高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)導數(shù)及其應用2.11.1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性理

1、第十一節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 第一課時利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,知識梳理】 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系 函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導: (1)若f(x)0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)_; (2)若f(x)0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)_; (3)若f(x)=0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是_,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,常數(shù)函數(shù),特別提醒】 導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 (1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件. (2)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件(f(x)=0不恒成立,小題快練】 鏈接教材練一練 1.(選修2

2、-2P24例1改編)如圖所示是函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象,則下列判斷中正確的是(,A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)上是減函數(shù) B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,2)上是減函數(shù) C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù) D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,2)上是單調(diào)函數(shù) 【解析】選A.當x(-3,0)時,f(x)0,則f(x)在 (-3,0)上是減函數(shù).其他判斷均不正確,2.(選修2-2P26練習T1(2)改編)函數(shù) 的單 調(diào)遞減區(qū)間為( ) A.(-1,1 B.(0,1 C.1，+) D.(0，+) 【解析】選B.由題意知函數(shù)的定義域為(0，+)， 又由y= 0，解得0x1， 所以函數(shù)的單

3、調(diào)遞減區(qū)間為(0,1,感悟考題 試一試 3.(2016內(nèi)江模擬)函數(shù)f(x)= (a0)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.(-，-1) B.(-1,1) C.(1，+) D.(-，-1)或(1，,解析】選B.函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)= = 由于a0，要使f(x)0， 只需(1-x)(1+x)0，解得x(-1,1,4.(2016廣州模擬)已知函數(shù)y=xf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)).則下面四個圖象中,y=f(x)的圖象大致是(,解析】選C.由條件可知當01時,xf(x)0, 所以f(x)0,函數(shù)遞增,所以當x=1時,函數(shù)取得 極小值. 當x0,函數(shù)遞增, 當-1

4、0,所以f(x)0,函數(shù)遞減, 所以當x=-1時,函數(shù)取得極大值.符合條件的只有C項,5.(2016合肥模擬)若函數(shù)f(x)=mx2+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是,解析】f(x)= 函數(shù)f(x)在其定義域(0， +)內(nèi)為增函數(shù)的充要條件是 0在(0，+) 內(nèi)恒成立，即2m 在(0，+)內(nèi)恒成立，由于函 數(shù)(x)= 故只要2m1即可，即 答案,考向一利用導數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 【典例1】(1)(2015湖南高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是() A.奇函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù) B.奇函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù) C.偶函數(shù),且在

5、(0,1)上是增函數(shù) D.偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù),2)(2015全國卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx(xR),討論f(x)的單調(diào)性,解題導引】(1)利用函數(shù)奇偶性的定義判斷奇偶性,利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性. (2)先對函數(shù)f(x)求導,然后分m0,m0兩種情況進行討論,規(guī)范解答】(1)選A顯然，f(x)的定義域為(-1，1), 關(guān)于原點對稱， 又因為f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù).因為f(x)= 在 (0,1)上f(x)0，所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù),2)因為f(x)=m(emx-1)+2x. 若m0,則當x(-,0)

6、時,emx-10,f(x)0. 若m0,f(x)0. 綜上所述f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增,規(guī)律方法】導數(shù)法判斷(證明)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟 (1)求f(x). (2)確認f(x)在(a,b)內(nèi)的符號. (3)得出結(jié)論:f(x)0時為增函數(shù);f(x)0時為減函數(shù),易錯提醒:研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論,變式訓練】(2015重慶高考)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2 (aR)在x= 處取得極值. (1)確定a的值. (2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性,解析】(1)對f(x)求導得f(x)=

7、3ax2+2x. 因為f(x)在 處取得極值， 所以 解得 經(jīng)檢驗滿足題意,2)由(1)知g(x)= 所以 g(x)= 令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 當x-4時，g(x)0,故g(x)為減函數(shù),當-40,故g(x)為增函數(shù)； 當-10時，g(x)0,故g(x)為增函數(shù)； 綜上知，g(x)在(-,-4)和(-1,0)內(nèi)為減函數(shù)， 在(-4,-1)和(0,+)內(nèi)為增函數(shù),加固訓練】(2015四川高考改編題)已知函數(shù)f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a0.設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性,解析】由已知，函數(shù)的定義域為(0,+)， 所以g(x)=f(

8、x)=2(x-1-ln x-a) 所以g(x)= 當x(0,1)時，g(x)0,g(x)單調(diào)遞增,考向二利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【典例2】(1)已知函數(shù)f(x)=ax+ln x，則當a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_，單調(diào)遞減區(qū)間是_,2)已知函數(shù)f(x)= 其中aR，且曲線 y=f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,解題導引】(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間只需令f(x)0或 f(x)0求出x的范圍. (2)先利用曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線垂直于直 線 求出a的值，然后再求出單調(diào)區(qū)間,規(guī)范解答】(1)由已知得f(x)的定義域為(0，+). 因為f

9、(x)= 所以當x 時f(x)0， 當00， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為 答案,2)對f(x)求導得f(x)= 由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線 知f(1)= =-2，解得 所以f(x)= 則f(x)= 令f(x)=0，解得x=-1或x=5， 因x=-1不在f(x)的定義域(0，+)內(nèi)，故舍去,當x(0,5)時，f(x)0，故f(x)在(5，+)內(nèi)為增函數(shù) 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(0，5,易錯警示】解答典例2(2)會出現(xiàn)以下錯誤:令f(x)=0,解得x=-1或x=5時,忽視函數(shù)的定義域而未舍去x=-1,規(guī)律方法】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的

10、“兩種”方法 方法一:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域. (2)求導數(shù)f(x). (3)解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間. (4)解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間,方法二:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域. (2)求導數(shù)f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根. (3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間,4)確定f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,變式訓練】(2016福州模擬)已

11、知函數(shù) f(x)=ln(ex+1)-ax(a0). (1)若函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)是奇函數(shù),求a的值. (2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為R. 由已知得f(x)= 因為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)是奇函數(shù)， 所以f(-x)=-f(x)， 即 解得,2)由(1)f(x)= 當a1時，f(x)0恒成立， 所以當a1，+)時，函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減 當0a1時，由f(x)0得(1-a)(ex+1)1， 即ex 解得,當0a1時，由f(x)0得(1-a)(ex+1)1， 即ex 解得 所以當a(0,1)時，函數(shù)y=f(x)在 上單調(diào) 遞增，在 上單調(diào)遞減,加固

12、訓練】1.(2016廣州模擬)已知函數(shù)f(x)=(-x2+2x)ex,xR, e為自然對數(shù)的底數(shù).則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,解析】因為f(x)=(-x2+2x)ex,所以f(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.令f(x)0,即(-x2+2)ex0, 因為ex0，所以-x2+20，解得 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 答案,2.已知函數(shù)f(x)= (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. (2)若函數(shù)f(x)在(1，+)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍,解析】(1)函數(shù)f(x)= 的定義域為(0,+), f(x)= 當=1+4a0，即a 時，x2+x-a0恒成立， 即f

13、(x)0恒成立, 所以函數(shù)f(x)在(0，+)上單調(diào)遞增,當=1+4a0，即 時， 令f(x)=0，得x2+x-a=0， 解得 ()若 a0，則 因為x(0，+)，所以f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，+)上單調(diào)遞增,若a0，則x 時，f(x)0； x 時，f(x)0， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū) 間 上單調(diào)遞增,綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0，+)； 當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為,2)由題意知，f(x)0在(1，+)上恒成立， 即x2+x-a0在(1，+)上恒成立， 令g(x)= 則g(x)2-a，從而2-a0，所以a2. 當

14、a=2時，f(x)0在(1，+)上恒成立， 因此實數(shù)a的取值范圍是(-，2,3.(2015江蘇高考改編)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b (a,bR).求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,解析】f(x)=3x2+2ax= 令f(x)=0，得x=0或 當a0，得x0或 令f(x) 0，得 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,0) 和 單調(diào)遞減區(qū)間是,當a=0時，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞 增. 當a0時，令f(x)0,得 或x0; 令f(x)0，得 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 是 和(0,+)，單調(diào)遞減區(qū)間是,綜上所述，當a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 和(0,+)， 單調(diào)遞減區(qū)間是,考

15、向三利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性的應用問題 【考情快遞,考題例析】 命題方向1：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 【典例3】(2014全國卷)若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1，+)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,解題導引】利用函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增等價于f(x)0在(1,+)恒成立求解,規(guī)范解答】選D.因為f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增， 所以f(x)0在(1，+)上恒成立， 因為f(x)=kx-ln x， 所以f(x)= 即 因為x1,所以 所以k1.所以k1,母題變式】 1.若本例條件改為“函數(shù)f(

16、x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞減”，求k的取值范圍,解析】因為函數(shù)f(x)=kx-ln x， 所以f(x)= 函數(shù)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞減， 則f(x)0在(1,+)上恒成立， 即 0在區(qū)間(1,+)上恒成立， 故k 在區(qū)間(1,+)上恒成立， 因為在區(qū)間(1,+)上 故k0,2.試求本例函數(shù)f(x)=kx-ln x的單調(diào)區(qū)間. 【解析】函數(shù)f(x)=kx-ln x的定義域為(0,+)， 因為f(x)= 當k0時，f(x)= 0恒成立， 故函數(shù)在區(qū)間(0,+)上為減函數(shù)； 當k0時，令f(x)0,解得 令f(x)0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 單調(diào)遞減區(qū) 間為,命題方向2：比較大小

17、或解不等式 【典例4】(1)(2014 湖南高考)若0x1x21， 則(,2)(2015全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x) (xR)的導函數(shù),f(-1)=0,當x0時,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范圍是() A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(-1,0) D.(0,1)(1,解題導引】(1)根據(jù)不等式的特點構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷其單調(diào)性后再比較大小. (2)構(gòu)造函數(shù)g(x)= 然后對函數(shù)g(x)求導，利用單調(diào)性確定x的取值范圍,規(guī)范解答】(1)選C,2)選A.記函數(shù)g(x)= 則g(x)= 因為當x0時，xf(x)-f(x)0時，g(x)0，

18、所以g(x)在(0,+)上單調(diào) 遞減,又因為函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是 偶函數(shù)， 所以g(x)在(-,0)上單調(diào)遞增， 且g(-1)=g(1)=0 當00，則f(x)0； 當x0,綜上所述，使得f(x)0成立的x的取值范圍是 (-,-1)(0,1,技法感悟】 1.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路 (1)由函數(shù)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增(減)可知f(x)0 (f(x)0)在區(qū)間a,b上恒成立列出不等式. (2)利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題,3)對等號單獨檢驗,檢驗參數(shù)的取值能否使f(x)在整個區(qū)間恒等于0,若f(x)恒等于0,則參數(shù)的這個值應舍去;若只有在個

19、別點處有f(x)=0,則參數(shù)可取這個值,2.利用導數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧 利用題目條件,構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式,易錯提醒:f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)0.應注意此時式子中的等號不能省略,否則漏解,題組通關(guān)】 1(2016十堰模擬)函數(shù)f(x)= 在區(qū)間 -1，2上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-,-3 B.(-3,1) C.1,+) D.(-,-31,解析】選B.因為f(x)= 所以f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1, 如果函數(shù)f(x)= 在區(qū)間-1，2上 單調(diào)， 那么a-10或 解得a1或a-3, 于是滿足條件的a(-3，1,2.(2015福建高考)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(