《數學史教程》PPT課件.ppt

1、數學史教程,主 講 人 孫利,李文林,第八章 代數學的新生-01,形如 (n5)的代數方程能否通過只對方程的系數作加減,乘除和求正整數次方根等運算的公式得到,意大利數學家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數學家卡爾丹(15011576年)問到了這個三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現在人們還是叫這個公式為卡爾丹公式(或稱卡當公式)。 一般的四次方程被意大利的費拉里(15221560年)解出,拉格朗日在代數方程解法中有歷史性貢獻在論文“關于方程的代數解法的思考” (Rflexions sur le resolution algbrique desequations，全集， pp 2

2、05421)中，把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結為一套標準方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數方法解出的原因三次方程有一個二次輔助方程，其解為三次方程根的函數，在根的置換下只有兩個值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個不同值，因而輔助方程為三次方程拉格朗日稱輔助方程的解為原方程根的預解函數(是有理函數)他繼續(xù)尋找5次方程的預解函數，希望這個函數是低于5次的方程的解，但沒有成功盡管如此，拉格朗日的想法已蘊含著置換群概念，而且使預解(有理)函數值不變的置換構成子群，子群的階是原置換群階的因子因而拉格朗日是群論的先驅他的思想為后來的NH阿貝爾(Abel)和 E伽羅瓦(Galo

3、is)采用并發(fā)展，終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數方法求解的問題,阿貝爾獎，2001年挪威政府宣布創(chuàng)設阿貝爾獎。以紀念他誕生200周年。對數學領域中的杰出工作授以阿貝爾獎。獎金為600萬挪威克朗，現在約合80萬美元,阿貝爾關于橢圓函數的研究,橢圓函數論成為19世紀數學研究中最有成效的研究課題,阿貝爾的那篇論文關于非常廣泛的一類超越函數的一般性質的論文是數學史上重要的工作,挪威天才數學家 Niels Henrik Abel (18021829,阿貝爾試圖解決困擾了數學界幾百年的五次方程問題，不久便認為得到了答案。霍姆伯厄（阿貝爾的中學教師）將阿貝爾的研究手稿寄給丹麥當時最著名的數學家達

4、根。達根教授看不出阿貝爾的論證有甚么錯誤的地方，但他知道這個許多大數學家都解決不出的問題不會這么簡單的解決出來，給了阿貝爾一些可貴的忠告，希望他再仔細演算自己的推導過程。就在同時，阿貝爾也發(fā)現了自己推理中的缺陷。這次失敗給他一個非常有益的打擊，把他推上了正確的途徑，使他懷疑一個代數解是否可能。十九歲時他終于證明了五次方程不可解,1822年6月，阿貝爾靠著霍姆伯厄和其他教授們的幫助，在克里斯蒂安尼亞大學念完了必須的課程，那時大學和城里人人都知道他是一個了不起的數學天才?？伤母赣H已于兩年前去世，家里一貧如洗，沒錢繼續(xù)從事數學研究。他的老師和朋友們也很窮，無法再拿出更多的錢資助他去當時世界數學的中

5、心巴黎深造,1823年夏，教天文學的拉斯穆辛教授給阿貝爾一筆錢去哥本哈根見達根，希望他能在外面見識和擴大眼界。從丹麥回來后阿貝爾重新考慮一元五次方程解的問題，總算正確解決了這個幾百年來的難題：即五次方程不存在代數解。后來數學上把這個結果稱為阿貝爾-魯芬尼定理。阿貝爾認為這結果很重要，便自掏腰包在當地的印刷館印刷他的論文。因為貧窮，為了減少印刷費，他把結果緊縮成只有六頁的小冊子。 阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給外國的數學家，包括德國被稱為數學王子的高斯，希望能得到一些反應?？上恼绿啙嵙?，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能用這么短的篇幅證明這個世界著名的問題-連他還沒法子解決的問題，于

6、是連拿起刀來裁開書頁來看內容也懶得做，就把它扔在書堆里了,埃爾米特(1822-1901年)在評價阿貝爾時寫到,他產生的豐富的思想可以使數學家忙碌500年,伽羅華 （variste Galois， 18111832,法國對函數論、方程式論和數論作出重要貢獻的數學家，他的工作為群論奠定了基礎,伽羅華通過改進數學大師拉格朗日的思想，即設法繞過拉氏預解式，但又從拉格朗日那里繼承了問題轉化的思想，即把預解式的構成同置換群聯(lián)系起來的思想，并在阿貝爾研究的基礎上，進一步發(fā)展了他的思想，把全部問題轉化或歸結為置換群及其子群結構的分析。 這個理論的大意是：每個方程對應于一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的

7、伽羅華域，這個域對應一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅華群。伽羅華域的子域和伽羅華群的子群有一一對應關系；當且僅當一個方程的伽羅華群是可解群時，這方程是根式可解的,1829年，伽羅華在他中學最后一年快要結束時，把關于群論初步研究結果的論文提交給法國科學院，科學院委托當時法國最杰出的數學家柯西作為這些論文的鑒定人。在1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應當向科學院提交一份關于年輕的伽羅華的工作報告但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議，討論已指明的議題?！比欢?，第二周當柯西向科學院宣讀他

8、自己的一篇論文時，并未介紹伽羅華的著作，這是一個非常微妙的“事故,1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論文交上去了，以參加科學院的數學大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當時科學院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數學論文都被遺失了,他的論文手稿過了十四年后，也就是1846年，才由法國數學家劉維爾領悟到這些演算中迸發(fā)出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。劉維爾最后將這些論文編輯發(fā)表在他的極有影響的純粹與應用數學雜志上，并向數學界推薦。1870年法國數學家約當根據伽羅華的思想，寫了論置換與代數方程一書，在這本

9、書里伽羅華的思想得到了進一步的闡述,伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關于群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅華理論。正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數學，把代數學的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數學研究工作提供了新的數學工具-群論。它對數學分析、幾何學的發(fā)展有很大影響，并標志著數學發(fā)展現代階段的開始。 伽羅華非常徹底地把全部代數方程可解性問題，轉化或歸結為置換群及其子群結構分析的問題。這是伽羅華工作中的第一個“突破”，他猶如劃破黑夜長空的一顆瞬間即逝的流星，開創(chuàng)了置換群論的研究，確立了代數方程的可解性理論，即后來稱為的“伽羅

10、華理論”，從而徹底解決了一般方程的根式解難題,1852年意大利數學家貝蒂(1823-1892)發(fā)表文章,全面介紹伽羅瓦理論. 法國數學家約當(1838-1922)在1870年(伽羅瓦已去世38年)第一次系統(tǒng)闡述伽羅瓦利用群的概念,把方程的特性歸結為群的特性,從而得出五次和五次以上方程有根號解的充要條件,徹底解決了方程論中這個重要問題,劉維爾,1836年，劉維爾與斯圖姆共同給出了關于代數方程虛根數目的柯西定理的證明；次年，他又用不同于阿貝爾的方法，解決了二元代數方程組的消元問題。這些都被JA塞雷(Serret)收入了他編寫的高等代數教程(Cours dAlgbre superieure)第4版(

11、1877)，得以在法國的學校中廣泛傳播,為了發(fā)表伽羅瓦的著作，劉維爾從1843到1846年對其手稿進行了徹底的研究。在他為伽羅瓦的著作發(fā)表所寫的導言中，對伽羅瓦的工作給予了高度評價。他還邀請包括塞雷在內的一些朋友，參加關于伽羅瓦工作的系列演講。因此，劉維爾間接地推動了近世代數學和群論的發(fā)展,從1856年開始，劉維爾放棄了在其他方面幾乎所有的數學研究，而把精力投入到數論領域。10年間，他在純粹與應用數學雜志上發(fā)表了18篇系列注記和近200篇短篇注記，前者未加證明地給出了許多一般公式，為解析數論的形成奠定了基礎，后者則個別地討論了素數性質和整數表示為二次型的方法等特殊問題,法國數學家約當(1838

12、-1922)在1870年(伽羅瓦已去世38年)第一次系統(tǒng)闡述伽羅瓦利用群的概念,把方程的特性歸結為群的特性,從而得出五次和五次以上方程有根號解的充要條件,徹底解決了方程論中這個重要問題,數學史教程,主 講 人 孫利,李文林,第八章 代數學的新生-02,1750年克萊姆（Cramer,17021752）在他的線性代數分析導言（Introduction d lanalyse des lignes courbes algebriques）中發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的Cramer克萊姆法則,1764年，Bezout把確定行列式每一項的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含個未知量的個齊

13、次線性方程，Bezout證明了系數行列式等于零是這方程組有非零解的條件。范德蒙德(A.T.Vandermonde,17351796)是第一個對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述（即把行列式理論與線性方程組求解相分離）的人,1772年，拉普拉斯在對積分和世界體系的探討中，證明了范德蒙德的一些規(guī)則，并推廣了他的展開行列式的方法，用行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現在仍然以他的名字命名。1841年，德國數學家雅可比（C.G.Jacobi,18041851）總結并提出了行列式的最系統(tǒng)的理論。另一個研究行列式的是法國最偉大的數學家柯西，他大大發(fā)展了行列式的理論?？挛饔?812年給出了現代意

14、義下的行列式這個詞，并且在1815年引入了把元素排成方陣并采用雙重足標的記法，而1841年凱萊則引入了兩條豎線，到此為止標準的行列式已經出現了,1815年柯西給出了行列式乘法： | | |=| |，其中| |、| |表示行列式，其中，并給出了行列式第一個系統(tǒng)的處理。1825年，舍爾克(H.F.Scherk，17981885)給出了行列式的一系列新性質，如其中某一行是另兩行或幾行的線性組合時，行列式為零，三角行列式的值是主對角線上的元素的乘積，等等,哈密頓與四元數,哈密頓（William RoWan Hamilton 1805-1865）英國數學家、物理學家。 14歲時學會了12種歐洲語言。13

15、歲對數學發(fā)生興趣，只用幾年時間，自學了A.-c.克萊羅、牛頓和P.-S.拉普拉斯等人的幾部經典著作。 把形如t十xi十yj十zk的數叫“四元數,定義這樣兩個有序實數四元數組（a,b,c,d),(e,f,g,h)為相等的，當且僅當a=e,b=f,c=g,d=h.又用記號l,i,j,k分別表示（1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何規(guī)定其運算法則呢？如果按照普通代數的四則運算法則進行，政府就難以建立起來。如果獨辟蹊徑，又該從何下手呢？哈密爾頓發(fā)現將四無數組的加法和乘法的定義如下：(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h

16、);(a,b,c,d)*(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf,格拉斯曼:德國數學家，語言學家 ，社會活動家 。 他建立了格拉斯曼代數和格拉斯曼流形的結構，以及在現代分析和微分幾何中占據重要地位的外微分形式的計算，此外 ，還發(fā)展了一種“代數乘法”的運算，從而產生了現在稱為多項式環(huán)的結構,格拉斯曼首次提出了多維歐幾里得空間的系統(tǒng)理論1844年他在線性擴張論中引入歐幾里得n維空間概念，研究了點、直線、平面和兩點間的距離，并推廣到n維空間，研究了抽象幾何空間中的n階曲線，發(fā)展了萊布尼茲把代表幾何實體的符號按一定規(guī)則來處理的

17、代數思想 線性擴張論所論述的幾何分析，是一個介于解析幾何與綜合幾何的邊緣領域幾何分析的所有體系具有共同特點，它們的基本成分是有向線段的幾何加法，并且借助于復數的平面幾何描述在線性擴張論中格拉斯曼融合坐標、向量及復數等概念于n維空間，大膽地開拓了數學的新領域,向量空間”概念在以前數學家的論著中是不夠明確的，格拉斯曼第一個明白地解釋了“n維向量空間”的概念，他把n維向量空間的向量和與積用純幾何方法來定義，發(fā)展了通用的向量演算法 格拉斯曼與WR哈密頓(Hamilton)同時分別建立了超復數，格拉斯曼還引入了超復數的兩類乘法(內積和外積)，從而建立了一種有n個分量的超復數幾何學，所以他是復抽象幾何學的

18、奠基人 由于坐標選擇帶有任意性，可能使問題復雜化人們希望把幾何學和物理學上確實重要的部分，與由坐標的選擇額外產生的部分分開，于是便產生了張量概念用張量來描述的物理定律和幾何定理所得到的結果，在任何坐標系下都具有不變的形式,布爾代數,布爾-英國數學家和邏輯學家1947年邏輯的數學分析1854年思維規(guī)律研究.德國數學家施勒德(1841-1902年)邏輯代數講義 布爾代數上的運算被稱為AND(與)、OR(或)和NOT(非)。代數結構要是布爾代數，這些運算的行為就必須和兩元素的布爾代數一樣(這兩個元素是TRUE(真)和FALSE(假)。亦稱邏輯代數.布爾(Boole，G.)為研究思維規(guī)律(邏輯學)于1

19、847年提出的數學工具.布爾代數是指代數系統(tǒng)B=B，,它包含集合B連同在其上定義的兩個二元運算+，和一個一元運算，布爾代數具有下列性質：對B中任意元素a，b，c，有: 1.a+b=b+a，ab=ba ； 2.a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c). 3.a+0=a，a1=a. 4.a+a=1，aa=0. 布爾代數也可簡記為B=B，+，.在不致混淆的情況下，也將集合B稱作布爾代數.布爾代數B的集合B稱為布爾集，亦稱布爾代數的論域或定義域，它是代數B所研究對象的全體.一般要求布爾集至少有兩個不同的元素0和1，而且其元素對三種運算+， 都封閉，因此并非任何集合都能成為布爾集.在

20、有限集合的情形，布爾集的元素個數只能是2n，n=0，1，2，二元運算+稱為布爾加法，布爾和，布爾并，布爾析取等;二元運算稱為布爾乘法，布爾積，布爾交，布爾合取等;一元運算 稱為布爾補，布爾否定，布爾代數的余運算等,布爾代數的運算符號也有別種記法，如，-;，?等.由于只含一個元的布爾代數實用價值不大，通常假定01，稱0為布爾代數的零元素或最小元，稱1為布爾代數的單位元素或最大元.布爾代數通常用亨廷頓公理系統(tǒng)來定義，但也有用比恩公理系統(tǒng)或具有0與1的有補分配格等來定義的,高斯 C.F. Gauss,17771855,德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。他有數學王子的美譽，并被譽為歷史

21、上最偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名,歷史貢獻-高斯分布,18歲的高斯發(fā)現了質數分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理后，可以得到一個新的、概率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線(正態(tài)分布曲線)。其函數被命名為標準正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計算中大量使用。 在高斯19歲時，僅用沒有刻度的尺子與圓規(guī)便構造出了正17邊形（阿基米德與牛頓均未畫出）。并為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時代以來的第一次重要補充,三角形全等定理 高斯在計算的谷神星軌跡時總結了復數的應用，并且嚴格證明了每一個n階的代數方程必有n

22、個復數解。在他的第一本著名的著作數論中，作出了二次互反律的證明，成為數論繼續(xù)發(fā)展的重要基礎。 在這部著作的第一章，導出了三角形全等定理的概念,經典著作 1799年：關于代數基本定理的博士論文 (Doktorarbeit uber den Fundamentalsatz der Algebra) 1801年：算術研究 (Disquisitiones Arithmeticae) 1809年：天體運動論 (Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium) 1827年：曲面的一般研究 (Disquisi

23、tiones generales circa superficies curvas) 1843-1844年：高等大地測量學理論（上） (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 1) 1846-1847年：高等大地測量學理論（下） (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 2,數學上的成就,高斯發(fā)明了最小二乘法原理。高斯的數論研究總結在算術研究（1801）中，這本書奠定了近代數論的基礎，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典

24、著作之一。高斯對代數學的重要貢獻是證明了代數基本定理，他的存在性證明開創(chuàng)了數學研究的新途徑,高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。 他還深入研究復變函數，建立了一些基本概念發(fā)現了著名的柯西積分定理。他還發(fā)現橢圓函數的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發(fā)表出來。1828年高斯出版了關于曲面的一般研究，全面系統(tǒng)地闡述了空間曲面的微分幾何學，并提出內蘊曲面理論。高斯的曲面理論后來由黎曼發(fā)展。 高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發(fā)表出來。其著作還有地磁概念和論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律等,代數數論 高斯出版了名著算術研究，開辟了數論研究的新時

25、代，他自己立即成為第一流的數學家，-同余理論， 代數數的引進， 作為丟番圖分析的指導思想的型的理論,算術研究是現代數論的開始,也確定了現代數論的研究方向;二次互反律-至少8個證明.確立復數的思想方法-幾何解釋 同余方程x2a(modp) p為素數,(a,p)=1,在代數數論方面作成了重要貢獻;在1844-1847年見創(chuàng)立了理想數理論; 戴德金把庫默爾的工作系統(tǒng)化并推廣到一般的代數數,創(chuàng)立了現代代數數的理論,庫默爾（Kummer，Ernst Eduard，1810-1893）德國數學家,二次互反律,凱萊和矩陣代數 凱萊(1821-1895年) 1858年矩陣論的研究報告中，對矩陣的性質和運算作了

26、系統(tǒng)的論述,定義了矩陣的相等,零矩陣,單位矩陣兩矩陣的和數乘矩陣,兩矩陣的積,矩陣的逆和共軛矩陣. 1878年弗羅伯尼給出哈密頓-凱萊定理的證明,正式定義了1854年由埃爾米特引入的正交矩陣,1879年給出矩陣的秩的概念,凱萊（18211895）Cayley，Arthur 英國純粹數學的近代學派帶頭人,凱萊最主要的貢獻是與J.J.西爾維斯特一起 ，創(chuàng)立了代數型的理論，共同奠定了關于代數不變量理論的基礎。他是矩陣論的創(chuàng)立者,凱萊和矩陣代數 凱萊(1821-1895年) 1858年矩陣論的研究報告中，對矩陣的性質和運算作了系統(tǒng)的論述,定義了矩陣的相等,零矩陣,單位矩陣兩矩陣的和數乘矩陣,兩矩陣的積

27、,矩陣的逆和共軛矩陣,1878年弗羅伯尼給出哈密頓-凱萊定理的證明,正式定義了1854年由埃爾米特引入的正交矩陣,1879年給出矩陣的秩的概念,1854年和1878年，埃爾米特(Charles Hermite，18221901)、弗羅伯尼(F.G.Frobenius，18491917)分別給出了正交矩陣的定義：矩陣 是正交的，如果它等于它的轉置矩陣 的逆，即。弗羅伯尼證明了正交矩陣總能寫成 或者 的形式 ，其中 為對稱矩陣， 為反對稱矩陣，為單位矩陣。從柯西開始，人們就開始討論相似矩陣和相似行列式。如果存在一個可逆 矩陣使得 ，則稱矩陣與相似。相應地，人們也這樣定義了相似矩陣。 1879年，弗羅伯尼利用行列式引進了矩陣的秩的概念。一個 矩陣的秩為r，當且僅當它至少有一個r階子式的行列式不為零，而所有高于r階的子式的行列式都為零。矩陣的秩有一系列性質：秩(AB)min(秩(A)，秩(B)，等等,凱萊、西爾維斯特建立了線性變換的理論。凱萊就是從兩個相繼線性變換的效應表示給出了矩陣的乘法定義。他們把一個矩陣看作一線性變換，從而利用線性變換處理了矩陣的相似、等價、合同等關系。后來線性變換又被應用于研究數論、射影幾何，取得了巨大的成就,埃爾米特（Charles Hermite，18221901） 法國數學家。巴黎綜合工科學校畢業(yè)。曾任法蘭西學院、巴黎高等師范學校、巴黎大