《數(shù)學(xué)史教程》PPT課件.ppt

1、數(shù)學(xué)史教程,主 講 人 孫利,李文林,第八章 代數(shù)學(xué)的新生-01,形如 (n5)的代數(shù)方程能否通過(guò)只對(duì)方程的系數(shù)作加減,乘除和求正整數(shù)次方根等運(yùn)算的公式得到,意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞首先得到的,后來(lái)被米蘭地區(qū)的數(shù)學(xué)家卡爾丹(15011576年)問(wèn)到了這個(gè)三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個(gè)公式為卡爾丹公式(或稱卡當(dāng)公式)。 一般的四次方程被意大利的費(fèi)拉里(15221560年)解出,拉格朗日在代數(shù)方程解法中有歷史性貢獻(xiàn)在論文“關(guān)于方程的代數(shù)解法的思考” (Rflexions sur le resolution algbrique desequations，全集， pp 2

2、05421)中，把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因三次方程有一個(gè)二次輔助方程，其解為三次方程根的函數(shù)，在根的置換下只有兩個(gè)值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個(gè)不同值，因而輔助方程為三次方程拉格朗日稱輔助方程的解為原方程根的預(yù)解函數(shù)(是有理函數(shù))他繼續(xù)尋找5次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個(gè)函數(shù)是低于5次的方程的解，但沒(méi)有成功盡管如此，拉格朗日的想法已蘊(yùn)含著置換群概念，而且使預(yù)解(有理)函數(shù)值不變的置換構(gòu)成子群，子群的階是原置換群階的因子因而拉格朗日是群論的先驅(qū)他的思想為后來(lái)的NH阿貝爾(Abel)和 E伽羅瓦(Galo

3、is)采用并發(fā)展，終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問(wèn)題,阿貝爾獎(jiǎng)，2001年挪威政府宣布創(chuàng)設(shè)阿貝爾獎(jiǎng)。以紀(jì)念他誕生200周年。對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的杰出工作授以阿貝爾獎(jiǎng)。獎(jiǎng)金為600萬(wàn)挪威克朗，現(xiàn)在約合80萬(wàn)美元,阿貝爾關(guān)于橢圓函數(shù)的研究,橢圓函數(shù)論成為19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究中最有成效的研究課題,阿貝爾的那篇論文關(guān)于非常廣泛的一類(lèi)超越函數(shù)的一般性質(zhì)的論文是數(shù)學(xué)史上重要的工作,挪威天才數(shù)學(xué)家 Niels Henrik Abel (18021829,阿貝爾試圖解決困擾了數(shù)學(xué)界幾百年的五次方程問(wèn)題，不久便認(rèn)為得到了答案?；裟凡颍ò⒇悹柕闹袑W(xué)教師）將阿貝爾的研究手稿寄給丹麥當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家達(dá)

4、根。達(dá)根教授看不出阿貝爾的論證有甚么錯(cuò)誤的地方，但他知道這個(gè)許多大數(shù)學(xué)家都解決不出的問(wèn)題不會(huì)這么簡(jiǎn)單的解決出來(lái)，給了阿貝爾一些可貴的忠告，希望他再仔細(xì)演算自己的推導(dǎo)過(guò)程。就在同時(shí)，阿貝爾也發(fā)現(xiàn)了自己推理中的缺陷。這次失敗給他一個(gè)非常有益的打擊，把他推上了正確的途徑，使他懷疑一個(gè)代數(shù)解是否可能。十九歲時(shí)他終于證明了五次方程不可解,1822年6月，阿貝爾靠著霍姆伯厄和其他教授們的幫助，在克里斯蒂安尼亞大學(xué)念完了必須的課程，那時(shí)大學(xué)和城里人人都知道他是一個(gè)了不起的數(shù)學(xué)天才?？伤母赣H已于兩年前去世，家里一貧如洗，沒(méi)錢(qián)繼續(xù)從事數(shù)學(xué)研究。他的老師和朋友們也很窮，無(wú)法再拿出更多的錢(qián)資助他去當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的中

5、心巴黎深造,1823年夏，教天文學(xué)的拉斯穆辛教授給阿貝爾一筆錢(qián)去哥本哈根見(jiàn)達(dá)根，希望他能在外面見(jiàn)識(shí)和擴(kuò)大眼界。從丹麥回來(lái)后阿貝爾重新考慮一元五次方程解的問(wèn)題，總算正確解決了這個(gè)幾百年來(lái)的難題：即五次方程不存在代數(shù)解。后來(lái)數(shù)學(xué)上把這個(gè)結(jié)果稱為阿貝爾-魯芬尼定理。阿貝爾認(rèn)為這結(jié)果很重要，便自掏腰包在當(dāng)?shù)氐挠∷^印刷他的論文。因?yàn)樨毟F，為了減少印刷費(fèi)，他把結(jié)果緊縮成只有六頁(yè)的小冊(cè)子。 阿貝爾滿懷信心地把這小冊(cè)子寄給外國(guó)的數(shù)學(xué)家，包括德國(guó)被稱為數(shù)學(xué)王子的高斯，希望能得到一些反應(yīng)?？上恼绿?jiǎn)潔了，沒(méi)有人能看懂。高斯收到這小冊(cè)子時(shí)覺(jué)得不可能用這么短的篇幅證明這個(gè)世界著名的問(wèn)題-連他還沒(méi)法子解決的問(wèn)題，于

6、是連拿起刀來(lái)裁開(kāi)書(shū)頁(yè)來(lái)看內(nèi)容也懶得做，就把它扔在書(shū)堆里了,埃爾米特(1822-1901年)在評(píng)價(jià)阿貝爾時(shí)寫(xiě)到,他產(chǎn)生的豐富的思想可以使數(shù)學(xué)家忙碌500年,伽羅華 （variste Galois， 18111832,法國(guó)對(duì)函數(shù)論、方程式論和數(shù)論作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，他的工作為群論奠定了基礎(chǔ),伽羅華通過(guò)改進(jìn)數(shù)學(xué)大師拉格朗日的思想，即設(shè)法繞過(guò)拉氏預(yù)解式，但又從拉格朗日那里繼承了問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想，即把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來(lái)的思想，并在阿貝爾研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了他的思想，把全部問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析。 這個(gè)理論的大意是：每個(gè)方程對(duì)應(yīng)于一個(gè)域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的

7、伽羅華域，這個(gè)域?qū)?yīng)一個(gè)群，即這個(gè)方程根的置換群，稱為這方程的伽羅華群。伽羅華域的子域和伽羅華群的子群有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)方程的伽羅華群是可解群時(shí)，這方程是根式可解的,1829年，伽羅華在他中學(xué)最后一年快要結(jié)束時(shí)，把關(guān)于群論初步研究結(jié)果的論文提交給法國(guó)科學(xué)院，科學(xué)院委托當(dāng)時(shí)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人。在1830年1月18日柯西曾計(jì)劃對(duì)伽羅華的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見(jiàn)聽(tīng)取會(huì)。他在一封信中寫(xiě)道：“今天我應(yīng)當(dāng)向科學(xué)院提交一份關(guān)于年輕的伽羅華的工作報(bào)告但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會(huì)議，希望你安排我參加下次會(huì)議，討論已指明的議題。”然而，第二周當(dāng)柯西向科學(xué)院宣讀他

8、自己的一篇論文時(shí)，并未介紹伽羅華的著作，這是一個(gè)非常微妙的“事故,1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細(xì)地寫(xiě)成論文交上去了，以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)評(píng)選，希望能夠獲獎(jiǎng)。論文寄給當(dāng)時(shí)科學(xué)院終身秘書(shū)傅立葉，但傅立葉在當(dāng)年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數(shù)學(xué)論文都被遺失了,他的論文手稿過(guò)了十四年后，也就是1846年，才由法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾領(lǐng)悟到這些演算中迸發(fā)出的天才思想，他花了幾個(gè)月的時(shí)間試圖解釋它的意義。劉維爾最后將這些論文編輯發(fā)表在他的極有影響的純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志上，并向數(shù)學(xué)界推薦。1870年法國(guó)數(shù)學(xué)家約當(dāng)根據(jù)伽羅華的思想，寫(xiě)了論置換與代數(shù)方程一書(shū)，在這本

9、書(shū)里伽羅華的思想得到了進(jìn)一步的闡述,伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問(wèn)題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，為了紀(jì)念他，人們稱之為伽羅華理論。正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個(gè)新的里程。正是這套理論為數(shù)學(xué)研究工作提供了新的數(shù)學(xué)工具-群論。它對(duì)數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)的發(fā)展有很大影響，并標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開(kāi)始。 伽羅華非常徹底地把全部代數(shù)方程可解性問(wèn)題，轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)分析的問(wèn)題。這是伽羅華工作中的第一個(gè)“突破”，他猶如劃破黑夜長(zhǎng)空的一顆瞬間即逝的流星，開(kāi)創(chuàng)了置換群論的研究，確立了代數(shù)方程的可解性理論，即后來(lái)稱為的“伽羅

10、華理論”，從而徹底解決了一般方程的根式解難題,1852年意大利數(shù)學(xué)家貝蒂(1823-1892)發(fā)表文章,全面介紹伽羅瓦理論. 法國(guó)數(shù)學(xué)家約當(dāng)(1838-1922)在1870年(伽羅瓦已去世38年)第一次系統(tǒng)闡述伽羅瓦利用群的概念,把方程的特性歸結(jié)為群的特性,從而得出五次和五次以上方程有根號(hào)解的充要條件,徹底解決了方程論中這個(gè)重要問(wèn)題,劉維爾,1836年，劉維爾與斯圖姆共同給出了關(guān)于代數(shù)方程虛根數(shù)目的柯西定理的證明；次年，他又用不同于阿貝爾的方法，解決了二元代數(shù)方程組的消元問(wèn)題。這些都被JA塞雷(Serret)收入了他編寫(xiě)的高等代數(shù)教程(Cours dAlgbre superieure)第4版(

11、1877)，得以在法國(guó)的學(xué)校中廣泛傳播,為了發(fā)表伽羅瓦的著作，劉維爾從1843到1846年對(duì)其手稿進(jìn)行了徹底的研究。在他為伽羅瓦的著作發(fā)表所寫(xiě)的導(dǎo)言中，對(duì)伽羅瓦的工作給予了高度評(píng)價(jià)。他還邀請(qǐng)包括塞雷在內(nèi)的一些朋友，參加關(guān)于伽羅瓦工作的系列演講。因此，劉維爾間接地推動(dòng)了近世代數(shù)學(xué)和群論的發(fā)展,從1856年開(kāi)始，劉維爾放棄了在其他方面幾乎所有的數(shù)學(xué)研究，而把精力投入到數(shù)論領(lǐng)域。10年間，他在純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了18篇系列注記和近200篇短篇注記，前者未加證明地給出了許多一般公式，為解析數(shù)論的形成奠定了基礎(chǔ)，后者則個(gè)別地討論了素?cái)?shù)性質(zhì)和整數(shù)表示為二次型的方法等特殊問(wèn)題,法國(guó)數(shù)學(xué)家約當(dāng)(1838

12、-1922)在1870年(伽羅瓦已去世38年)第一次系統(tǒng)闡述伽羅瓦利用群的概念,把方程的特性歸結(jié)為群的特性,從而得出五次和五次以上方程有根號(hào)解的充要條件,徹底解決了方程論中這個(gè)重要問(wèn)題,數(shù)學(xué)史教程,主 講 人 孫利,李文林,第八章 代數(shù)學(xué)的新生-02,1750年克萊姆（Cramer,17021752）在他的線性代數(shù)分析導(dǎo)言（Introduction d lanalyse des lignes courbes algebriques）中發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的Cramer克萊姆法則,1764年，Bezout把確定行列式每一項(xiàng)的符號(hào)的手續(xù)系統(tǒng)化了。對(duì)給定了含個(gè)未知量的個(gè)齊

13、次線性方程，Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件。范德蒙德(A.T.Vandermonde,17351796)是第一個(gè)對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述（即把行列式理論與線性方程組求解相分離）的人,1772年，拉普拉斯在對(duì)積分和世界體系的探討中，證明了范德蒙德的一些規(guī)則，并推廣了他的展開(kāi)行列式的方法，用行中所含的子式和它們的余子式的集合來(lái)展開(kāi)行列式，這個(gè)方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。1841年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比（C.G.Jacobi,18041851）總結(jié)并提出了行列式的最系統(tǒng)的理論。另一個(gè)研究行列式的是法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家柯西，他大大發(fā)展了行列式的理論?？挛饔?812年給出了現(xiàn)代意

14、義下的行列式這個(gè)詞，并且在1815年引入了把元素排成方陣并采用雙重足標(biāo)的記法，而1841年凱萊則引入了兩條豎線，到此為止標(biāo)準(zhǔn)的行列式已經(jīng)出現(xiàn)了,1815年柯西給出了行列式乘法： | | |=| |，其中| |、| |表示行列式，其中，并給出了行列式第一個(gè)系統(tǒng)的處理。1825年，舍爾克(H.F.Scherk，17981885)給出了行列式的一系列新性質(zhì)，如其中某一行是另兩行或幾行的線性組合時(shí)，行列式為零，三角行列式的值是主對(duì)角線上的元素的乘積，等等,哈密頓與四元數(shù),哈密頓（William RoWan Hamilton 1805-1865）英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。 14歲時(shí)學(xué)會(huì)了12種歐洲語(yǔ)言。13

15、歲對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣，只用幾年時(shí)間，自學(xué)了A.-c.克萊羅、牛頓和P.-S.拉普拉斯等人的幾部經(jīng)典著作。 把形如t十xi十yj十zk的數(shù)叫“四元數(shù),定義這樣兩個(gè)有序?qū)崝?shù)四元數(shù)組（a,b,c,d),(e,f,g,h)為相等的，當(dāng)且僅當(dāng)a=e,b=f,c=g,d=h.又用記號(hào)l,i,j,k分別表示（1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何規(guī)定其運(yùn)算法則呢？如果按照普通代數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行，政府就難以建立起來(lái)。如果獨(dú)辟蹊徑，又該從何下手呢？哈密爾頓發(fā)現(xiàn)將四無(wú)數(shù)組的加法和乘法的定義如下：(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h

16、);(a,b,c,d)*(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf,格拉斯曼:德國(guó)數(shù)學(xué)家，語(yǔ)言學(xué)家 ，社會(huì)活動(dòng)家 。 他建立了格拉斯曼代數(shù)和格拉斯曼流形的結(jié)構(gòu)，以及在現(xiàn)代分析和微分幾何中占據(jù)重要地位的外微分形式的計(jì)算，此外 ，還發(fā)展了一種“代數(shù)乘法”的運(yùn)算，從而產(chǎn)生了現(xiàn)在稱為多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu),格拉斯曼首次提出了多維歐幾里得空間的系統(tǒng)理論1844年他在線性擴(kuò)張論中引入歐幾里得n維空間概念，研究了點(diǎn)、直線、平面和兩點(diǎn)間的距離，并推廣到n維空間，研究了抽象幾何空間中的n階曲線，發(fā)展了萊布尼茲把代表幾何實(shí)體的符號(hào)按一定規(guī)則來(lái)處理的

17、代數(shù)思想 線性擴(kuò)張論所論述的幾何分析，是一個(gè)介于解析幾何與綜合幾何的邊緣領(lǐng)域幾何分析的所有體系具有共同特點(diǎn)，它們的基本成分是有向線段的幾何加法，并且借助于復(fù)數(shù)的平面幾何描述在線性擴(kuò)張論中格拉斯曼融合坐標(biāo)、向量及復(fù)數(shù)等概念于n維空間，大膽地開(kāi)拓了數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域,向量空間”概念在以前數(shù)學(xué)家的論著中是不夠明確的，格拉斯曼第一個(gè)明白地解釋了“n維向量空間”的概念，他把n維向量空間的向量和與積用純幾何方法來(lái)定義，發(fā)展了通用的向量演算法 格拉斯曼與WR哈密頓(Hamilton)同時(shí)分別建立了超復(fù)數(shù)，格拉斯曼還引入了超復(fù)數(shù)的兩類(lèi)乘法(內(nèi)積和外積)，從而建立了一種有n個(gè)分量的超復(fù)數(shù)幾何學(xué)，所以他是復(fù)抽象幾何學(xué)的

18、奠基人 由于坐標(biāo)選擇帶有任意性，可能使問(wèn)題復(fù)雜化人們希望把幾何學(xué)和物理學(xué)上確實(shí)重要的部分，與由坐標(biāo)的選擇額外產(chǎn)生的部分分開(kāi)，于是便產(chǎn)生了張量概念用張量來(lái)描述的物理定律和幾何定理所得到的結(jié)果，在任何坐標(biāo)系下都具有不變的形式,布爾代數(shù),布爾-英國(guó)數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家1947年邏輯的數(shù)學(xué)分析1854年思維規(guī)律研究.德國(guó)數(shù)學(xué)家施勒德(1841-1902年)邏輯代數(shù)講義 布爾代數(shù)上的運(yùn)算被稱為AND(與)、OR(或)和NOT(非)。代數(shù)結(jié)構(gòu)要是布爾代數(shù)，這些運(yùn)算的行為就必須和兩元素的布爾代數(shù)一樣(這兩個(gè)元素是TRUE(真)和FALSE(假)。亦稱邏輯代數(shù).布爾(Boole，G.)為研究思維規(guī)律(邏輯學(xué))于1

19、847年提出的數(shù)學(xué)工具.布爾代數(shù)是指代數(shù)系統(tǒng)B=B，,它包含集合B連同在其上定義的兩個(gè)二元運(yùn)算+，和一個(gè)一元運(yùn)算，布爾代數(shù)具有下列性質(zhì)：對(duì)B中任意元素a，b，c，有: 1.a+b=b+a，ab=ba ； 2.a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c). 3.a+0=a，a1=a. 4.a+a=1，aa=0. 布爾代數(shù)也可簡(jiǎn)記為B=B，+，.在不致混淆的情況下，也將集合B稱作布爾代數(shù).布爾代數(shù)B的集合B稱為布爾集，亦稱布爾代數(shù)的論域或定義域，它是代數(shù)B所研究對(duì)象的全體.一般要求布爾集至少有兩個(gè)不同的元素0和1，而且其元素對(duì)三種運(yùn)算+， 都封閉，因此并非任何集合都能成為布爾集.在

20、有限集合的情形，布爾集的元素個(gè)數(shù)只能是2n，n=0，1，2，二元運(yùn)算+稱為布爾加法，布爾和，布爾并，布爾析取等;二元運(yùn)算稱為布爾乘法，布爾積，布爾交，布爾合取等;一元運(yùn)算 稱為布爾補(bǔ)，布爾否定，布爾代數(shù)的余運(yùn)算等,布爾代數(shù)的運(yùn)算符號(hào)也有別種記法，如，-;，?等.由于只含一個(gè)元的布爾代數(shù)實(shí)用價(jià)值不大，通常假定01，稱0為布爾代數(shù)的零元素或最小元，稱1為布爾代數(shù)的單位元素或最大元.布爾代數(shù)通常用亨廷頓公理系統(tǒng)來(lái)定義，但也有用比恩公理系統(tǒng)或具有0與1的有補(bǔ)分配格等來(lái)定義的,高斯 C.F. Gauss,17771855,德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。他有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，并被譽(yù)為歷史

21、上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名,歷史貢獻(xiàn)-高斯分布,18歲的高斯發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。通過(guò)對(duì)足夠多的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個(gè)新的、概率性質(zhì)的測(cè)量結(jié)果。在這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線(正態(tài)分布曲線)。其函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計(jì)算中大量使用。 在高斯19歲時(shí)，僅用沒(méi)有刻度的尺子與圓規(guī)便構(gòu)造出了正17邊形（阿基米德與牛頓均未畫(huà)出）。并為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時(shí)代以來(lái)的第一次重要補(bǔ)充,三角形全等定理 高斯在計(jì)算的谷神星軌跡時(shí)總結(jié)了復(fù)數(shù)的應(yīng)用，并且嚴(yán)格證明了每一個(gè)n階的代數(shù)方程必有n

22、個(gè)復(fù)數(shù)解。在他的第一本著名的著作數(shù)論中，作出了二次互反律的證明，成為數(shù)論繼續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)。 在這部著作的第一章，導(dǎo)出了三角形全等定理的概念,經(jīng)典著作 1799年：關(guān)于代數(shù)基本定理的博士論文 (Doktorarbeit uber den Fundamentalsatz der Algebra) 1801年：算術(shù)研究 (Disquisitiones Arithmeticae) 1809年：天體運(yùn)動(dòng)論 (Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium) 1827年：曲面的一般研究 (Disquisi

23、tiones generales circa superficies curvas) 1843-1844年：高等大地測(cè)量學(xué)理論（上） (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 1) 1846-1847年：高等大地測(cè)量學(xué)理論（下） (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 2,數(shù)學(xué)上的成就,高斯發(fā)明了最小二乘法原理。高斯的數(shù)論研究總結(jié)在算術(shù)研究（1801）中，這本書(shū)奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ)，它不僅是數(shù)論方面的劃時(shí)代之作，也是數(shù)學(xué)史上不可多得的經(jīng)典

24、著作之一。高斯對(duì)代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)是證明了代數(shù)基本定理，他的存在性證明開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑,高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。 他還深入研究復(fù)變函數(shù)，建立了一些基本概念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這些工作在他生前都沒(méi)發(fā)表出來(lái)。1828年高斯出版了關(guān)于曲面的一般研究，全面系統(tǒng)地闡述了空間曲面的微分幾何學(xué)，并提出內(nèi)蘊(yùn)曲面理論。高斯的曲面理論后來(lái)由黎曼發(fā)展。 高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對(duì)待學(xué)問(wèn)十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來(lái)。其著作還有地磁概念和論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律等,代數(shù)數(shù)論 高斯出版了名著算術(shù)研究，開(kāi)辟了數(shù)論研究的新時(shí)

25、代，他自己立即成為第一流的數(shù)學(xué)家，-同余理論， 代數(shù)數(shù)的引進(jìn)， 作為丟番圖分析的指導(dǎo)思想的型的理論,算術(shù)研究是現(xiàn)代數(shù)論的開(kāi)始,也確定了現(xiàn)代數(shù)論的研究方向;二次互反律-至少8個(gè)證明.確立復(fù)數(shù)的思想方法-幾何解釋 同余方程x2a(modp) p為素?cái)?shù),(a,p)=1,在代數(shù)數(shù)論方面作成了重要貢獻(xiàn);在1844-1847年見(jiàn)創(chuàng)立了理想數(shù)理論; 戴德金把庫(kù)默爾的工作系統(tǒng)化并推廣到一般的代數(shù)數(shù),創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)的理論,庫(kù)默爾（Kummer，Ernst Eduard，1810-1893）德國(guó)數(shù)學(xué)家,二次互反律,凱萊和矩陣代數(shù) 凱萊(1821-1895年) 1858年矩陣論的研究報(bào)告中，對(duì)矩陣的性質(zhì)和運(yùn)算作了

26、系統(tǒng)的論述,定義了矩陣的相等,零矩陣,單位矩陣兩矩陣的和數(shù)乘矩陣,兩矩陣的積,矩陣的逆和共軛矩陣. 1878年弗羅伯尼給出哈密頓-凱萊定理的證明,正式定義了1854年由埃爾米特引入的正交矩陣,1879年給出矩陣的秩的概念,凱萊（18211895）Cayley，Arthur 英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人,凱萊最主要的貢獻(xiàn)是與J.J.西爾維斯特一起 ，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣論的創(chuàng)立者,凱萊和矩陣代數(shù) 凱萊(1821-1895年) 1858年矩陣論的研究報(bào)告中，對(duì)矩陣的性質(zhì)和運(yùn)算作了系統(tǒng)的論述,定義了矩陣的相等,零矩陣,單位矩陣兩矩陣的和數(shù)乘矩陣,兩矩陣的積

27、,矩陣的逆和共軛矩陣,1878年弗羅伯尼給出哈密頓-凱萊定理的證明,正式定義了1854年由埃爾米特引入的正交矩陣,1879年給出矩陣的秩的概念,1854年和1878年，埃爾米特(Charles Hermite，18221901)、弗羅伯尼(F.G.Frobenius，18491917)分別給出了正交矩陣的定義：矩陣 是正交的，如果它等于它的轉(zhuǎn)置矩陣 的逆，即。弗羅伯尼證明了正交矩陣總能寫(xiě)成 或者 的形式 ，其中 為對(duì)稱矩陣， 為反對(duì)稱矩陣，為單位矩陣。從柯西開(kāi)始，人們就開(kāi)始討論相似矩陣和相似行列式。如果存在一個(gè)可逆 矩陣使得 ，則稱矩陣與相似。相應(yīng)地，人們也這樣定義了相似矩陣。 1879年，弗羅伯尼利用行列式引進(jìn)了矩陣的秩的概念。一個(gè) 矩陣的秩為r，當(dāng)且僅當(dāng)它至少有一個(gè)r階子式的行列式不為零，而所有高于r階的子式的行列式都為零。矩陣的秩有一系列性質(zhì)：秩(AB)min(秩(A)，秩(B)，等等,凱萊、西爾維斯特建立了線性變換的理論。凱萊就是從兩個(gè)相繼線性變換的效應(yīng)表示給出了矩陣的乘法定義。他們把一個(gè)矩陣看作一線性變換，從而利用線性變換處理了矩陣的相似、等價(jià)、合同等關(guān)系。后來(lái)線性變換又被應(yīng)用于研究數(shù)論、射影幾何，取得了巨大的成就,埃爾米特（Charles Hermite，18221901） 法國(guó)數(shù)學(xué)家。巴黎綜合工科學(xué)校畢業(yè)。曾任法蘭西學(xué)院、巴黎高等師范學(xué)校、巴黎大