二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問題)

1、.二次函數(shù)綜合應(yīng)用題（拱橋問題）適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.掌握二次函數(shù)解析式求法。2學(xué)會(huì)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，掌握數(shù)學(xué)建模的思想，進(jìn)一步熟悉，點(diǎn)坐標(biāo)和線段之間的轉(zhuǎn)化。3.進(jìn)一步體驗(yàn)應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)1.從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并能理解坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)和線段之間關(guān)系；2.根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)如何根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并判斷直角坐標(biāo)系建立的優(yōu)劣。教學(xué)過

2、程一、 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) 平時(shí)的時(shí)候我們能夠看到小船可以從橋的下面通過，但是當(dāng)夏天雨季到來，水平面上升，這時(shí)小船還能從橋的下面通過嗎？對(duì)于這樣的問題我們可以利用我們所學(xué)的二次函數(shù)來解決。這節(jié)我們就看二次函數(shù)解決拱橋問題。二、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1 ：二次函數(shù)解析式的形式1、一般式：y=ax2+bx+c（a0） 2、頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a0） 頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k） 直線x=h為對(duì)稱軸，k為頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，也是二次函數(shù)的最值3、雙根式：y=a(x-)(x-)（a0） (,是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)) 并不是什么時(shí)候都能用雙根式，當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)才行4、 頂點(diǎn)在原點(diǎn)：5、過原點(diǎn)：6、 頂點(diǎn)

3、在y軸：考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2：建立平面直角坐標(biāo)系1、 在給定的直角坐標(biāo)系,中會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置2、能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,描述物體的位置。三、例題精析【例題1】【題干】有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的表達(dá)式；（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h（m）時(shí)，橋下水面的寬度為d（m），求出將d表示為h的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水深超過多少米時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下的順利航行【答案】 （1）設(shè)拋物線的解析式為yax2，且過點(diǎn)（10，4） 故

4、（2）設(shè)水位上升h m時(shí)，水面與拋物線交于點(diǎn)（） 則 （3）當(dāng)d18時(shí)，當(dāng)水深超過2.76m時(shí)會(huì)影響過往船只在橋下順利航行。【解析】頂點(diǎn)式：y=a（x-h）+k（a，h，k是常數(shù)，a0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)【例題2】【題干】如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時(shí)，水面寬AB=10m，如果水位上升2m，就將達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面的寬為8m.若洪水到來，水位以每小時(shí)0.1m速度上升，經(jīng)過多少小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂?【答案】解： 以AB所在的直線為x軸,AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn)E在y軸上,且B 、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5，0）、（4，2） 設(shè)拋物線為y=ax+k. 由

5、B、D兩點(diǎn)在拋物線上，有 解這個(gè)方程組，得 所以， 頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，） 則OE=0.1=（h） 所以，若洪水到來，水位以每小時(shí)0.1m速度上升，經(jīng)過小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂. 【解析】 以AB所在的直線為x軸,AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求出解析式【例題3】【題干】如圖是拋物線拱橋，已知水位在AB位置時(shí)，水面寬，水位上升3m，達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面寬若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.25m的速度上升，求水過警戒線后幾小時(shí)淹到拱橋頂？OxCXyDBAEF【答案】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為：yax 2h 又知B (2，0)，D (2，3) 解得： yx 26 E (0，6) 即OE6 EFOEOF3

6、t12 (小時(shí)) 答：水過警戒線后12小時(shí)淹到拱橋頂【解析】建立直角坐標(biāo)系，求出解析式四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x (單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y0.1x22.6x43 (0x30)y值越大，表示接受能力越強(qiáng)(1) x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增加？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？（2）第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？（3）第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？【鞏固】1、有一座拋物線形拱橋，拋物線可用y=表示在正常水位時(shí)水面AB 的寬為20m，如果水位上升3m時(shí)，水面CD的寬是10m (1)在正常水位時(shí)，有一艘寬8m、高2.

7、5m的小船，它能通過這座橋嗎?(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280km(橋長(zhǎng)忽略不計(jì))貨車正以每小時(shí)40km的速度開往乙地，當(dāng)行駛1小時(shí)時(shí)， 忽然接到緊急通過:前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車輛通行)試問:如果貨車按原來的速度行駛，能否安全通過此橋?若能，請(qǐng)說明理由若不能， 要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過每小時(shí)多少千米?【拔高】1、一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m。這時(shí)，離開水面1.5m處，

8、涵洞寬ED是多少?是否會(huì)超過1m?五、課程小結(jié)（1） 用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)問題，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題；（2）根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題；（3）找到兩個(gè)變量之間的關(guān)系；掌握數(shù)形結(jié)合思想；（4）從拱橋問題中體會(huì)到函數(shù)模型對(duì)解決實(shí)際問題的價(jià)值感受數(shù)學(xué)在生活實(shí)際中使用六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1、 如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)A（2，0）求此拋物線的解析式?！眷柟獭?、 如圖所示，有一座拱橋圓弧形，它的跨度為60米，拱高為18米，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，就要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PN=4米時(shí)，是否采取緊急措施?【拔高】1、有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為8米，貨船