻度尺、計(jì)算器為工具，對(duì)一般三角形的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，教師用幾何畫(huà)板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。設(shè)計(jì)意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力（三）證明探究：對(duì)此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？1、 特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,， 根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，又, 則 ，從而在直

7、角三角形ABC中，。2、推廣拓展，探究證明 ： 問(wèn)題2：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示 “a與、 b與sinB”的關(guān)系呢？ 探究1：能否構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對(duì)直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過(guò)以下三種方法構(gòu)造直角三角形。生1：如圖1，過(guò) C作BC邊上的線CD，交BA的延長(zhǎng)線于D，得到直角三角形DBC。生2：如圖2，過(guò)A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個(gè)直角三角形問(wèn)題。生3：如圖3，分別過(guò)B、C作AB、AC邊上的垂線，交于D，連接AD，也得到兩個(gè)直角三角形經(jīng)過(guò)師生討論指出：方法2，簡(jiǎn)單明了，容易得到“c與、 b與si

8、nB”的關(guān)系式。知識(shí)鏈接：根據(jù)化歸這一解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問(wèn)題是自然不過(guò)的。而方法3將把問(wèn)題延伸到四點(diǎn)共圓，深究下去，可得=2R，對(duì)此，可留做課后思考解決 圖1 圖2_c_b_a_a_C(bcosA,bsinA)_D(acos(-B),asin(-B)_B(c,0) 圖3 圖4探究2：能否引入向量，歸結(jié)為向量運(yùn)算？ （1）圖2中蘊(yùn)涵哪些向量關(guān)系式？學(xué)生探究，師生、生生之間交流討論，得（這三個(gè)式子本質(zhì)上是相同的）, 等,（2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？(施以什么運(yùn)算?) 生：施以數(shù)量積運(yùn)算 （3）可取與哪些向量的數(shù)量積運(yùn)算？學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，

9、學(xué)生可能會(huì)做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量（或），均無(wú)法如愿。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量,并說(shuō)出理由：數(shù)量積運(yùn)算產(chǎn)生余弦，垂直則實(shí)現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。知識(shí)鏈接：過(guò)渡教材中，證明方法所引用的單位向量就是與向量 共線的單位向量。過(guò)去，學(xué)生常對(duì)此感到費(fèi)解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然探究3：能否引入向量的坐標(biāo)形式，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算？（1）如圖4，建立直角坐標(biāo)系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量的坐標(biāo)=？ （bcosA-c，bsinA）（3）哪一點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同？由三角函數(shù)的定義，該點(diǎn)的坐標(biāo)又為多少？根據(jù)平行四邊形法則，D（），從而建

10、立等量關(guān)系：bcosAc= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（這其實(shí)是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。知識(shí)鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學(xué)工具，我們可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如角與距離等），這里學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)向量，可根據(jù)學(xué)生素質(zhì)情況決定是否采用探究2與3問(wèn)題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？（留做課后作業(yè)）（四）理解定理、基本應(yīng)用：1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即問(wèn)題4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，成正比例，體現(xiàn)了

11、數(shù)學(xué)的和諧美。 （2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。 從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。 2、例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。評(píng)述：定理的直接應(yīng)用，對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2在中，已知，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？為什么？3、課堂練習(xí)：（1）、引題（問(wèn)題1）（2）、在ABC中，sinAsinB是AB的A.充分不必要條件

12、B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)課堂練習(xí)，練習(xí)（1）目的是首尾呼應(yīng)、學(xué)以致用；練習(xí)（2）則是將正弦定理、簡(jiǎn)易邏輯與平面幾何知識(shí)整合，及時(shí)鞏固定理，運(yùn)用定理。（五）課堂小結(jié)：?jiǎn)栴}5：請(qǐng)同學(xué)們用一句話(huà)表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。生1：原來(lái)我只會(huì)解直角三角形，現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形了師：通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強(qiáng)大了。生2：原來(lái)我以為正弦定理的證明，只有書(shū)上一種方法，今天我們學(xué)到了課本以外的眾多方法。師：我們學(xué)習(xí)過(guò)兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。生3：公式很美。師：美在哪里？生3：體現(xiàn)了公式的對(duì)稱(chēng)美，和諧美在同學(xué)們

13、的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)：1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運(yùn)算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性。2、正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對(duì)邊，具有美學(xué)價(jià)值3、利用正弦定理解決三類(lèi)三角形問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊 的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角。（3）實(shí)現(xiàn)邊與角的正弦的互化。設(shè)計(jì)意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤(pán)托出，學(xué)生接受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計(jì)充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)

14、成為點(diǎn)睛之筆。（六）作業(yè)布置：1、書(shū)面作業(yè)：P10習(xí)題1.1 1、22、研究類(lèi)作業(yè)：1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。2）在ABC中，研究k的幾何意義3）已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問(wèn)題3），根據(jù)分散難點(diǎn)，循序漸進(jìn)原則，在例2中初步涉及，在課后讓學(xué)生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時(shí)中予以下圖的剖析闡述。babababaa已知邊阿aa,b和A僅有一個(gè)解有兩個(gè)解僅有一個(gè)解無(wú)解解a?bCH=bsinAaba=CH=bsinAAaCH=bsinAAACHACB1ABACB2CHHH七、教學(xué)反思：1、本課就新課程理念下定理教學(xué)課的課堂模式，做了一些探索。以問(wèn)題解

15、決為中心，通過(guò)提出問(wèn)題，完善問(wèn)題，解決問(wèn)題，拓展問(wèn)題，采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成與證明的探究上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力。改變了定理教學(xué)中簡(jiǎn)陋的處理方式（簡(jiǎn)單直接呈現(xiàn)、照本宣科證明，大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)）。2、“用教材教，而不是教教材”，盡管教材中對(duì)本課知識(shí)方法的要求并不高，只介紹了通過(guò)作高將一般三角形變換為直角三角形，再將三角比變換得到等式的化歸方法，但教學(xué)不僅是忠實(shí)執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，而且是師生共同開(kāi)發(fā)課程，將教材有機(jī)裁剪，并融入個(gè)性見(jiàn)解的過(guò)程。如在正弦定理的證明探究中，學(xué)生完全可能?chē)@“如何構(gòu)造直角三角形？”，八方聯(lián)系，廣

16、泛聯(lián)想，分別應(yīng)用平面幾何四點(diǎn)共圓、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)方法。本課設(shè)計(jì)充分預(yù)設(shè)各種課堂生成，盡量滿(mǎn)足不同思維層次學(xué)生的需求。3、突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。正弦定理的本質(zhì)是“定量地描寫(xiě)三角形邊角之間的關(guān)系”，是“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的定量化。但量、算、猜不能代替數(shù)學(xué)思考與邏輯證明，而定理的證明實(shí)質(zhì)是：用垂直做媒介，將一般三角形化為直角三角形處理。本課設(shè)計(jì)既講類(lèi)比聯(lián)想，又講邏輯推理，讓學(xué)生知其然，知其所以然。4、來(lái)源于生活實(shí)際，又回到生活中，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。福建省周寧第一中學(xué) 張徐生點(diǎn)評(píng)：本課通過(guò)精心設(shè)計(jì)“發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題”的過(guò)程，注重講背景、講過(guò)程、講應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、勇于探索。首先從具體問(wèn)題情境出發(fā)，在教師的指導(dǎo)下，結(jié)合學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)自主學(xué)習(xí)，進(jìn)行發(fā)散式猜想與探究判斷，去偽存真，提煉猜想，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想。其次，在定理證明階段，通過(guò)新舊知識(shí)的連接點(diǎn)設(shè)問(wèn)，搭建知識(shí)腳手架，讓學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，力求引導(dǎo)學(xué)生尋找合理的知識(shí)方法（如本課知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)：三角函數(shù)與平面向量?jī)?/p>