數(shù)學(xué)物理方程復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí),一、內(nèi)容,復(fù)數(shù)的定義和代數(shù),復(fù)函數(shù)的定義和代數(shù),復(fù)函數(shù)的分析理論：微分和積分,中心：解析性可導(dǎo)性,解析函數(shù)：定義域中可導(dǎo)函數(shù),必要條件：滿足柯西黎曼方程,積分：柯西定理（積分路徑只要不經(jīng)過奇點(diǎn)， 可以連續(xù)變形,復(fù)函數(shù)的泰勒展開（在解析點(diǎn)的展開,復(fù)函數(shù)的洛朗展開（奇點(diǎn)鄰域的展開） 技巧：利用泰勒展開,留數(shù)定理,留數(shù)的求法，留數(shù)定理求實函數(shù)的積分,傅立葉級數(shù),傅立葉積分變換,拉普拉斯變換,復(fù)數(shù)項級數(shù)、復(fù)變項級數(shù)、冪級數(shù),復(fù)數(shù)的定義和代數(shù),復(fù)函數(shù)的定義和代數(shù),復(fù)函數(shù)的分析理論：微分和積分,解析函數(shù),柯西定理,泰勒展開,洛朗展開,留數(shù)定理,留數(shù)的求法,求實函數(shù)的積分,傅立葉變換,拉普拉斯

2、變換,相互關(guān)系,柯西公式,級數(shù),冪級數(shù),二、細(xì)節(jié),1. 復(fù)數(shù)的定義和代數(shù),復(fù)平面,2.復(fù)函數(shù)的定義和代數(shù),E ：定義域（復(fù)平面上,復(fù)函數(shù),有關(guān)概念,鄰域,內(nèi)點(diǎn),外點(diǎn),境界點(diǎn),境界線,區(qū)域,閉區(qū)域,E,3. 分析理論,導(dǎo)數(shù),可能有方向性,在一點(diǎn)的可導(dǎo)性：導(dǎo)數(shù)與方向無關(guān),柯西黎曼方程,柯西黎曼方程,調(diào)和函數(shù),相互共軛：已知一個，可以求出另一個,例,求 u,選坐標(biāo)系,直角坐標(biāo),極坐標(biāo),全微分,4. 柯西定理,在某閉區(qū)域解析的函數(shù)，它沿此區(qū)域邊界的積分為零,積分路徑只要不經(jīng)過奇點(diǎn)， 可以連續(xù)變形,公式,柯西公式,例：求積分,圓心在0的圓，-i 在其中,路徑的正方向,5. 級數(shù),復(fù)數(shù)項級數(shù),收斂、絕對收

3、斂、級數(shù)的運(yùn)算與收斂性有關(guān),兩個絕對收斂的和，積，仍絕對收斂,例：正誤,方法1,方法2,5. 級數(shù),復(fù)變項級數(shù),此級數(shù)并不絕對收斂，上述運(yùn)算無意義,收斂、一致收斂、絕對一致收斂,例,解,絕對一致收斂,冪級數(shù),收斂的達(dá)朗貝爾判據(jù),絕對收斂,收斂圓,例,若,收斂,證,與它有同樣收斂半徑,證,泰勒展開（在解析點(diǎn),與實函數(shù)展開無技術(shù)上區(qū)別,例：在z=0展開,在z=0解析,待定系數(shù)法,待定系數(shù)法：設(shè),又,為待定系數(shù),則,洛朗展開（奇點(diǎn)鄰域的展開,技巧：利用泰勒展開,例,在,的洛朗級數(shù),6. 留數(shù)定理,留數(shù)的計算,單極點(diǎn),m 階極點(diǎn),留數(shù),例,的奇點(diǎn)的類型,令,無窮負(fù)冪本性奇點(diǎn),例,的留數(shù),實函數(shù)積分,類型一,類型二,類型三,6. 積分變換,傅里葉級數(shù),基礎(chǔ)：周期函數(shù)的傅里葉展開,擴(kuò)展,奇函數(shù)和偶函數(shù),有限區(qū)間中的函數(shù),復(fù)數(shù)形式,奇、偶延拓,展開系數(shù),三角函數(shù)