用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)

1、用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)1、 知識(shí)點(diǎn)解析1、定義：定義1、形如的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)”。定義2、三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，我們把,叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式。2、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究：1、單調(diào)性 一般地，當(dāng)時(shí)，三次函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，三次函數(shù)在上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間。2、對(duì)稱中心三次函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱中心為點(diǎn)，此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)。yf(x)圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)y的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)。3、三次方程根的問題（1）當(dāng)時(shí)，由于不等式恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個(gè)實(shí)根。（2）當(dāng)=時(shí)，由于方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，不妨設(shè)，可知，為

2、函數(shù)的極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，且函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。此時(shí)：若，即函數(shù)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在軸同側(cè)，圖象均與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有且只有一個(gè)實(shí)根。若，即函數(shù)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在軸異側(cè)，圖象與軸必有三個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有三個(gè)不等實(shí)根。若，即與中有且只有一個(gè)值為0，所以，原方程有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等。4、 極值點(diǎn)問題 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值（或極小值），稱點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。當(dāng)時(shí)，三次函數(shù)在上的極值點(diǎn)要么有兩個(gè)。當(dāng)時(shí)，三次函數(shù)在上不存在極值點(diǎn)。5、最值問題。 函數(shù)若，且，則：；。6

3、、過三次函數(shù)上一點(diǎn)的切線問題設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)P一定有直線與的圖象相切。若點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過點(diǎn)P有且只有一條切線；若點(diǎn)P不是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過點(diǎn)P有兩條不同的切線。7、過三次函數(shù)外一點(diǎn)的切線問題設(shè)點(diǎn)為三次函數(shù)圖象外，則過點(diǎn)一定有直線與圖象相切。可能有一條、兩條或三條。（具體情況分析不作要求）8、類似于二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)表：圖像根的個(gè)數(shù)三實(shí)根兩實(shí)根一實(shí)根一實(shí)根與x軸的交點(diǎn)三交點(diǎn)兩交點(diǎn)一交點(diǎn)一交點(diǎn)單調(diào)性在和上為增函數(shù).，在上為減函數(shù)在R上為增函數(shù)極值有兩個(gè)極值，一個(gè)極大值，一個(gè)極小值無極值2、 經(jīng)典題型一、考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性例1 已知函數(shù)f(x)

4、=x3+px+q(xR)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，則（ ）A、p=0,q=0 B、pR,q=0 C、p0,q=0 D、p0,q=0解析 由奇函數(shù)以及增函數(shù)的定義易知選D二、考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性例2 函數(shù)f(x)=x3-3x2+x-1的圖象關(guān)于（ ）對(duì)稱A、直線x=1 B、直線y=x C、點(diǎn)(1,-2) D、原點(diǎn)解析 由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱知選C 例3、（2013課標(biāo)全國(guó)，16）若函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則的最大值為_.解析：函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則解得a=8，b=5，所以可以解得的最大值為16。y三、運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解題

5、 例4 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則（ ） A、b(-,0) B、b(0,1) xC、b(1,2) D、b(2,+ ) 解析 顯然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a0，又 f(x)= ax3-3ax2+2ax比較系數(shù)可知b=-3a0,b0,d=0） 例5（2013課標(biāo)全國(guó)卷，10）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）（A）xR,f(x)=0（B）函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形（C）若x是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間（-,x）單調(diào)遞減（D）若x0是f（x）的極值點(diǎn)，則 解析：由三次函數(shù)值域?yàn)镽知f

6、(x)=0有解，A正確；由性質(zhì)可知B正確;由性質(zhì)可知若f(x)有極小值點(diǎn)，則由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則f(x)在（-,x1)上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在（x2，,)上為增函數(shù)，故C錯(cuò)。D正確。選C。四、考查單調(diào)區(qū)間、極值、最值的問題 例6（2010年全國(guó)卷文）已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。 解析： （2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在（2，3）內(nèi)有極值，即為在（2，3）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，即可根據(jù)，即可求出a的取值范圍。五、考查交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 例7 （2009陜西文20）已知函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II

7、）若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有所以的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由解得或，由解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O大值，所以所以由解得.由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值1，在處取得極小值-3.因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：（1） 本題是三次函數(shù)零點(diǎn)存在性問題的典型變式題，涉及圖象交點(diǎn)向函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化關(guān)系；（2） 本題最終將問題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值（最值）控制法；（3） 在這里應(yīng)結(jié)合上面例題進(jìn)一步揭示研究二次方程與三次方程實(shí)根分布問題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進(jìn)一步加深對(duì)

8、函數(shù)極值（最值）的認(rèn)識(shí)和對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì). 六、考查曲線的切線問題 例8（2007全國(guó)II理22）已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：解：（1）的導(dǎo)數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則當(dāng)變化時(shí)，變化情況：0g(x)00g(x) 增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根綜上所述，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即點(diǎn)評(píng)：

9、（1） 本題是前一個(gè)問題的延伸，其以導(dǎo)數(shù)幾何意義為載體；（2） 本題最終將問題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值（最值）控制法；（3） 在這里應(yīng)結(jié)合上面例題進(jìn)一步揭示研究二次方程與三次方程實(shí)根分布問題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)極值（最值）的認(rèn)識(shí)和對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).七、含參數(shù)的恒成立問題例9（2008年安徽文）設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。（）已知函數(shù)在處取得極值，求的值； （）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：（），由于函數(shù)在時(shí)取得極值，所以 即 對(duì)于問題（）有兩種方法： 方法一 轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù) 由題設(shè)知：對(duì)任意都成立即對(duì)任意都成立設(shè) , 則對(duì)任意，為單調(diào)遞增函數(shù)所以對(duì)任

10、意，恒成立的充分必要條件是即 ，于是的取值范圍是方法二 恒成立問題，轉(zhuǎn)化為不等式的最值問題 由題設(shè)知：對(duì)任意都成立即對(duì)任意都成立于是對(duì)任意都成立，即 于是的取值范圍是3、 高考試題檢測(cè)1(2011廣東，12)函數(shù)f(x)x33x21在x_處取得極小值解析f(x)3x26x0得x0或x2.當(dāng)x(，0)(2，)時(shí)f(x)0，f(x)為增函數(shù)當(dāng)x(0，2)時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)f(x)在x2處取得極小值答案22、(2014遼寧，11)當(dāng)x2，1時(shí)，不等式ax3x24x30恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A5，3 B.C6，2 D4，3解析當(dāng)x(0，1時(shí)，得a34，令t，則t1，)，a3t3

11、4t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，則g(t)9t28t1(t1)(9t1)，顯然在1，)上，g(t)0，即4a24a10，a.a的取值范圍是.5(2015江蘇，19)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若bca(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閒(x)3x20(x0)，所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，x(0，)時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)

12、遞減；當(dāng)a0時(shí)，x(，0)時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)b，fa3b，則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)fb0，從而或又bca，所以當(dāng)a 0時(shí)，a3ac0或當(dāng)a0時(shí)，a3ac0.設(shè)g(a)a3ac，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(，3)，則在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時(shí)，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2(a1)x1a0有兩個(gè)異于1的不等實(shí)根，所以(a1)24(1a

13、)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.6、(2015新課標(biāo)全國(guó)，21)已知函數(shù)f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線yf(x)的切線；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)(x0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解(1)設(shè)曲線yf(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0，0)，則f(x0)0，f(x0)0.即解得x0，a.因此，當(dāng)a時(shí)，x軸為曲線yf(x)的切線(2)當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)ln x0，從而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)無零點(diǎn)當(dāng)x1時(shí)，若a，則f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零點(diǎn)；若a，則f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考慮f(x)在(0，1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()若a3或a0，則f(x)3x2a在(0，