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1、第四節(jié),基本積分法 : 直接積分法,換元積分法,分部積分法,初等函數(shù),初等函數(shù),一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,有理函數(shù)的積分,本節(jié)內(nèi)容,第四章,一、 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù),時(shí),為假分式,時(shí),為真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,則,例1. 將下列真分式分解為部分分式,解,1) 用拼湊法,2) 用賦值法,故,3) 混合法,原式,四種典型部分分式的積分,變分子為,再分項(xiàng)積分,例2. 求,解: 已知,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,例4. 求,解,說(shuō)明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意

2、根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡(jiǎn)便的方法,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式,注意本題技巧,按常規(guī)方法較繁,按常規(guī)方法解,第一步 令,比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得,第二步 化為部分分式 . 即令,比較系數(shù)定 A , B , C , D,第三步 分項(xiàng)積分,此解法較繁,二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例,設(shè),表示三角函數(shù)有理式,令,萬(wàn)能代換,t 的有理函數(shù)的積分,1. 三角函數(shù)有理式的積分,則,例7. 求,解: 令,則,例8. 求,解,說(shuō)明: 通常求含,往往更方便,的有理式,用代換,2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,令,令,被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換,化為有理函數(shù)的積分,例如,令,例9. 求,解: 令,則,原式,例10. 求,解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的,最小公倍數(shù) 6,則有,原式,令,例11. 求,解: 令,則,原式,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類型,有理函數(shù),分解,多項(xiàng)式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,萬(wàn)能代換,簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定,要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算,簡(jiǎn)便,思考與練習(xí),如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ,解: 1,2. 原式,例1. 求,解,原式,習(xí)題課,例2. 求,解,原式,分析,例3. 求,解,原式,分部積分,例4.

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