協(xié)方差分析PPT演示文稿

1、1,第四章 協(xié)方差分析,Analysis of Covariance,2,方差分析中，所接觸到的各種處理多數(shù)都是人為控制的。有時一些變量很難或者不可能人為控制，對于這種情況則不能用第三章所述的方差分析方法，推斷處理之間的差異而應(yīng)用協(xié)方差分析的方法做推斷。 例如，在研究不同飼養(yǎng)條件下，動物的增重情況時，由于動物的原體重不同，如果只考慮飼料對增重的作用而不考慮原體重時增重的影響，顯然是不全面的。動物的增重不僅與飼料有關(guān)，而且還與原體重有關(guān)。一般來講，原體重高的增童較多，原體重低的增重較少，增重與原體重之間有回歸關(guān)系，為了得到正確的結(jié)論，就要在排除原體重對增重的影響之后，推斷處理的效應(yīng)。這就是本章所

2、要討論的協(xié)方差分析,3,在協(xié)方差分析中，通常將動物增重稱為反應(yīng)變量(response variable) Y，而與Y 有線性回歸關(guān)系的另一變量(原始體重)稱為伴隨變量(concomitant variable)或協(xié)變量(covariate) X 。協(xié)方差分析就是通過反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的線性關(guān)系，調(diào)整觀察的反應(yīng)變量。假若不做這種調(diào)整，由于協(xié)變量的存在會使誤差平方和加大，其結(jié)果有可能檢驗不出反應(yīng)變量在不同處理之間所存在的真正差異。因此，協(xié)方差分析是一種調(diào)整無法控制又影響效應(yīng)的變量的方差分析方法，是方差分析與回歸分析的結(jié)合。在上述動物重實驗中，很難將全部實驗動物都選為具有相同體重的個體，動物的原體

3、重是無法控制的變量，而原體重對增重又有明顯的影響，使用協(xié)方差分析，便可排除原體重X對增重Y 的影響，使結(jié)果更為可靠,4,第一節(jié) 具一個協(xié)變量的一種方式分組的協(xié)方差分析（one-way classification with a single covariate） 本節(jié)討論協(xié)方差分析中最簡單的一種情況，即以只有一個協(xié)變量的單因素實驗設(shè)計的協(xié)方差分析為例，說明協(xié)方差分析的基本原理和計算方法。單因素協(xié)方差分析的統(tǒng)計模型是,5,其中yij是第 i 次處理所得到的反應(yīng)變量的第 j 次觀察值。cij是相當于yij的協(xié)變量值。c是cij的平均數(shù)，m是總平均數(shù)，ai是第i次處理效應(yīng)，b是yij在cij上的線性

4、回歸系數(shù)，eij是隨機誤差成份。做協(xié)方差分析，需要滿足以下幾個條件：eij是服從正態(tài)分布的獨立隨機變量；b0，即yij與cij之間存在線性關(guān)系；各處理的回歸系數(shù)都相同；處理效應(yīng)之和等于零（ai0）以及協(xié)變量不受處理效應(yīng)的影響等,6,從（41）式中可以看出：協(xié)方差分析的模型是方差分析和回歸分析線性模型的結(jié)合。ai是單因素方差分析中的處理效應(yīng)，b是回歸分析中的回歸系數(shù)。在（41）式中的協(xié)變量是以（cijc）的形式而不是以 cij 的形式表示的，因此參量m是總的平均值。統(tǒng)計模型的另一種形式是,其中m 并不等于總平均值。在這個模型中，總平均值為 mb c 。經(jīng)常使用的模型是（41）式,7,協(xié)方差分析需

5、要計算以下一些量,8,以上各式的符號：S 、T 和 E 分別表示總的、處理的誤差的平方和及交叉乘積和。它們之間的關(guān)系可用通式STE表示。仔細閱讀并分析以上各式，弄清楚各式的意義，對下面的學習是有益的,9,協(xié)方差分析的核心，就是通過協(xié)變量調(diào)整反應(yīng)變量。下面討論如何做這種調(diào)整。在統(tǒng)計模型（41）中，m的估計值為c，b的估計值為b *，處理效應(yīng)ai 的估計值為cicb*（cic）。其中,在這個模型中，誤差平方和SSe為,具a(n1)1自由度,10,實驗誤差均方由下式估計,若實驗不存在處理效應(yīng)，模型（41）將變?yōu)?具an2自由度，其中S2XYSXX是由于Y和X的回歸所產(chǎn)生的平方和,11,如果實驗本身存

6、在處理效應(yīng)，但卻按不存在處理效應(yīng)對待，這時所計算出來的誤差平方和SSe要大于按存在處理效應(yīng)計算所得到的誤差平方和SSe。兩者的差（SSeSSe）是由于處理效應(yīng)ai 所產(chǎn)生的平方回歸系數(shù)，具a1自由度?？捎肍 檢驗不存在處理效應(yīng)的假設(shè),若FFa1,a(n1),a，則接受H0：ai0；若FF a1,a(n1),a，則拒絕H0：ai0,12,將以上結(jié)果列在表41中,表 41 協(xié)方差分析調(diào)整的方差分析,13,表41與方差分析表基本上是一致的。所不同的是沒一項平方和都是經(jīng)過調(diào)整的。因此，協(xié)方差分析又稱為調(diào)整的方差分析。在變差來源一列中，總的變差是由具an1自由度的SYY度量的；回歸的變差由具1自由度的平

7、方和S2XYSXX度量。假若不存在協(xié)變量，則SXYSXXEXYEXX0。誤差平方和將簡化為EYY，處理平方和為SYYEYYTYY，成為一種方式分組的方差分析。然而由于存在協(xié)變量，我們必須通過Y在X上的回歸，調(diào)整SYY和EYY（見表41）。因為在調(diào)整平方和時，用了另一個參量b，所以調(diào)整的誤差平方和具a(n1)1自由度，而不是a(n1)自由度,14,通常將協(xié)方差分析結(jié)果納成協(xié)方差分析表,表42 具一個協(xié)變量的一種方式分組實驗的協(xié)方差分析表,15,在協(xié)方差分析表中，除列入檢驗假設(shè)所需要的處理效應(yīng)平方和之外，還列入了全部平方和及交叉乘積和。協(xié)方差分析的結(jié)果，不論零假設(shè)是否可以接受，都需對處理平方數(shù)ci

8、 給予解釋。由于ci 包括處理效應(yīng)和在協(xié)變量上的回歸效應(yīng)，因此對平方數(shù)也要做相應(yīng)的調(diào)整。調(diào)整的方法如下,16,根據(jù)模型（42），協(xié)方差分析需滿足以下要求,即：各處理的方差應(yīng)具備齊性，它們都是從具有同一方差的正態(tài)總體中的來的；個處理的回歸系數(shù)bi均等于b以及反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的回歸系數(shù)b0。因此，在對一組數(shù)據(jù)做協(xié)方差分析時，首先要對以上各個條件做檢驗。只有以上條件得到滿足時，才能做協(xié)方差分析,17,第二節(jié) 協(xié)方差分析的計算方法 例41 比較三種豬飼料A1，A2，A3對豬增重的影響，測得每頭豬的增重（Y）和出生重（X），數(shù)據(jù)列在表43中。問三種飼料對豬增重是否有顯著不同的效果,表43 不同飼料對

9、豬增重的影響,18,在這個問題中，若不考慮出生重，則是一個單因素方差分析的問題；若不同飼料的增重效果沒有顯著差異，則成為增重對出生重的一元回歸問題。實際上，在研究動物增重問題時，不同飼料和出生重對增重的影響都要考慮。因此，在推斷不同飼料的增重效應(yīng)時，為了排除出生重的影響，應(yīng)使用方差分析與回歸分析相結(jié)合的方法，即以協(xié)方差分析的方法做推斷。 首先檢驗eij：NID(0,s2)，bib及b0是否可以得到滿足。檢驗的方法如下： 分別計算三種飼料飼養(yǎng)豬的出生重與增重間的回歸系數(shù)bi，并列出回歸方程,19,將三組數(shù)據(jù)合并（只需將三組數(shù)據(jù)的平方和與交叉乘積合并即可），計算公共的回歸系數(shù)b,用公共的回歸系數(shù)代

10、替bi，可以得到三條平行的回歸線,20,用每一處理的各自回歸系數(shù)bi，計算剩余平方和,將三組剩余平方和相加，得到組內(nèi)剩余平方和,相應(yīng)的自由度為a(n2)18,用公共回歸系數(shù)b*計算三條平行回歸線的剩余平方和，它們的和就是誤差平方和見公式(49)(413)，相應(yīng)的自由度為a(n1)120,21,檢驗方差齊性：中已計算出各處理的剩余平方和，各具8116自由度。各處理的均方分別為,檢驗方差齊性的一個簡便方法是用兩個差異最大的均方做F 檢驗,F6,6,0.054.82，F(xiàn)F0.05，可以認為各組方差具備齊性,22,檢驗回歸線是否平行(bib)：在中已經(jīng)計算出組內(nèi)剩余平方和SSeG和用公共回歸系數(shù)b*計

11、算得到的誤差平方和SSe。SSeG完全是由隨機因素造成的：三條回歸線用同一b*計算出的誤差平方和SSe，包括由于隨機誤差及回歸系數(shù)兩種變差所產(chǎn)生的平方和，因而回歸系數(shù)平方和,回歸系數(shù)自由度為誤差自由度與組內(nèi)誤差自由度之差,23,然后用MSeG對MS回歸系數(shù)最檢驗。若兩者差異不顯著，說明由回歸系數(shù)所產(chǎn)生的方差與由于隨機因素所引起的方差差別不大，即可證明原來的三條回歸線是平行的。用 F 檢驗,代入數(shù)值,F2,18,0.053.55，F(xiàn)F0.05，因此三條回歸線是平行的,24,也可以將三條回歸線做圖。從圖上觀察它們是否近于平行。若接近平行的話，也可以不做以上的檢驗。 檢驗回歸是否顯著：利用方差分析做

12、檢驗。方差分析表如下,表44 檢驗回歸顯著性的方差分析表,F1,20,0.01=8.1，F(xiàn)F0.01，回歸是極顯著的。這一步檢驗的許多計算，是在協(xié)方差分析過程中得出來的。所以這一步檢驗也可放在協(xié)方差分析的最后進行,25,在大多數(shù)生物學問題中，以上幾點要求基本上都可以滿足。在實際應(yīng)用時，只要根據(jù)bi所做出的回歸線是否平行。若近于平行，則可不必做繁瑣的檢驗，直接進行以下的分析。 將表43中的數(shù)據(jù)編碼，每一個Y 都減去90，每一個X 都減去20，列成表45,26,表45 協(xié)方差分析計算表,27,計算下列各值,28,由公式（415）求出,具an2(3)(8)222自由度。并由(413)式計算出,具a(n1)13(81)120自由度,29,將上述結(jié)果列成協(xié)方差分析表(表46)。表的最后一行，是為了檢驗假設(shè)H0：ai0所計算的平方和,具a1312自由度,表46 協(xié) 方 差 分 析 表,30,檢驗不同飼料的增重效果，即檢驗H0：ai0，根據(jù)(416)式,F2,22,0.015.72，F(xiàn)F0.01，結(jié)論是不同飼料的增重效果極顯著,31,公共回歸系數(shù),回歸系數(shù)的顯著性檢驗，H0：b